高考中探索性問題的題型分析
高考中探索性問題的題型分析四川省樂至縣吳仲良中學 毛仕理
隨著以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力為重點的素質(zhì)教育的深入發(fā)展，高考命題將更加關注“探索性問題”．從最近幾年來高考中探索性問題逐年攀升的趨勢，可預測探索性問題仍將是高考命題“孜孜以求的目標”．
常規(guī)的解答題或證明題，其條件或結(jié)論都明確給出，解題過程實際上就是由因?qū)Ч蛴晒饕�，是一個展開思維走向的過程．
由給定的題設條件探求相應的結(jié)論，或由給定的題斷追溯應具備的條件，或變更題設、題斷的某個部分使命題也相應變化等等，這一類問題稱之為探索性問題．由于這類題型沒有明確的結(jié)論，解題方向不明，自由度大，需要先通過對問題進行觀察、分析、比較、概括后方能得出結(jié)論，再對所得出的結(jié)論予以證明．其難度大、要求高，是訓練和考查學生的創(chuàng)新精神，數(shù)學思維能力、分析問題和解決問題能力的好題型．近幾年高考中探索性問題分量加重，在選擇題、填空題、解答題中都已出現(xiàn)．
高考常見的探索性問題，就其命題特點考慮，可分為題設開放型、結(jié)論開放型、題設和結(jié)論均開放型以及解題方法的開放型幾類問題．
一、結(jié)論開放型
結(jié)論開放型探索性問題的特點是給出一定的條件而未給出結(jié)論，要求在給定的前提條件下，探索結(jié)論的多樣性，然后通過推理證明確定結(jié)論．解決這類問題的總體思路是：先假設結(jié)論存在，并依此進行推理，若能推出矛盾。即可否定假設；若能推出合理結(jié)果，經(jīng)驗證成立，即可肯定假設成立．
例1 有兩個不是常數(shù)數(shù)列的等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}，且a1=b1=l，那么它們最多有多少個對應項的值相等?你能舉出具體的例子嗎?
解析 根據(jù)題意，要找出有多少個對應項的值相等，可以分別設數(shù)列的通項
an=1+(n-1)d (公差d≠0)．
bn=qn-1(公比q≠0，1)．
由對應項的值相等an=bn，有1+(n-1)d = qn-1．
于是，問題歸結(jié)為討論這個關于n(n∈N*)的方程解的個數(shù)，這個結(jié)果不易直接得出．怎么辦呢?如果換位思考，用數(shù)形結(jié)合的思想去探索，則可以轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象自變量取正整數(shù)時交點的個數(shù)，這個問題就變得很具體了．
令y1=1+(n-1)d (d≠O)，
y2= qn-1 (q≠0，1)．
函數(shù)y1的圖象是直線上自變量取正整數(shù)的點；函數(shù)y2的圖象是指數(shù)函數(shù)的圖象右移1個單位，且白變量取正整數(shù)的點．顯然兩者的圖象均過點(1，1)．
圖l
(1)q>0，且q≠1時，①若d>0，y1單調(diào)遞增，則僅當q>l時，y1與y2可能再有交點，且最多再有一個(如圖l)；②若d<0，y1單調(diào)遞減，則僅當0<q<1時，y1、y2才能再有交點，且最多再有1個(如圖2)．
(2)q<0，y2=qn-1對應的點分別在y=|q|n-1和y=-|q|n-1兩個函數(shù)的圖象上，y1與y2的圖象最多再有2個交點(如圖3)．
綜上所述，兩數(shù)列中對應項相等的項不超過3個． 圖2
特別地，選取等差數(shù)列{an}：1, , ,- ,…
等比數(shù)列{bn}：l，- ， ，- ,…
其中，a1=b1=1,a3=b3= ,a4=b4=- ,…
點撥 本題運用兩次等價轉(zhuǎn)化思想，把問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象自變量取正整數(shù)交點的個數(shù)，然后再運用數(shù)形結(jié) 圖3
合思想予以探索解答．轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)學問題中經(jīng)常應用．
二、題設開放型
題設開放型探索性問題的特點是給出結(jié)論，不給出條件或條件殘缺，需在給定結(jié)論的前提下，探索結(jié)論成立的條件，但滿足結(jié)論成立的條件往往不唯一，答案與已知條件對整個問題而言只要是充分的、相容的、獨立的．就視為正確的．解決這類問題的總體思路是：采用分析法，把結(jié)論看作已知進行逆推，探索結(jié)論所需的條件．
例2 如圖，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，當?shù)酌嫠倪呅?nbsp; A
ABCD滿足條件___________ 時，有A1C⊥B1D1．(注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有的情形)．
解析 題目給出了部分條件及確定的結(jié)論，要求深入認識其內(nèi)在聯(lián)系，填寫能得到結(jié)論的一種條件．
∵A1B1C1D1—ABCD是直四棱柱．
∴A1A⊥底面ABCD，B1B與D1D平行且相等．而AC是A1C在底面ABCD上的射影，
B1D1∥BD，
要使A1C⊥B1D1，只要A1C上BD，進而只需AC⊥BD．
這就是底面ABCD所需滿足的條件．
點撥 填寫四邊形ABCD是正方形、菱形皆可．因為這些特殊四邊形都包含著本題所需的本質(zhì)：AC⊥BD．AC⊥BD是結(jié)論A1C⊥B1D1成立的充要條件，而所填的ABCD是正方形或菱形則是使結(jié)論A1C⊥B1D1成立的充分而不必要的條件．
三、全開放型
題設、結(jié)論都不確定或不太明確的開放型探索性問題，與此同時解決問題的方法也具有開放型的探索性問題，需要我們進行比較全面深入的探索，才能研究出解決問題的辦法來．
例3 某自來水廠要制作容積為500 m3的無蓋長方體水箱，現(xiàn)有三種不同規(guī)格的長方形金屬制箱材料：①19×19；②30×10；③25×12．(長度單位：m)．
請你選擇一種規(guī)格的材料，并設計出相應的制作方案．(要求：①用料最�。虎诤啽阋仔�)．
解析 要求設計方案滿足“用料最省”，即使無蓋水箱的表面積最�。鐖D1，該水箱的長、寬、高分別為a、b、c.
則其體積V=abc=500(m3)． 圖1
其表面積S=2bc+2ac+ab≥3 =3 =300(m2)，
當且僅當2bc=2ac=ab，即a=b=10，c=5時，
S=2bc+2ac+ab=300m2為最�。�
這表明，將無蓋長方體的尺寸設計為：10×10×5(即2：2：1)時，用料最省．
為了選擇材料并設計制作方案，我們進行逆向思維，先將無蓋水箱長方體展開成如圖2的平面圖，進一步剪拼成如圖3的長30 m、寬10 m(長：寬=3：1)的長方形．因此，應選擇規(guī)格為30×10的材料制作．制作方案如圖4．可以看出，這種“先割后補”的方案，不但可使用料最省，而且簡便易行．
圖3
圖2 圖4
點撥 本題既具有開放性又具有實際應用價值，對學生的思維能力和應用能力要求比較高，首先要想到“用料最省”等價于“無蓋長方體表面積最小”，而設計相應的制作方案則要求學生設計合理的程序、對自己的實驗(剪拼)結(jié)果進行評價．
在推進素質(zhì)教育的過程中，我們認為進行探索性問題的訓練，是數(shù)學教育走出困境的一個好辦法．由于數(shù)學開放探索題有利于學生創(chuàng)新意識的培養(yǎng)和良好思維品質(zhì)的形成，它越來越受到教育界人士的關注和深入研究，在高考中起著愈來愈重要的作用．在今后幾年高考中，有如下的預測：
1.從1999年～2004年的高考中，探索性問題逐年攀升的趨勢，可預測今后將會加大開放探索性考題的力度．
2.在2003年和2004年連續(xù)兩年高考題中，出現(xiàn)以解析幾何為背景的結(jié)論開放型探索性的解答題，說明這類題型仍將是高考解答題的重點．
3.設計開放探索題，能考查學生的創(chuàng)新意識，特別應鼓勵學生創(chuàng)新性的解答，這就反映學生的創(chuàng)新意識，應該很好鼓勵．
4.將在方法型開放探索題中有所突破，用非常規(guī)的解題方法，或者指定兩種以上方法解同一個問題，或者在題設或結(jié)論開放型的問題中解決方法也具有一定的開放性問題，都可能在高考中出現(xiàn)．