數(shù)學(xué)分析讀書筆記
經(jīng)過一個半學(xué)期的《數(shù)學(xué)分析》的學(xué)習(xí)，我基本上對其;下面對我目前已學(xué)習(xí)的知識進(jìn)行理解與分析：;一、實數(shù)集與函數(shù);二、極限分為數(shù)列極限和函數(shù)極限;三、函數(shù)的連續(xù)性;四、導(dǎo)數(shù)與微分;五、積分分為兩種：不定積分和定積分;整體內(nèi)容連貫有序，學(xué)習(xí)者思路清晰，目的明確;數(shù)學(xué)分析是精彩有趣的，但有時會讓人學(xué)的很累;(13)《數(shù)學(xué)分析》讀書報告;經(jīng)過一個半學(xué)期的《數(shù)學(xué)分析》的經(jīng)過一個半學(xué)期的《數(shù)學(xué)分析》的學(xué)習(xí)，我基本上對其學(xué)習(xí)方法有了一定的掌握。了解到《數(shù)學(xué)分析》與高中的數(shù)學(xué)既有聯(lián)系又有差別。一方面在許多思想與分析中運(yùn)用了高中數(shù)學(xué)的`基礎(chǔ)知識;另一方面它將許多東西細(xì)微化，一步步探究深層次的東西。它使我們對許多東西有了進(jìn)一步的了解而不是只停留在理解表面。
下面對我目前已學(xué)習(xí)的知識進(jìn)行理解與分析：
一、 實數(shù)集與函數(shù)。實數(shù)分有理數(shù)和無理數(shù)，有理數(shù)可用既約分?jǐn)?shù)的形式表示，而無理數(shù)則不能用一個確定式表示。人們先發(fā)現(xiàn)有理數(shù)，再運(yùn)用Dedekind分割劃分出一些不屬于有理數(shù)的數(shù)。全部這些數(shù)的集合就是實數(shù)集。用同樣的方法分割，卻得不到非實數(shù)，這證明了實數(shù)具有完備性。關(guān)于實數(shù)完備性有一些基本定理，如：區(qū)間套定理、柯西收斂準(zhǔn)則、聚點(diǎn)定理和有限覆蓋定理。對于任何一個包含于實數(shù)集的集合，還有著名的確界原理。函數(shù)的定義是一個具有某種結(jié)構(gòu)的集合到一個數(shù)集的對應(yīng)關(guān)系。有基本函數(shù)和特殊的函數(shù)，如：符號函數(shù)、Heaviside函數(shù)、Riemann函數(shù)和Dirichelet函數(shù)。
二、 極限分為數(shù)列極限和函數(shù)極限。對于極限，重在理解它的定義。函數(shù)極限是數(shù)列極限的推廣，所以理解了數(shù)列極限，函數(shù)極限問題就不大了。收斂的數(shù)列有許多特殊性質(zhì)，如:有界性、唯一性、保號保序性和迫斂性，且滿足線性組合運(yùn)算。既然有這么多很好的性質(zhì)，我們就想弄清哪些數(shù)列收斂或收斂數(shù)列需滿足的條件。人們發(fā)現(xiàn)，單調(diào)有界數(shù)列和滿足柯西收斂準(zhǔn)則的數(shù)列一定有極限。
三、 函數(shù)的連續(xù)性。函數(shù)在某一點(diǎn)X。連續(xù)的定義是在X。的某鄰域內(nèi)有定義且滿足當(dāng)X趨于X。時，函數(shù)F(X)趨于F(X。).而在某區(qū)間上的連續(xù)可由在某點(diǎn)推廣。對一閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)有一些性質(zhì)，如：有界性、最值、介值性和一致連續(xù)性。對于函數(shù)連續(xù)性，重在理解定義的內(nèi)容。
四、 導(dǎo)數(shù)與微分。導(dǎo)數(shù)在中學(xué)已學(xué)過，而微分是一個新概念。微分的核心思想是對一件事物，當(dāng)對整體無法解決或難以解決時，可以將它分成許多細(xì)小的部分來解決。當(dāng)每一部分都解決了時，整體也就解決了。對于微分的應(yīng)用有羅爾中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理以及泰勒公式。運(yùn)用這些定理，還可以分析函數(shù)性質(zhì)，如：函數(shù)是否有凸性和拐點(diǎn)，這些對作圖是有幫助的。
五、 積分分為兩種：不定積分和定積分。不定積分是微分的逆運(yùn)算，它的核心思想是將許多無法解決或難以解決的事物積累成一個整體來解決。不定積分的運(yùn)算有一些方法，如：換元法和分部積分法。與不定積分不同，定積分則是一個分割T的模趨于零的極限。對一個閉區(qū)間上的函數(shù)作劃分，求出黎曼和，當(dāng)分割的模趨于零時，黎曼和趨于一個常數(shù)，此時稱這個常數(shù)為函數(shù)在閉區(qū)間上的定積分。定積分的運(yùn)算可運(yùn)用牛頓—萊布尼茨公式。哪些函數(shù)是可積的，可積函數(shù)有哪些性質(zhì)。人們發(fā)現(xiàn)了可積函數(shù)需滿足的條件和它的一些性質(zhì)，如：積分中值定理。
整體內(nèi)容連貫有序，學(xué)習(xí)者思路清晰，目的明確。
數(shù)學(xué)分析是精彩有趣的，但有時會讓人學(xué)的很累。當(dāng)一個概念或思想沒有理解時，在很大層度上阻礙了后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)理解，讓人有霧里探花的感覺。所以應(yīng)腳踏實地的學(xué)好每一步，扎穩(wěn)基礎(chǔ)，相信未來的道路是光明的。
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