“余弦定理”教學設計

“余弦定理”教學設計

射陽縣教育局教研室 王克亮

教學目標:(1)掌握余弦定理,并能解決一些簡單的度量問題.

(2)初步運用余弦定理解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題. (3)經(jīng)歷余弦定理的發(fā)現(xiàn)與驗證過程,增強學生的理性思維能力. 教學重點:余弦定理的發(fā)現(xiàn)與運用. 教學難點:余弦定理的證明.

課前準備:(1)自制一個如圖所示的道具.

(2)課前,教者在黑板上畫好如圖所示的三個三角形.

固定聯(lián)結點

A

塑料棒1

細繩

可動聯(lián)結點

可轉(zhuǎn)動點 塑料棒2

道具

b B B

B

A

教學過程:

一、情境創(chuàng)設 提出問題

[1]情境引入

師:首先請看兩個實際問題:

情境1 A,B兩地之間隔著一座小山,現(xiàn)要測量A、B之間即將修建的一條直的隧道的長度.另選一個點C,可以測得的數(shù)據(jù)有:AC?182m,BC?126m,?ACB?630,如何求A、B兩地之間隧道的長度(精確到1m).

A

B

B D

C E

A

情境2 一位工人欲做一個三角形的支架.已知桿BC的長度為6分米,DAE是由一根直的鋼管沿著點A彎折而成.若彎折點A與焊接點B,C的距離分別為4分米和5分米,欲彎折后桿BC恰好能與兩焊接點相接,則彎折后∠BAC的大小是多少(精確到0.1度)?

[2]提出問題

師:顯然,這兩個都是解三角形的問題.其中,情境1的實質(zhì)是知道了三角形的兩邊與其夾角,求第三邊的長度；而情境2的實質(zhì)就是已知三角形的三條邊,要求其一個內(nèi)角的大小.

請問:(1)這兩個問題能用正弦定理來解決嗎? 生:不能.

(2)那么,這兩個問題之間有聯(lián)系嗎? 生:互逆.

師:對,在解法上是互逆的,所以本節(jié)課我們將要探究的核心問題是:在已知三角形兩條邊的前提下,其夾角的大小與第三條邊的長度之間有著怎樣的關系?這正是余弦定理所揭示的規(guī)律----引入課題.

二、問題探究 知識建構

問題1 在?ABC中,已知CB?a,CA?b(其中a?b),當?C從小到大變化時,AB的長度的變化趨勢如何?

師:(學生思考了一會兒后)我們可以用一個簡單的實驗看一下. (課上,利用課前制作道具做一下演示實驗.) 生: AB的長度隨著?C的增大而增大.

師:這是一個定性的結論.那么對于定量的研究,一個常用的思維策略是特殊化. 取C=90?是最容易想到的；另外,雖然角C不能取0?與180?,但它可以無限接近這兩個角,所以不妨再考察一下這兩種情形.

續(xù)問: 若將?C的范圍擴大到[00,1800],特別地:當?C?00,?C?900,?C?1800這三種特殊情形時,AB的長度分別是多少?

生:當?C?00時,AB?a?b；當?C?900時

,AB?；當?C?1800

時,AB?a?b.

師:我們不妨把這三個結論在形式上寫得更接近些,即

:

當?C?00時,AB?當?C?900時,AB?當?C?1800時,AB?B

A

問題2 請你根據(jù)上述三個特例的結果,試猜想:當?C??(00???1800)時,線段AB的長度是多少?

(在學生獨立思考的基礎上,小組討論交流后請學生回答) 生

:AB?問題3 你能驗證該猜想嗎?請試一試.

(課上,利用課前畫好的三張圖進行討論.先讓學生獨立思考一會兒,然后根據(jù)學生回答的情況進行講解,至少討論下列前兩種方法.)

方法一:

證: (1)當?C??為銳角時,過點A作AD?BC于D.

則AB2?BD2?AD2?(a?bcos?)2?(bsin?)2=a2?b2?2abcos?.

D

B

A

(2)當?C??為直角時,結論顯然成立.

(3)當?C??為鈍角時, 過點A作AD?BC交BC的延長線于D. 則AB?BD?AD?(a?bcos(???))?(bsin(???))

?(a?bcos?)?(bsin?)=a?b?2abcos?.

D

2

2

2

2

2

2

2

A

b

22

C

a

B

綜上所述,

均有AB?故猜想成立.

師:這種思路是構造直角三角形,利用勾股定理來計算AB的長,但要注意這里要分三種情況討論.

方法二:

????????????????2????????2

證:因為AB?AC?CB,所以AB?(AC?CB)

????2????2????????

?AC?CB?2AC?CB?a2?b2?2abcos(???)?a2?b2?2abcos?,

B

A

即AB?故猜想成立.

師:這種方法的思路是構造向量,借助向量的運算來證題.將向量等式轉(zhuǎn)化數(shù)量等式常用的手段是作數(shù)量積.

方法三:

證:以C為坐標原點,CB所在直線為x軸,建立平面直角坐標系.

????

則B(a,0),A(bcos?,bsin?),則BA?(bcos??a,bsin?),所以

????2

|AB|?(bcos??a)2?(bsin??0)2=a2?b2?2abcos?,

????

即AB?|AB|?故猜想成立.

師:這種思路是建立平面直角坐標系,借助于坐標運算來證題.利用坐標法的優(yōu)點在于不必分類討論了且運算簡單.

當然,我們還可以從其它途徑來驗證這一猜想,這里就不再討論了,有興趣的同學課后我們可以作些交流.

問題4 在三角形中,如何用符號語言與文字語言表示出上述結論? (提示:根式的表示形式不如平方的形式來得美觀.)

c2?a2?b2?2abcosC,

生:符號語言:在△ABC中,有a2?b2?c2?2bccosA,

b2?a2?c2?2accosB.

文字語言:三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.

師:很好!這一結論我們稱之為余弦定理,上述三個公式是余弦定理的一種表現(xiàn)形式. 問題5 如何根據(jù)三角形三條邊的長度來求其內(nèi)角的大小呢?

a2?b2?c2b2?c2?a2a2?c2?b2

生:將上述結論變形為: cosC?,cosA?,cosB?.

2ab2bc2ac

師:這是余弦定理的另一種表現(xiàn)形式.對于余弦定理的這兩種形式,我們在解題中應該靈活地加以選用.

感悟:(1)在第一組式子中,當C=90°時,即有c2?a2?b2.所以,勾股定理是余弦定理 的特殊情形,余弦定理可以看做是勾股定理的推廣.

(2)在第二組式子中,我們考察式子左右兩邊的符號,不難發(fā)現(xiàn):

在△ABC中,C為銳角?a2?b2?c2;C為直角?a2?b2?c2;C為鈍角?a2?b2?c2. 師:也就是說,在三角形中,要判斷一個內(nèi)角是什么角,只要看它的對邊的平方與其它兩邊平方的和的大小.

三、數(shù)學應用 深化理解

例1 在△ABC中,已知b=3,c=1,A=60°,求a.

解析:由余弦定理,得a2?b2?c2?2bccosA?32?12?2?3?1?cos600?7,

所以a?問:在此條件下,其它元素可求嗎?

反思:(1)利用余弦定理,可以解決“已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他兩個角”的問題.

(2)用余弦定理求邊的長度時,切記最后的結果要開平方. 師: 情境1就是這種類型的問題,我們也不妨看一下解答.

情境1:A,B兩地之間隔著一座小山,現(xiàn)要測量A、B之間即將修建的一條隧道的長度.另選一個點C,可以測得的數(shù)據(jù)有:AC=182m,BC=126m,∠ACB=63°,如何求A,B兩地之間隧道的長度(精確到1m).

解析: 在?ABC中,因為AC?182m,BC?126m,?ACB?630,則由余弦定理,得

AB2?AC2?BC2?2AC?BCcos?ACB?1822?1262?2?182?126cos630 ?1822?1262?2?182?126?0.454?28177.15,

所以AB?168m.

答:A，B兩地之間隧道的長度約為168m. 例2 在?ABC中,已知a=7,b=5,c=3,求A.

b2?c2?a252?32?721

解析:由余弦定理,得cosA????,

2bc2?5?32

所以A=120°.

問:在此條件下,其它兩個角可求嗎? 眾生:可求.

反思: (1)利用余弦定理,可以解決“已知三邊,求三個角”的問題. 師:情境2就是這種類型的問題,我們不妨看一下解答.

情境2: 一位工人欲做一個三角形的支架.已知桿BC的長度為6分米,DAE是由一根直的鋼管沿著點A彎折而成.若彎折點A與焊接點B,C的距離分別為4分米和5分米,欲彎折后桿BC恰好能與兩焊接點相接,則彎折后∠BAC的大小是多少(精確到0.1度)?

解析:在?ABC中,因為c?4,b?5,a?6,則由余弦定理,得

b2?c2?a252?42?62

cosA???0.125,,所以A?82.80；

2bc2?5?4

A

E

答:彎折后,?BAC?82.80.

D

反思:(2)利用余弦定理解決實際問題,解題的關鍵是建立出相應的三角形的模型.同時,要注意最后結果的精確度的要求.

變式:(1)在△ABC中,已知a2+b2+ab=c2,求角C的大小.

a2?b2?c2?ab11222222

???,即cosC??, 解析:由a+b+ab=c,得a?b?c??ab,則

2ab2ab22

所以C?1200.

反思:(3)在解三角形時,由邊的條件式求角時,別忘了余弦定理；同時要注重余弦定理的逆用.

變式:(2)若三條線段的長分別為5,6,7,則用這三條線段( ). A.能組成直角三角形 B.能組成銳角三角形

C.能組成鈍角三角形 D.不能組成三角形

解析:首先因為兩條小邊之和大于第三邊,所以能夠組成三角形；接著,只要看最大的角是什么角.因為52?62?72,所以最大角為銳角,故這三條線段能組成銳角三角形.

思考:(1)若用長為5,6,x的三條線段構成的三角形是鈍角三角形,則正數(shù)x的取值范圍 是________.

(2)在?ABC中,已知a +c =2b,求證:B≤45°.

?x?6?x?6??

解析:(1)由?x?5?6或?5?x?6,

?x?11或1?x??x2?52?62?62?x2?52??

(2)要證: B≤60°,只要證:cosB?

1c?a?b1???22ca21

所以cosB?,故B≤60°.

2

2

2

2

1. 2

c2?a2?(

而cosB?

c?a2

)

13c2?3a2?6ca3(c?a)2??0, ?=

8ca8ca2ca2

四、思維提升 鞏固拓展

[1]課堂小結

數(shù)學知識----本節(jié)課新學的數(shù)學知識只有余弦定理.余弦定理與正弦定理是三角形中的兩朵奇葩,從形式上看,兩者都具有“美觀”的外形,余弦定理雖有多個表達式,但它們之間具有可以輪換的對稱美；從本質(zhì)上看,兩者都揭示了三角形中邊與角之間“美妙”的內(nèi)在聯(lián)系.

在解三角形的問題中,“已知三個元素”包括了“三條邊,兩角一邊,兩邊一角”這三種情況,前面學習的正弦定理能夠解決已知“兩角與任一邊” 以及“兩邊與其中一邊的對角”這兩類問題；今天學習的余弦定理又能夠解決已知“三邊” 以及“兩邊及其夾角”的這兩類問題.這樣,對于一般的解三角形問題,我們就都能找到解決的辦法了.當然,對于一些較為復雜的三角形問題,往往還要把這兩個定理聯(lián)合起來解決問題.

思維啟迪----從本節(jié)課的討論與研究中,我們獲得了以下的一些思維啟迪:

(1)本節(jié)課上,對于余弦定理的發(fā)現(xiàn),我們是從三個特例開始的,這遵循了“從特殊到一般”的思維策略.

(2)在三個特例的基礎上,我們進行了大膽的猜想,所以合理運用數(shù)學猜想等合情推理手段,是我們進行數(shù)學發(fā)現(xiàn)的一個重要途徑.

(3)另外,在驗證余弦定理時,我們運用到了幾何、三角、向量等多個知識領域,所以我們要注重不同知識內(nèi)容之間的融會貫通.

[2]作業(yè)布置

必做作業(yè):教材第16頁習題1.2第1,2,3,4題. 選做作業(yè):教材第16頁習題1.2第12題.

課后探究: (1) 思考:若用長為5,6,x的三條線段構成的三角形是鈍角三角形,則正數(shù)x的取值范圍是________.

(2)在?ABC中,已知a +c =2b,求證:B≤45°.

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