平面向量教案

二、復(fù)習(xí)要求

1、 向量的概念;

2、向量的線性運(yùn)算:即向量的加減法,實(shí)數(shù)與向量的乘積,兩個(gè)向量的數(shù)量積等的定義,運(yùn)算律;

3、向量運(yùn)算的運(yùn)用

三、學(xué)習(xí)指導(dǎo)

1、向量是數(shù)形結(jié)合的典范。向量的幾何表示法--有向線段表示法是運(yùn)用幾何性質(zhì)解決向量問題的基礎(chǔ)。在向量的運(yùn)算過程中,借助于圖形性質(zhì)不僅可以給抽象運(yùn)算以直觀解釋,有時(shí)甚至更簡捷。

向量運(yùn)算中的基本圖形:①向量加減法則:三角形或平行四邊形;②實(shí)數(shù)與向量乘積的幾何意義--共線;③定比分點(diǎn)基本圖形--起點(diǎn)相同的三個(gè)向量終點(diǎn)共線等。

2、 向量的三種線性運(yùn)算及運(yùn)算的三種形式。

向量的加減法,實(shí)數(shù)與向量的乘積,兩個(gè)向量的數(shù)量積都稱為向量的線性運(yùn)算,前兩者的結(jié)果是向量,兩個(gè)向量數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量。每一種運(yùn)算都可以有三種表現(xiàn)形式:圖形、符號(hào)、坐標(biāo)語言。

主要內(nèi)容列表如下:

運(yùn) 算 圖形語言 符號(hào)語言 坐標(biāo)語言

加法與減法

=

- =

記 =(x1,y1), =(x1,y2)

則 =(x1 x2,y1 y2)

- =(x2-x1,y2-y1) =

實(shí)數(shù)與向量

的乘積

=λ

λ∈r 記 第一文庫網(wǎng)=(x,y)

則λ =(λx,λy) 兩個(gè)向量

的數(shù)量積

· =| || |

cos

記 =(x1,y1), =(x2,y2)

則 · =x1x2 y1y2

3、 運(yùn)算律

加法: = ,( ) = ( )

實(shí)數(shù)與向量的乘積:λ( )=λ λ ;(λ μ) =λ μ ,λ(μ )=

(λμ)

兩個(gè)向量的數(shù)量積: · = · ;(λ )· = ·(λ )=λ( · ),( )· = · ·

說明:根據(jù)向量運(yùn)算律可知,兩個(gè)向量之間的線性運(yùn)算滿足實(shí)數(shù)多項(xiàng)式乘積的運(yùn)算法則,正確遷移實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可以簡化向量的運(yùn)算,例如( ± )2=

4、 重要定理、公式

(1)平面向量基本定理;如果 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于該平面內(nèi)任一向量 ,有且只有一對(duì)數(shù)數(shù)λ1,λ2,滿足 =λ1 λ2 ,稱λ1 λ λ2 為 , 的線性組合。

根據(jù)平面向量基本定理,任一向量 與有序數(shù)對(duì)(λ1,λ2)一一對(duì)應(yīng),稱(λ1,λ2)為 在基底{ , }下的坐標(biāo),當(dāng)取{ , }為單位正交基底{ , }時(shí)定義(λ1,λ2)為向量 的平面直角坐標(biāo)。

向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系:當(dāng)向量起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí),定義向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo),即若a(x,y),則 =(x,y);當(dāng)向量起點(diǎn)不在原點(diǎn)時(shí),向量 坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo),即若a(x1,y1),b(x2,y2),則 =(x2-x1,y2-y1)

(2)兩個(gè)向量平行的充要條件

符號(hào)語言:若 ∥ , ≠ ,則 =λ

坐標(biāo)語言為:設(shè) =(x1,y1), =(x2,y2),則 ∥ (x1,y1)=λ(x2,y2),即 ,或x1y2-x2y1=0

在這里,實(shí)數(shù)λ是唯一存在的,當(dāng) 與 同向時(shí),λ>0;當(dāng) 與 異向時(shí),λ

|λ|= ,λ的大小由 及 的大小確定。因此,當(dāng) , 確定時(shí),λ的符號(hào)與大小就確定了。這就是實(shí)數(shù)乘向量中λ的幾何意義。

(3)兩個(gè)向量垂直的充要條件

符號(hào)語言: ⊥ · =0

坐標(biāo)語言:設(shè) =(x1,y1), =(x2,y2),則 ⊥ x1x2 y1y2=0

(4)線段定比分點(diǎn)公式

如圖,設(shè)

則定比分點(diǎn)向量式:

定比分點(diǎn)坐標(biāo)式:設(shè)p(x,y),p1(x1,y1),p2(x2,y2)

則

特例:當(dāng)λ=1時(shí),就得到中點(diǎn)公式:

,

實(shí)際上,對(duì)于起點(diǎn)相同,終點(diǎn)共線三個(gè)向量 , , (o與p1p2不共線),總有 =u v ,u v=1,即總可以用其中兩個(gè)向量的線性組合表示第三個(gè)向量,且系數(shù)和為1。