冪函數、指數函數和對數函數·對數及其運算法則·教案

冪函數、指數函數和對數函數·對數及其運算法則·教案   教學目標 1．理解并記憶對數的定義，對數與指數的互化，對數恒等式及對數的性質． 2．理解并掌握對數運算法則的內容及推導過程． 3．熟練運用對數的性質和對數運算法則解題． 教學重點與難點 重點是對數定義、對數的性質和運算法則．難點是對數定義中涉及較多的難以記憶的名稱，以及運算法則的推導． 教學過程設計 師：（板書）已知國民生產總值每年平均增長率為7.2％，求20年后國民生產總值是原來的多少倍？ 生：設原來國民生產總值為1，則20年后國民生產總值y=（1+7.2％）20=1.07220，所以20年后國民生產總值是原來的1.07220倍． 師：這是個實際應用問題，我們把它轉化為數學中知道底數和指數，求冪值的問題．也就是上面學習的指數問題． 師：（板書）已知國民生產總值每年平均增長率為7.2％，問經過多年年后國民生產總值是原來的4倍？ 師：（分析）仿照上例，設原來國民生產總值為1，需經x年后國民生產總值是原來的4倍．列方程 1.072x=4． 我們把這個應用問題轉化為知道底數和冪值，求指數的問題，這是上述問題的逆問題，即本節(jié)的對數問題． 師：（板書）一般地，如果a（a＞0，a≠1）的b次冪等于N，就是ab=N，那么數b就叫做以a為底N的對數，記作 logaN=b， 其中a叫做底數，N叫做真數，式子logaN叫做對數式． 師：請同學談談對對數這個定義的認識． 生：對數式logaN實際上就是指數式中的指數b的一種新的記法． 生：對數是一種新的運算．是知道底和冪值求指數的運算． （此刻并不奢望學生能說出什么深刻認識，只是給他們自己一個去思維認識對數這個定義的機會．） 師：他們說得都非常好．實際上ab=N這個式子涉及到了三個量a，b，N，由方程的觀點可得“知二求一”．知道a，b可求N，即前面學過的指數運算；知道b（為自然數時），N可求a，即初中學過的開   記作logaN=b．因此，對數是一種新的運算，一種知道底和冪值求指數的運算．而每學一種新的運算，首先要學習它的記法，對數運算的記法為logaN，讀作：以a為底N的對數．請同學注意這種運算的寫法和讀法． 師：實際上指數與對數只是數量間的同一關系的兩種不同形式．為了更深入認識并記憶對數這個概念，請同學們填寫下列表格．（打出幻燈）   式子 名稱    a b N    指數式 對數式 ab=N logaN=b       練習1  把下列指數式寫成對數形式：   練習2  把下列對數形式寫成指數形式：   練習3  求下列各式的值：   （兩名學生板演練習1，2題（過程略），一生板演練習三．） 因為22=4，所以以2為底4的對數等于2．   因為53=125，所以以5為底125的對數等于3． （注意糾正學生的錯誤讀法和寫法．） 師：由定義，我們還應注意到對數式logaN=b中字母的取值范圍是什么？ 生：a＞0且a≠1；b∈R；N∈R． 師：N∈R？（這是學生最易出錯的地方，應一開始讓學生牢牢記住真數大于零．） 生：由于在實數范圍內，正數的任何次冪都是正數，因而ab=N中N總是正數． 師：要特別強調的是：零和負數沒有對數． 師：定義中為什么規(guī)定a＞0，a≠1？ （根據本班情況決定是否設置此問．） 生：因為若a＜0，則N取某些值時，b可能不存在，如b=log（-2）8不存在；若a=0，則當N不為0時，b不存在，如log02不存在；當N為0時，b可以為任何正數，是不唯一的，即log00有無數個值；若a=1，N不為1時，b不存在，如log13不存在，N為1時，b可以為任何數，是不唯一的，即log11有無數多個值．因此，我們規(guī)定：a＞0，a≠1． （此回答能培養(yǎng)學生分類討論的數學思想．這個問題從ab=N出發(fā)回答較為簡單．） 師：下面我來介紹兩個在對數發(fā)展過程中有著重要意義的對數． 師：（板書）對數logaN（a＞0且a≠1）在底數a=10時，叫做常用對數，簡記lgN；底數a=e時，叫做自然對數，記作lnN，其中e是個無理數，即e≈2.718 28……． 練習4  計算下列對數： lg10000，lg0.01，2log24，3log327，10lg105，5log51125． 師：請同學說出結果，并發(fā)現規(guī)律，大膽猜想． 生：2log24=4．這是因為log24=2，而22=4． 生：3log327=27．這是因為log327=3，而33=27． 生：10lg105=105． 生：我猜想alogaN=N，所以5log51125=1125． 師：非常好．這就是我們下面要學習的對數恒等式． 師：（板書） alogaN=N（a＞0，a≠1，N＞0）．（用紅筆在字母取值范圍下畫上曲線） （再次鼓勵學生，并提出更高要求，給出嚴格證明．） （學生討論，并口答．） 生：（板書） 證明：設指數等式ab=N，則相應的對數等式為logaN=b，所以ab=alogaN=N． 師：你是根據什么證明對數恒等式的？ 生：根據對數定義． 師：（分析小結）證明的關鍵是設指數等式ab=N．因為要證明這個對數恒等式，而現在我們有關對數的知識只有定義，所以顯然要利用定義加以證明．而對數定義是建立在指數基礎之上的，所以必須先設出指數等式，從而轉化成對數等式，再進行證明． 師：掌握了對數恒等式的推導之后，我們要特別注意此等式的適用條件． 生：a＞0，a≠1，N＞0． 師：接下來觀察式子結構特點并加以記憶． （給學生一分鐘時間．） 師：（板書）2log28=？2log42=？ 生：2log28=8；2log42=2． 師：第2題對嗎？錯在哪兒？     師：（繼續(xù)追問）在運用對數恒等式時應注意什么？ （經歷上面的錯誤，使學生更牢固地記住對數恒等式．） 生：當冪的底數和對數的底數相同時，才可以用公式 alogaN=N． （師用紅筆在兩處a上重重地描寫．） 師：最后說說對數恒等式的作用是什么？ 生：化簡！ 師：請打開書74頁，做練習4． （生口答．略） 師：對對數的定義我們已經有了一定認識，現在，我們根據定義來進一步研究對數的性質． 師：負數和零有沒有對數？并說明理由． 生：負數和零沒有對數．因為定義中規(guī)定a＞0，所以不論b是什么數，都有ab＞0，這就是說，不論b是什么數，N=ab永遠是正數．因此，由等式b=logaN可以看到，負數和零沒有對數． 師：非常好．由于對數定義是建立在指數定義的基礎之上，所以我們要充分利用指數的知識來研究對數． 師：（板書）性質1：負數和零沒有對數． 師：1的對數是多少？ 生：因為a0=1（a＞0，a≠1），所以根據對數定義可得1的對數是零． 師：（板書）1的對數是零． 師；底數的對數等于多少？ 生：因為a1=a，所以根據對數的定義可得底數的對數等于1． 師：（板書）底數的對數等于1． 師：給一分鐘時間，請牢記這三條性質． 師：在初中，我們學習了指數的運算法則，請大家回憶一下． 生：同底數冪相乘，底數不變，指數相加，即am·an=am+n．同底數冪相除，底數不變，指數相減，即am÷an=am-n．還有（am）n=amn；   師：下面我們利用指數的運算法則，證明對數的運算法則．（板書） （1）正因數積的對數等于同一底數各個因數的對數的和．即 loga（MN）=logaM+logaN． （請兩個同學讀法則（1），并給時間讓學生討論證明．） 師：（分析）我們要證明這個運算法則，用眼睛一瞪無從下手，這時我們該想到，關于對數我們只學了定義和性質，顯然性質不能證明此式，所以只有用定義證明．而對數是由指數加以定義的，顯然要利用指數的運算法則加以證明，因此，我們首先要把對數等式轉化為指數等式． 師：（板書）設logaM=p，logaN=q，由對數的定義可以寫成M=ap，N=aq．所以 M·N=ap·aq=ap+q， 所以 loga（M·N）=p+q=logaM+logaN． 即 loga（MN）=logaM+logaN．   師：這個法則的適用條件是什么？ 生：每個對數都有意義，即M＞0，N＞0；a＞0且a≠1． 師：觀察法則（1）的結構特點并加以記憶． 生：等號左端是乘積的對數，右端是對數的和，從左往右看是一個降級運算． 師：非常好．例如，（板書）log2（32×64）=？ 生：log2（32×64）=log232+log264=5+6=11． 師：通過此例，同學應體會到此法則的重要作用——降級運算．它使計算簡化． 師：（板書）log62+log63=？ 生：log62+log63=log6（2×3）=1． 師：正確．由此例我們又得到什么啟示？ 生：這是法則從右往左的使用．是升級運算． 師：對．對于運算法則（公式），我們不僅要會從左往右使用，還要會從右往左使用．真正領會法則的作用！ 師：（板書）（2）兩個正數的商的對數等于被除數的對數減去除數的對數．   師：仿照研究法則（1）的四個步驟，自己學習． （給學生三分鐘討論時間．） 生：（板書）設logaM=p，logaN=q．根據對數的定義可以寫成M=ap，N=aq．所以     師：非常好．他是利用指數的運算法則和對數的定義加以證明的．大家再想一想，在證明法則（2）時，我們不僅有對數的定義和性質，還有法則（1）這個結論．那么，我們是否還有其它證明方法？ 生：（板書）   師：非常漂亮．他是運用轉化歸結的思想，借助于剛剛證明的法則（1）去證明法則（2）．他的證法要比書上的更簡單．這說明，轉化歸結的思想，在化難為易、化復雜為簡單上的重要作用．事實上，這種思想不但在學習新概念、新公式時常常用到，而且在解題中的應用更加廣泛． 師：法則（2）的適用條件是什么？ 生：M＞0，N＞0；a＞0且a≠1． 師：觀察法則（2）的結構特點并加以記憶． 生：等號左端是商的對數，右端是對數的差，從左往右是一個降級運算，從右往左是一個升級運算．     師：（板書）lg20-lg2=？   師：可見法則（2）的作用仍然是加快計算速度，也簡化了計算的方法． 師：（板書） 例1  計算：   生：（板書） 解 （1）log93+log927=log93×27=log981=2；   （3）log2（4+4）=log24+log24=4；   （由學生判對錯，并說明理由．） 生：第（2）題錯！在同底的情況下才能運用對數運算法則．（板書）   生：第（3）題錯！法則（1）的內容是：     生：第（4）題錯！法則（2）的內容是：     師：通過前面同學出現的錯誤，我們在運用對數運算法則時要特別注意什么？ 生：首先，在同

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