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導數(shù)是近代數(shù)學的重要基礎,是聯(lián)系初、高等數(shù)學的紐帶,它的引入為解決中學數(shù)學問題提供了新的視野, 是研究函數(shù)性質(zhì)、證明不等式、探求函數(shù)的極值最值、求曲線的斜率和解決一些物理問題等等的有力工具，
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。本文擬就導數(shù)的應用,談一點個人的感悟和體會。
1以導數(shù)概念為載體處理函數(shù)圖象問題函數(shù)圖象直觀地反映了兩個變量之間的變化規(guī)律,由于受作圖的局限性,這種規(guī)律的揭示有時往往不盡人意. 導數(shù)概念的建立拓展了應用圖象解題的空間。
例1:(2007浙江卷)設 是函數(shù)f(x)的導函數(shù),將y= f(x)+f′(x)和的圖象畫在同一個直角坐標系中,不可能正確的是(D)
例2:(2005江西卷) 已知函數(shù)y= xf′(x)的圖象如右圖所示(其中f′(x))是函數(shù) f(x)的導函數(shù)),下面四個圖象中y= f(x)的圖象大致是(C)
分析:由圖象知,f′(1)=f′(-1) =0,所以x=±1是函數(shù)f(x)的極值點,又因為在(-1,0)上,f′(x)<0,在(0,1)上,f′(x)>0,因此在(-1,1)上,f(x)單調(diào)遞減,故選C。
2以導數(shù)知識為工具研究函數(shù)單調(diào)性對函數(shù)單調(diào)性的研究,導數(shù)作為強有力的工具提供了簡單、程序化的方法,具有普遍的可操作方法。
例3:已知f(x)=x3+bx2+cx+d是定義在R上的函數(shù), 其圖象交x軸于A、B、C三點, 點B的坐標為(2,0),且 f(x)在[-1,0]和[0,2]有相反的單調(diào)性. ①求C的值. ②若函數(shù)f(x)在[0,2]和[4,5]也有相反的單調(diào)性, f(x)的圖象上是否存在一點M, 使得f(x)在點M的切線斜率為3b? 若存在, 求出M點的坐標. 若不存在, 說明理由.
分析:①f′(x)=3x2+2bx+c,
∵f(x)在[-1,0]和[0,2]有相反的單調(diào)性.
∴ x=0是f(x)的一個極值點, 故f′(0)=0. ∴c=0.
②令f′(x)=0得3x2+2bx=0,x1=0,x2=
因為f(x)在[0,2]和[4,5] 有相反的單調(diào)性,
∴f′(x)在[0,2]和[4,5] 有相反的符號.
故2≤-2b3≤4,-6≤b≤-3.
假設存在點M(x0,y0)使得f(x)在點M的切線斜率為3b,則f′(x0)=3b.
即3x02+2bx0-3b=0.∵△=4b2-4·3·(-3b)=4b(b+9),而f′(x0)=3b.
∴△<0.
故不存在點M(x0,y0)使得f(x)在點M的切線斜率為3b.
3證明不等式彰顯導數(shù)方法運用的靈活性把要證明的一元不等式通過構造函數(shù)轉(zhuǎn)化為f(x)>0(<0)再通過求f(x)的.最值,實現(xiàn)對不等式證明,導數(shù)應用為解決此類問題開辟了新的路子,使過去不等式的證明方法從特殊技巧變?yōu)橥ǚ?彰顯導數(shù)方法運用的靈活性、普適性。
例4:(1)求證:當a≥1時,不等式對于n∈R恒成立.
(2)對于在(0,1)中的任一個常a ,問是否存在x0>0使得ex0-x0-1>a·x022 ex0成立?如果存在,求出符合條件的一個x0;否則說明理由2016最新單位感謝信2016最新單位感謝信。
分析:(1)證明:(Ⅰ)在x≥0時,要使(ex-x-1)≤ax2e|x|2成立。
只需證: ex≤a2x2ex+x+1即需證:1≤a2x2+x+1ex①
令y(x)=a2x2+x+1ex,求導數(shù)y′(x) =ax+1·ex-(x+1)ex(ex)2=ax+-xex
∴y′(x)=x(a-1ex),又a≥1,求x≥0,故y′(x) ≥0
∴f(x)為增函數(shù),故f(x)≥y(0)=1,從而①式得證
(Ⅱ)在時x≤0時,要使ex-x-1≤ax2e|x|2 成立。
只需證:ex≤a2x2ex+x+1,即需證:1≤ax22e-2x+(x+1)e-x②
令m(x)=ax22e-2x+(x+1)e-x,求導數(shù)得m′(x)=-xe-2x[ex+a(x-1)]
而φ(x)=ex+a(x-1)在x≤0時為增函數(shù)
故φ(x)≤φ(0)=1-a≤0,從而m(x) ≤0
∴m(x)在x≤0時為減函數(shù),則m(x)≥m(0)=1,從而②式得證
由于①②討論可知,原不等式ex-x-1≤ax2e|x|2在a≥1時,恒成立
(2)解:ex0-x0-1≤a·x02|x|2ex0將 變形為ax022+x0+1ex0-1 要找一個x0>0,使③式成立,只需找到函t(x)=ax22+x+1ex-1 的最小值,
滿足t(x)min<0即可,對t(x)求導數(shù)t′(x)=x(a-1ex)
令t′(x)=0得ex =1a,則x= -lna,取X0= -lna
在0<x<-lna時,t′(x) <0,在x > -lna時,t′(x) >0
t(x)在x=-lna時,取得最小值t(x0)=a2(lna) 2+a( -lna+1)-1
下面只需證明:a2(lna) 2-alna+a-1<0,在0<a<1時成立即可
又令p(a) =a2(lna) 2-alna+a-1,對p(a)關于a求導數(shù)
#from 關于導數(shù)及其近幾年題型來自大學網(wǎng)http://www.oriental01.com/ end#
則p′(a) =12(lna) 2≥0,從而p(a)為增函數(shù)
則p(a)<p(1)=0,從而a2(lna) 2-alna+a-1<0得證
于是t(x)的最小值t(-lna)<0
因此可找到一個常數(shù)x0=-lna(0<a<1),使得③式成立
最值證明在不等式中的應用,一般轉(zhuǎn)化不等式(轉(zhuǎn)化的思想)構造一個函數(shù),(函數(shù)的思想方法)然后求這個函數(shù)的極(最)值,應用恒成立關系就可以證明,對于應用導數(shù)解決實踐問題,關鍵是建立恰當?shù)臄?shù)學模型，
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《2016最新單位感謝信》(http://www.oriental01.com)。4求曲線y=f(x)在點(x0,y0)處的切線的斜率,運用導數(shù)的幾何意義函數(shù)在某點的導數(shù),其幾何意義是曲線在該點處切線的斜率,利用導數(shù)可以十分便捷地分析處理解析幾何中的有關切線問題2016最新單位感謝信文章2016最新單位感謝信出自http://www.oriental01.com/article/wk-78500000941177.html， 此鏈接！。
例5:已知函數(shù)f(x)=ln x,g(x)=12x2-a(a為常數(shù)),若直線l與y=f(x)和y=g(x)的圖象都相切,且l與y=f(x)的圖象相切于定點P(1,f(1)).
(1)求直線l的方程及a 的值;
(2)當k∈R時,討論關于x的方程f(x2+1)-g(x)=k的實數(shù)解的個數(shù).
分析:(1)∵f′(x)=,∴f′(1)=1 ∴k1=1,又切點為P(1,f(1)),即(1,0)
∴l的解析式為y=x-1,
∵l與y=g(x)相切,由y=x-1
y=12x2+a,消去y得x2-2x+2a+2=0
∴△=(-2)2-4(2a+2)=0,得a=- 12
(2)令h(x)= f(x2+1)-g(x)=ln(x2+1)-12x2+12
∵h′(x) =2x1+x2-x=-x(x-1)(x+1)1+x2,則h′(x) >0,h(x) 為增函數(shù),-1<x<0或x>1時,h′(x) <0,h(x) 為減函數(shù)。
故x=±1時,h(x)取極大值ln2,x=0時,h(x)取極小值12。
因此當 k∈(ln2,+∞),原方程無解;當k=ln2時,原方程有兩解;當12<k<ln2時,原方程有四解;當k=12時,原方程有三解;當k<12時,原方程有兩解。
5利用導數(shù)求函數(shù)極(最)值解答這類問題的方法是:①根據(jù)求導法則對函數(shù)求出導數(shù)。②令導數(shù)等于0,解出導函數(shù)的零點③分區(qū)間討論,得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2016最新單位感謝信感謝信。④判斷極值點,求出極值。⑤求出區(qū)間端點值與極值進行比較,求出最值。
例6:設x1、x2是函數(shù)f(x)=ax3+bx2-a2x (a>0)的兩個極值點.
(1)若x1=-1,x2=2,求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若|x1|+|x2|=22,求f(x)的最大值;
分析:(1)∵f(x)=ax3+bx2-a2x (a>0),∴f′(x)=ax3+bx2-a2x (a>0)
依題意有f′(-1)=0
f′(2)=0,∴ 3a-2b-a2=0
12a+4b-a2=0
解得a=6
b=-9,∴f(x)=6x2+9x2-36x.
(2)∵f′(x)=3ax2+2bx-a2(a>0),
依題意,x1,x2是方程f′(x)=0的兩個根,且|x1|+|x2|=22,
∴(x1+x2)2-2x1x2+|x1+x2|=8.
∴(-2b3a)2·(-a3)+2|-a3|=8,∴b2=3a2(6-a).
∵b2≥0,∴0<a≤6.
設p(a)=3a2(6-a),則p′(a)=-9a2+36a.
由p′(a) >0得0<a<4,由p′(a) >0得a>4.
即:函數(shù)p(a) 在區(qū)間(0,4]上是增函數(shù),在區(qū)間[4,6]上是減函數(shù),
∴當a=4時,p(a)有極大值為96,∴p(a)在(0,6]上的最大值是96,
∴b的最大值為46.
導數(shù)的廣泛應用,為我們解決函數(shù)問題提供了有力的工具,用導數(shù)可以解決函數(shù)中的最值問題,不等式問題,還可以解析幾何相聯(lián)系,可以在知識的網(wǎng)絡交匯處設計問題。因此,在教學中,要突出導數(shù)的應用。
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