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公式法解一元二次方程的教案設計（精選10篇）
作為一名優(yōu)秀的教育工作者，常常要根據(jù)教學需要編寫教案，教案有助于順利而有效地開展教學活動。如何把教案做到重點突出呢？以下是小編為大家收集的公式法解一元二次方程的教案設計，僅供參考，希望能夠幫助到大家。
公式法解一元二次方程的教案設計 1
【學習目標】
1.了解一元二次方程的含義.
2.初步掌握用直接開平方法解一元二次方程，會用直接開平方法解形如(x-a)2=b(b≥0)的方程.
3.初步掌握用配方法解一元二次方程，會用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程.
4.掌握一元二次方程的求根公式的推導，能夠運用求根公式解一元二次方程.
【主體知識歸納】
1.整式方程 方程的兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式，這樣的方程叫做整式方程.
2.一元二次方程 只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的整式方程叫做一元二次方程.
3.一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項，b叫做一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項.
4.直接開平方法 形如x2=a(a≥0)的方程，因為x是a的平方根，所以x=± ，即x1= ，x2=- .這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法.
5.配方法 將一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)化成(x+ )2= 的形式后，當b2-4ac≥0時，用直接開平方法求出它的根，這種解一元二次方程的方法叫做配方法.
用配方法解已化成一般形式的一元二次方程的一般步驟是：(1)將方程的兩邊都除以二次項的系數(shù)，把方程的二次項系數(shù)化成1；(2)將常數(shù)項移到方程右邊；(3)方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方；(4)當右邊是非負數(shù)時，用直接開平方法求出方程的根.
6.公式法 用一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式x= (b2-4ac≥0)，這種解一元二次方程的方法叫做公式法.
【基礎知識講解】
1.一元二次方程的概念包涵三個條件：(1)整式方程；(2)方程中只含有一個未知數(shù)；(3)未知數(shù)的最高次數(shù)是2”.
一元二次方程的概念中“只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2”是對化成一般形式之后而言的.例如，判斷方程2x2+2x-1=2x2是否是一元二次方程?應先整理方程，得2x-1=0，所以此方程不是一元二次方程.
2.在求二次項、一次項和常數(shù)項時，要先整理方程，把方程化成一般形式，即ax2+bx+c=0，再確定所求.方程ax2+bx+c=0只有當a≠0時，才是一元二次方程，例如a=0，b≠0時，它就是一元一次方程，因此，如果明確指出ax2+bx+c=0是一元二次方程，那么就一定包括a≠0這個條件.
3.直接開平方法適用于解化為x2=a形式的方程，當a≥0時，方程有實數(shù)解；當a0時，方程沒有實數(shù)解.
4.配方法是先把方程的常數(shù)項移到方程的右邊，再把左邊配成一個完全平方式，如果右邊是非負數(shù)，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解；如果右邊是負數(shù)時，方程無實數(shù)解.
5.求根公式是針對一元二次方程的一般形式來說的'，使用求根公式時，必須先把方程化成一般形式，才能正確地確定各項系數(shù)，在應用公式之前，先計算出b2-4ac的值，當b2-4ac≥0時，代入公式求出方程的根；當b2-4ac0時，方程沒有實數(shù)根，這時就不必再代入公 式了.
【例題精講】
例1：指出下列方程中哪些是一元二次方程：
(1)5x2+6=3x(2x+1)；(2)8x2=x；(3)y3-y-1=0；
(4)4x2-3y=0；(5)-x2=0；(6)x(5x-1)=x(x+3)+4x2.
剖析：判斷一個方程是不是一元二次方程，首先要對方程進行整理，化成一般形式，然后再根據(jù)條件：①整式方程；②只含有一個未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)為2.
只有當這三個條件缺一不可時，才能判斷為一元二次方程.
解：(1)去括號，得5x2+6=6x2+3x，移項、合并同類項，得x2+3x-6=0，
∴此方程是一元二次方程.
(2)移項，得8x2-x=0，∴此方程是一元二次方程.
(3)因為未知數(shù)的最高次數(shù)是3，∴此方程不是一元二次方程.
(4)∵方程中含有兩個未知數(shù)，
∴它不是一元二次方程.
(5)∵a=-1≠0，
∴它是一元二次方程.
(6)整理，得4x=0
∴它不是一元二次方程.
例2：寫出下列一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項：
(1)2x2=3x+5；(2)(x+1)(x-1)=1；(3)(x+2)2-4=0.
剖析：雖然該題沒有要求把方程化成一般形式，但在做題時，也要先把方程化成一般形式.因為方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項是在方程為一般形式下的，所以必須先整理方程.
解：(1)整理，得2x2-3x-5=0.二次項系數(shù)是2，一次項系數(shù)是-3，常數(shù)項是-5.
(2)整理 ，得x2-2=0.二次項系數(shù)是1，一次項系數(shù)是0，常數(shù)項是-2.
(3)整理，得x2+4x=0.二次項系數(shù)是1，一次項系數(shù)是4，常數(shù)項是0.
例3:關(guān)于x的整式方程(m-1)x2+(2m-1)x+4=0是一元二次方程嗎?
剖析：要判別原方程是否是一元二次方程，易想到用定義，滿足條件：(1)整式方程；(2)方程中只含有一個未知數(shù)；(3)未知數(shù)的最高次數(shù)是2.原方程顯然滿足(1)、(2).由于不知m是怎樣的實數(shù)，所以不一定滿足(3).因此，需分類探討.
解：當m-1≠0，即m≠1時，原方程是一元二次方程.
當m-1=0，即m=1時，原方程是x+4=0是一元一次方程.
說明：在移項、合并同類項時，易出現(xiàn)符號錯誤，需格外小心，要認真區(qū)別題目要求是指出方程的各項還是各項系數(shù).特別要小心當某項的系數(shù)為負數(shù)時，指出各項時千萬不要丟負號.
例4:用直接開平方法解下列方程：
(1)3x2-27=0；(2)(3x-5)2-7=0.
解：(1)3x2-27=0，3x2=27，x2=9，
∴x=± ，即x=3或x=-3.∴x1=3，x2=-3.
(2)(3x-5)2-7=0，(3x-5)2=7，
∴3x-5=± ，
即3x-5= 或3x-5=- .
∴x1= ，x2= .
例5：用配方法解方程2x2+7x-4=0.
剖析：此題考查對配方法的掌握情況.配方法最關(guān)鍵的步驟是：
(1)將二次項系數(shù)化為1；
(2)將常數(shù)項與二次項、一次項分開在等式兩邊；
(3)方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，即可化為(x+a)2=k的形式，然后用開平方法求解.
解：把方程的各項都除以2，得x2+ x-2=0.移項，得x2+ x=2.配方，得x2+ x+( )2=2+( )2= ，即(x+ )2= .
解這個方程，得x+ =± ，x+ =± .即x1= ，x2=-4.
說明：配方法是一種重要的數(shù)學方法，除了用來解一元二次方程外，還在判斷數(shù)的正、負，代數(shù)式變形、恒等式的證明中有著廣泛的應用，例如證明不論x為何實數(shù)，代數(shù)式2x2-4x+3的值恒大于零，可以做如下的變形：2x2-4x+3=2x2-4x+2+1=2(x-1)2+1.
例6：用公式法解下列方程：
(1)2x2+7x=4；(2)x2-1=2 x.
解：(1)方程可變形為2x2+7x-4=0.
∵a=2，b=7，c=-4，b2-4ac=72-4×2×(-4)=810，
∴x= .∴x1= ，x2=-4.
(2)方程可變形為x2-2 x-1=0.
∵a=1，b=-2 ，c=-1，b2-4ac=(-2 )2-4×1×(-1)=160.
∴x= .∴x1= +2，x2= -2.
說明：在用公式法解方程時，一定要先把方程化成一般形式.
例7：一元二次方程(m-1)x2+3m2x+(m2+3m-4)=0有一根為零，求m的值及另一根.
解：因為方程有一根為零，所以它的常數(shù)項m2+3m-4=0，解得m1=1，m2=-4，又因為此方程是一元二次方程，所以m-1≠0，即m≠1，所以m=-4.
把m=-4代入方程，得-5x2+48x=0，
解得：x1=0，x2=9.6，
所以方程的另一根為9.6.
說明：方程有一根為零時，常數(shù)項必須為零；求解字母系數(shù)的一元二次方程的問題中，二次項系數(shù)的字母必須保證二次項系數(shù)不等于零，這是解此類問題的先決條件.
【同步達綱練習】
1.選擇題
(1)下列方程中是一元二次方程的是( )
A. =0 B. =0 C.x2+2xy+1=0 D.5x=3x-1
(2)下列方程不是一元二次方程的是( )
A. x2=1 B.0.01x2+0.2x-0.1=0C. x2-3x=0 D. x2-x= (x2+1)
(3)方程3x2-4=-2x的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為( )
A.3，-4，-2 B.3，2，-4 C.3，-2，-4 D.2，-2，0
(4)一元二次方程2x2-(a+1)x=x(x-1)-1的二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)為-1，則a的值為( )
A.-1 B.1 C.-2 D.2
(5)若方程(m2-1)x2+x+m=0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍是( )
A.m≠0 B.m≠1 C.m≠1且m≠-1 D.m≠1或m≠-1
(6)方程x(x+1)=0的根為( )
A.0 B.-1 C.0，-1 D.0，1
(7)方程3x2-75=0的解是( )
A.x=5 B.x=-5 C.x=±5 D.無實數(shù)根
(8)方程(x-5)2=6的兩個根是( )
A.x1=x2=5+ B.x1=x2=-5+
C.x1=-5+ ，x2=-5- D.x1=5+ ，x2=5-
(9)若代數(shù)式x2-6x+5的值等于12，那么x的值為( )
A.1或5 B.7或-1 C.-1或-5 D.-7或1
(10)關(guān)于x的方程3x2-2(3m-1)x+2m=15有一個根為-2，則m的值等于( )
A.2 B.- C.-2 D.
2.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項：
(1)4x+1=9x2； (2)(x+1)(x-3)=2x-3；
(3)(x+3)(x-3)=2(x-3)2； (4) y2- y= y2- y+ .
3.當m滿足什么條件時，方程(m+1)x2-4mx+4m-2=0是一元二次方程?當x=0時，求m的值.
4.用直接開平方法解下列方程：
(1)x2= ；(2)x2=1.96；(3)3x2-48=0；
(4)4x2-1=0；(5)(x-1)2=144；(6)(6x-7)2-9=0.
5.用配方法解下列方程：
(1)x2+12x=0； (2)x2+12x+15=0 (3)x2-7x+2=0；
(4)9x2+6x-1=0； (5)5x2-2=-x； (6)3x2-4x=2.
6.用公式法解下列方程：
(1)x2-2x+1=0； (2)x(x+8)=16； (3)x2- x=2； (4)0.8x2+x=0.3；
(5)4x2-1=0； (6)x2=7x； (7)3x2+1=2 x； (8)12x2+7x+1=0.
7.(1)當x為何值時，代數(shù)式2x2+7x-1與4x+1的值相等?
(2)當x為何值時，代數(shù)式2x2+7x-1與x2-19的值互為相反數(shù)?
8.已知a，b，c均為實數(shù)，且 +|b+1|+(c+3)2=0，解方程ax2+bx+c=0.
9.已知a+b+c=0.求證：1是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
10.用配方法證明：
(1)3y2-6y+11的值恒大于零；(2)-10x2-7x-4的值恒小于零.
11.證明：關(guān)于x的方程(a2-8a+20)x2+2ax+1=0，不論a為何實數(shù)，該方程都是一元二次方程.
公式法解一元二次方程的教案設計 2
教學目的
1.了解整式方程和一元二次方程的概念；
2.知道一元二次方程的一般形式，會把一元二次方程化成一般形式。
3.通過本節(jié)課引入的教學，初步培養(yǎng)學生的數(shù)學來源于實踐又反過來作用于實踐的辨證唯物主義觀點，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。
教學難點和難點:
重點:
1．一元二次方程的有關(guān)概念
2．會把一元二次方程化成一般形式
難點:
一元二次方程的含義.
教學過程設計
一、引入新課
引例：剪一塊面積是150cm2的長方形鐵片，使它的長比寬多5cm、這塊鐵片應該怎樣剪?
分析：1.要解決這個問題，就要求出鐵片的長和寬。
2.這個問題用什么數(shù)學方法解決?(間接計算即列方程解應用題。
3．讓學生自己列出方程(x（x十5）＝150)
深入引導：方程x(x十5)＝150有人會解嗎?你能叫出這個方程的名字嗎？
二、新課
1．從上面的引例我們有這樣一個感覺：在解決日常生活的計算問題中確需列方程解應用題，但有些方程我們解不了，但必須想辦法解出來。事實上初中代數(shù)研究的主要對象是方程。這部分內(nèi)容從初一一直貫穿到初三。到目前為止我們對方程研究的還很不夠，從今天起我們就開始研究這樣一類方程--------一元一二次方程(板書課題)
2．什么是—元二次方程呢？現(xiàn)在我們來觀察上面這個方程：它的左右兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式，這樣的方程叫做整式方程，就這一點來說它與一元一次方程沒有什么區(qū)別、也就是說一元二次方程首先必須是一個整式方程，但是一個整式方程未必就是一個一元二次方程、這還取決于未知數(shù)的最高次數(shù)是幾。如果方程未知數(shù)的最高次數(shù)是2、這樣的整式方程叫做一元二次方程．(板書一元二次方程的`定義)
3．強化一元二次方程的概念
下列方程都是整式方程嗎?其中哪些是一元一次方程?哪些是一元二次方程?
(1)3x十2＝5x—3：(2)x2＝4
(2)(x十3)(3x·4)＝(x十2)2；(4)(x—1)(x—2)＝x2十8
從以上4例讓學生明白判斷一個方程是否是一元二次方程不能只看表面、而是能化簡必須先化簡、然后再查看這個方程未知數(shù)的最高次數(shù)是否是2。
4.一元二次方程概念的延伸
提問：一元二次方程很多嗎?你有辦法一下寫出所有的一元二次方程嗎?
引導學生回顧一元二次方程的定義，分析一元二次方程項的情況，啟發(fā)學生運用字母，找到一元二次方程的一般形式
ax2+bx+c=0(a≠0)
1）．提問a＝0時方程還是一無二次方程嗎?為什么?(如果a＝0、b≠就成了一元一次方程了)。
2）．講解方程中ax2、bx、c各項的名稱及a、b的系數(shù)名稱．
3）．強調(diào)：一元二次方程的一般形式中“＝”的左邊最多三項、其中一次項、常數(shù)項可以不出現(xiàn)、但二次項必須存在、而且左邊通常按x的降冪排列：特別注意的是“＝”的右邊必須整理成0。
強化概念（課本P6）
1．說出下列一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項：
�。�1）x2十3x十2＝O（2）x2—3x十4＝0；(3)3x2-5＝0
�。�4）4x2十3x—2＝0；(5)3x2—5＝0；(6)6x2—x=0。
2.把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項：
(1)6x2＝3-7x；(3)3x(x-1)＝2(x十2)—4；(5)(3x十2)2＝4(x-3)2
課堂小節(jié)
(1)本節(jié)課主要介紹了一類很重要的方程—一一元二次方程（如果方程未知數(shù)的最高次數(shù)為2，這樣的整式方程叫做一元一二次方程）；
(2)要知道一元二次方程的一般形式ax2十bx十c＝0(a≠0)并且注意一元二次方程的一般形式中“＝”的左邊最多三項、其中二次項、常數(shù)項可以不出現(xiàn)、但二次項必須存在。特別注意的是“＝”的右邊必須整理成0；
(3)要很熟練地說出隨便一個一元二次方程中一二次項、一次項、常數(shù)項：二次項系數(shù)、一次項系數(shù)．
課外作業(yè)：略
公式法解一元二次方程的教案設計 3
一、教學目標
1、知識與技能目標：認識一元二次方程，并能分析簡單問題中的數(shù)量關(guān)系列出一元二次方程。
2、過程與方法：學生通過觀察與模仿，建立起對一元二次方程的感性認識，獲得對代數(shù)式的初步經(jīng)驗，鍛煉抽象思維能力。
3、情感態(tài)度與價值觀：學生在獨立思考的過程中，能將生活中的經(jīng)驗與所學的知識結(jié)合起來，形成實事求是的態(tài)度以及進行質(zhì)疑和獨立思考的習慣。
二、教學重難點
重點：理解一元二次方程的'意義，能根據(jù)題目列出一元二次方程，會將不規(guī)則的一元二次方程化成標準的一元二次方程。
難點：找對題目中的數(shù)量關(guān)系從而列出一元二次方程。
三、教學過程
(一)導入新課
師：同學們我們就要開始學習一元二次方程了，在開始講新課之前，我們首先來看一看第二十二章的這張圖片，圖片上有一個銅雕塑，有哪位同學能告訴我這是誰嗎?
生：老師，這是雷鋒叔叔。
師：對，這是遼寧省撫順市雷鋒紀念館前的雷鋒雕像，雷鋒叔叔一生樂于助人，奉獻了自己方便了他人，所以即使他去世了，也活在人們心中，所以人們才給他做一個雕塑紀念他，同學們是不是也要向雷鋒叔叔學習啊?
生：是的老師。
師：可是原來紀念館的工作人員在建造這座雕像的時候曾經(jīng)遇到了一個問題，也就是圖片下面的這個問題，同學們想不想為他們解決這個問題呢?
生：想。
師：同學們也都很樂于助人，好那我們看一看這個問題是什么，然后帶著這個問題開始我們今天的學習一元二次方程。
(二)新課教學
師：我們來看到這個題目，要設計一座2m高的人體雕像，使雕像的上部(腰以上)與下部(腰以下)的高度比，等于下部與全部(全身)的高度比，雕像的下部應設計為全高?同學們用AC來表示上部，BC來表示下部先簡單列一下這個比例關(guān)系，待會老師下去看看同學們的式子。
(下去巡視)
(三)小結(jié)作業(yè)
師：今天大家學習了一元二次方程，同學們回去還要加強鞏固，做練習題的1、2(2)題。
公式法解一元二次方程的教案設計 4
教材分析
1．本節(jié)在引言中的方程基礎上，首先通過兩個實際問題，進一步引出一元二次方程的具體例子，然后引導學生觀察出它們的共同點，得出一元二次方程的定義。
2．書中的`定義是以未知數(shù)的個數(shù)和次數(shù)為標準，用文字的形式給出的。一元二次方程都可以整理為ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，即一元二次方程的一般形式。
3、本節(jié)始終都有列方程的內(nèi)容，這樣安排一方面是分散列方程這一教學難點，化整為零地培養(yǎng)由實際問題抽象出方程模型的能力；另一方面是為由一些具體的方程歸納出一元二次方程的概念。
學情分析
1、通過課堂練習，大部分學生對概念基本理解，能夠找出各項系數(shù)，但有少數(shù)學困生對于系數(shù)符號沒有掌握。
2、部分學生由于基礎較薄弱，用一元二次方程解決實際問題有一定的難度，解決這問題要以多練為主。
3、學生認知障礙點：一元二次方程與不等式和整式的綜合運用能力有待提高。
教學目標
1、從實際問題引出一元二次方程，使學生進一步體會方程是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系的一個有效數(shù)學模型，培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力及用數(shù)學的意識。
2、使學生正確理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一般形式，正確識別二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項。
3、通過概念教學，培養(yǎng)學生的觀察、類比、歸納能力，同時通過變式練習，使學生對概念理解具備完整性和深刻性。
教學重點和難點
1、重點：概念的形成及一般形式。
2、難點：從實際問題引出一元二次方程；正確識別一般形式中的“項”及“系數(shù)”。
公式法解一元二次方程的教案設計 5
一、教學目標
1.掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式，能運用它由已知一元二次方程的一個根求出另一個根與未知系數(shù)；
2.通過根與系數(shù)的教學，進一步培養(yǎng)學生分析、觀察、歸納的能力和推理論證的能力；
3.通過本節(jié)課的教學，向?qū)W生滲透由特殊到一般，再由一般到特殊的認識事物的規(guī)律。
教學重點和難點：
二、重點難點疑點及解決辦法
1.教學重點：根與系數(shù)的關(guān)系及其推導。
2.教學難點 ：正確理解根與系數(shù)的關(guān)系。
3.教學疑點：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是指一元二次方程兩根的和，兩根的積與系數(shù)的關(guān)系。
4.解決辦法；在實數(shù)范圍內(nèi)運用韋達定理，必須注意這個前提條件，而應用判別式的前提條件是方程必須是一元二次方程，即二次項系數(shù)，因此，解題時，要根據(jù)題目分析題中有沒有隱含條件和。
三、教學步驟
(一)教學過程
1.復習提問
(1)寫出一元二次方程的一般式和求根公式。
(2)解方程①，②。
觀察、思考兩根和、兩根積與系數(shù)的關(guān)系。
在教師的引導和點撥下，由沉重得出結(jié)論，教師提問：所有的一元二次方程的兩個根都有這樣的規(guī)律嗎?
2.推導一元二次方程兩根和與兩根積和系數(shù)的關(guān)系。
設是方程的兩個根。
由此得出，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系。(一元二次方程兩根和與兩根積與系數(shù)的關(guān)系)
結(jié)論1.如果的兩個根是，那么。
如果把方程變形為。
我們就可把它寫成的形式，其中。從而得出：略寫
結(jié)論2.如果方程的兩個根是，那么 。
結(jié)論1具有一般形式，結(jié)論2有時給研究問題帶來方便。
練習1.(口答)下列方程中，兩根的和與兩根的積各是多少?
(1)；(2)；(3)；
(4)；(5)；(6)
此組練習的目的是更加熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系。
3.一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應用。
(1)驗根。(口答)判定下列各方程后面的兩個數(shù)是不是它的兩個根。
�、伲虎�；③；
�、埽虎�。
驗根是一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的簡單應用，應用時要注意三個問題：(1)要先把一元二次方程化成一般形式，(2)不要漏除二次項系數(shù)，(3)還要注意中的負號。
(2)已知方程一根，求另一根。
例：已知方程的根是2，求它的另一根及k的值。
解法1：設方程的另一根為，那么。
又 ∵ 。
答：方程的另一根是，k的值是-7。
此題的解法是依據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，設未知數(shù)列方程達到目的，還可以向?qū)W生展現(xiàn)下列方法，并且作比較。
方法(二) ∵ 2是方程的'根，
原方程可變?yōu)?/p>
解此方程。
方法(三)∵ 2是方程的根，
答：方程的另一根是，k的值是-7。
學生進行比較，方法(二)不如方法(一)和(三)簡單，從而認識到根與系數(shù)關(guān)系的應用價值。
練習：教材P32中2。
學習筆答、板書，評價，體會。
(二)總結(jié)、擴展
(12) 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的推導是在求根公式的基礎上進行。它深化了兩根的和與積和系數(shù)之間的關(guān)系，是我們今后繼續(xù)研究一元二次方程根的情況的主要工具，必須熟記，為進一步使用打下基礎。
2.以一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的探索與推導，向?qū)W生展示認識事物的一般規(guī)律，提倡積極思維，勇于探索的精神，借此鍛煉學生分析、觀察、歸納的能力及推理論證的能力
3.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，在中考中多以填空，選擇，解答題的形式出現(xiàn)，考查的頻率較高，也常與幾何、二次函數(shù)等問題結(jié)合考查，是考試的熱點，它是方程理論的重要組成部分。
四、布置作業(yè)
教材P32中1 P33中A1。
公式法解一元二次方程的教案設計 6
教材分析
一元二次方程是一種數(shù)學建模的方法，它有著廣泛的實際背景，可以作為許多實際問題的數(shù)學模型。它體現(xiàn)了數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想，學好一元二次方程是學好二次函數(shù)不可或缺的，一元二次方程是高中數(shù)學的奠基工程。是本書的重點內(nèi)容，為后續(xù)學習打下良好的基礎。
學情分析
1、 經(jīng)過兩年的合作，我們班的學生已比較配合我上課，同時初三學生觀察、類比、概括、歸納能力也都比較強，不過對應用題的`分析他們還是覺得很頭疼，在今后應用題的教學中需進一步加強。
2、 一元二次方程是在學習《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基礎之上學習的，一元二次方程是一次方程向二次方程的轉(zhuǎn)化，是低次方程轉(zhuǎn)向高次方程求解方法的階梯。一元二次方程又是二次函數(shù)的特例。
教學目標
一、知識目標
1、在分析、揭示實際問題的數(shù)量關(guān)系并把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型（一元二次方程）的過程中，使學生感受方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的工具，，增加對一元二次方程的感性認識.
2、理解一元二次方程的概念.
3、掌握一元二次方程的一般形式，正確認識二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項.
二、能力目標
1、通過一元二次方程的引入，培養(yǎng)學生建模思想，歸納、分析問題及解決問題的能力.
2、由知識來源于實際，樹立轉(zhuǎn)化的思想，由設未知數(shù)、列方程向?qū)W生滲透方程的思想，進一步提高學生分析問題、解決問題的能力.
四、情感目標
1、培養(yǎng)學生主動探究知識、自主學習和合作交流的意識.
2、激發(fā)學生學數(shù)學的興趣，體會學數(shù)學的快樂，培養(yǎng)用數(shù)學的意識
教學重點和難點
教學重點: 一元二次方程的概念和它的一般形式
難點:
1、從實際問題中抽象出一元二次方程。
2、正確識別一般式中的“項”及“系數(shù)”
公式法解一元二次方程的教案設計 7
一、教材分析
1、教材所處的地位和作用：本課是閱讀教材P39頁的有關(guān)內(nèi)容，雖然新課程標準沒有要，教材上也作為閱讀教材，但由于其內(nèi)容太重要了，因而必須把它作為一堂課來上。它的作用在于讓學生能盡快判定一元二次方程根的情況。
2、教學內(nèi)容：本課主要是引導學生通過對一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)配方后得到的（x+ ）2 = 2 的觀察，分析，討論，發(fā)現(xiàn)，最后得出結(jié)論：只有當 2
b2－4ac≥ 0 時，才能直接開平方，進一步討論分析得出根的判別式，從而運用它解決實際問題。
3、新課程標準的要求：由于根的判別式作為刪去內(nèi)容，雖然其內(nèi)容重要，因而在處理這部分內(nèi)容時，只能要求作了解性深入，練習盡可能簡捷明確。
4、教學目標：
�。�1）知識能力目標：通過本課的學習，讓學生在知識上了解掌握根的判別式。在能力上在求不解方程能判定一元二次方程根的情況；根據(jù)根的情況，探求所需的條件。
�。�2）情感目標：學生通過觀察、分析、討論、相互交流、培養(yǎng)與他人交流的能力，通過觀察、分析、感受數(shù)學的變化美，激發(fā)學生的探求欲望。
5、數(shù)學思想：由感性認識到理性認識。
6、教學重點：
�。�1）發(fā)現(xiàn)根的判別式。
�。�2）用根的判別式解決實際問題。
7、教學難點：
根的判別式的發(fā)現(xiàn)
8、教法：啟導、探究
9、學法：合作學習與探究學習
10、教學模式：引導——發(fā)現(xiàn)式
二、教學過程
�。ㄒ唬┳粤暬仡�，引入新課
1、師生共同回顧：一元二次方程的解法
2、解下列一元二次方程。
�。�1）x2 -1=0 （2）x2 -2x =-1
�。�3）(x+1)2- 4=0 （4）x2 +2x+2=0
3、為什么會出現(xiàn)無解？
�。ǘ┨剿�
1、回顧：用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的過程。
2、觀察(x+ ) 2= 2 在什么情況下成立？
3、學生分組討論。
4、猜測？
5、發(fā)現(xiàn)了什么？
6、總結(jié)：2（先由學生完成，后由教師補充完整），通過觀察分析發(fā)現(xiàn)，只有當 b2－4ac≥ 0時， 才能直接開平方，也就是說，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)只有當系數(shù)a，b，c都是b2－4ac≥ 0時，才有實數(shù)根。（注意有根和有實數(shù)根的區(qū)別）
7、進一步觀察發(fā)現(xiàn)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
（1）當b2－4ac＞ 0時，_______________________
�。�2）當b2－4ac＝ 0時，_________________________
�。�3）當b2－4ac＜ 0時，_________________________
8、總結(jié)：
�。�1）比較分析學生的討論分析結(jié)果。
�。�2）由學生總結(jié)。
（3）教師根據(jù)學生總結(jié)情況補充完整。
把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式。
�。�1）當b2－4ac＞ 0時，_______________________
（2）當b2－4ac＝ 0時，_________________________
�。�3）當b2－4ac＜ 0時，________________________
�。ㄈ⿷眯轮�
1、不解方程判定下列一元二次方程根的情況。
（1）x2-x-6=0 b2－4ac=______ x1=_____ x2=_____
�。�2）x2-2x=1 b2－4ac=______ x1=_____ x2=_____
�。�3）x2-2x+2=0 b2－4ac=______ x1=_____ x2=_____
2、根據(jù)根的情況，求字母系數(shù)的'取值范圍。
例1：當m取什么值時，關(guān)于x的一元二次方程，2x2-(m+2)+2m=0有兩個相等的實數(shù)根？并求出方程的根。
（1）讀題分析：
A、二次項系數(shù)是什么？ a=_______
B、一次項系數(shù)是什么？ b=_______
C、常數(shù)項是什么？ c=_______
(2)建立等式，根據(jù)有個常數(shù)根 b2－4ac=0
�。�3）由學生完成解題過程后教師評價
3、證明
例2：說明不論m取什么值時，關(guān)于x的一元二次方程（x-1）(x-2)=m2，不論m取代的值都有幾個不相等的實根。
�。ㄋ模┚毩�
已知關(guān)于x的一元二次方程2x2-(2m+1)x+m=0的根的判別式是9，求m的值及方程的根。
�。ㄎ澹┬〗Y(jié)：把_________叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式，并會用它們解決一些實際問題。
三、作業(yè)
1、把例1、例2整理在作業(yè)本上。
2、有余力的同學把練習題整理在作業(yè)本。
四、教學后記
公式法解一元二次方程的教案設計 8
學習目標：
1、使學生會用列一元二次方程的方法解決有關(guān)增長率的應用題；
2、進一步培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力。
學習重點：
會列一元二次方程解關(guān)于增長率問題的應用題。
學習難點：
如何分析題意，找出等量關(guān)系，列方程。
學習過程：
一、 復習提問：
列一元二次方程解應用題的一般步驟是什么?
二、探索新知
1.情境導入
問題：“坡耕地退耕還林還草”是國家為了解決西部地區(qū)水土流失生態(tài)問題、幫助廣大農(nóng)民脫貧致富的一項戰(zhàn)略措施，某村村長為帶領全村群眾自覺投入“坡耕地退耕還林還草”行動，率先示范.2002年將自家的坡耕地全部退耕，并于當年承包了30畝耕地的還林還草及管理任務，而實際完成的畝數(shù)比承包數(shù)增加的百分率為x，并保持這一增長率不變，2003年村長完成了36.3畝坡耕地還林還草任務，求①增長率x是多少?②該村有50戶人家，每戶均地村長2003年完成的畝數(shù)為準，國家按每畝耕地500斤糧食給予補助，則國家將對該村投入補助糧食多少萬斤?
2.合作探究、師生互動
教師引導學生分析關(guān)于環(huán)保的情境導入問題，這是一個平均增長率問題，它的基數(shù)是30畝，平均增長的百分率為x，那么第一次增長后，即2002年實際完成的畝數(shù)是30(1+x)，第二次增長后，即2003年實際完成的畝數(shù)是30(1+x)2，而這一年村長完成的畝數(shù)正好是36.3畝.
教師引導學生運用方程解決問題：
�、�30(1+x)2=36.3；(1+x)2=1.21；1+x=±1.1；x1=0.1=10%，x2=-2.1(舍去)，所以增長的百分率為10%.
�、谌迤赂剡�林還草為50×36.3=1 815(畝)，國家將補助糧食1 815×500=907 500(斤)=90.75(萬斤).
三、例題學習
說明：題目中求平均每月增長的百分率，直接設增長的'百分率為x，好處在于計算簡便且直接得出所求。
例、某產(chǎn)品原來每件是600元，由于連續(xù)兩次降價，現(xiàn)價為384元，如果兩降價的百分率相同，求每次降價百分之幾?
(小組合作交流教師點撥)
時間 基數(shù) 降價 降價后價錢
第一次 600 600x 600(1-x)
第二次 600(1-x) 600(1-x)x 600(1-x)2
(由學生寫出解答過程)
四、鞏固練習
一商店1月份的利潤是2500元，3月份的利潤達到3000元，這兩個月的利潤平均增長的百分率是多少(精確到0.1%)?
五、課堂總結(jié)：
1、善于將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，嚴格審題，弄清各數(shù)據(jù)間相互關(guān)系，正確列出方程。
2、注意解方程中的巧算和方程兩個根的取舍問題。
六、反饋練習：
1.某商品計劃經(jīng)過兩個月的時間將售價提高20%，設每月平均增長率為x，則列出的方程為()
A.x+(1+x)x=20% B.(1+x)2=20%
C.(1+x)2=1.2 D.(1+x%)2=1+20%
2.某工廠計劃兩年內(nèi)降低成本36%，則平均每年降低成本的百分率是()
3.某種藥劑原售價為4元，經(jīng)過兩次降價，現(xiàn)在每瓶售價為2.56元，問平均每次降低百分之幾?
公式法解一元二次方程的教案設計 9
一、教學目標
【知識與技能】
理解并掌握一元二次方程求根公式的推導過程，能正確、熟練地運用公式法解一元二次方程。
【過程與方法】
經(jīng)歷探究求根公式的過程，發(fā)展合情推理能力，提高運算能力并養(yǎng)成良好的運算習慣。
【情感、態(tài)度與價值觀】
通過公式法解一元二次方程，感受解法的多樣性，在學習活動中獲取成功的體驗。
二、教學重難點
【教學重點】
用公式法解一元二次方程。
【教學難點】
一元二次方程求根公式的'推導。
三、教學過程
(一)引入新課
復習回顧：用配方法解一元二次方程。
配方，得
(四)小結(jié)作業(yè)
小結(jié)：引導學生做知識總結(jié)：本節(jié)課學習了什么叫公式法，怎樣運用公式法解一元二次方程。如何判斷一個方程是否有實數(shù)根?
作業(yè)：課后練習題，試著用多種方法解答。
四、板書設計
略
公式法解一元二次方程的教案設計 10
一、素質(zhì)教育目標
�。ㄒ唬┲R教學點：使學生會用列一元二次方程的方法解有關(guān)數(shù)與數(shù)字之間關(guān)系的應用題．
（二）能力訓練點：通過列方程解應用問題，進一步提高分析問題、解決問題的能力．
二、教學重點、難點
1．教學重點：會用列一元二次方程的方法解有關(guān)數(shù)與數(shù)字之間的關(guān)系的應用題．
2．教學難點：根據(jù)數(shù)與數(shù)字關(guān)系找等量關(guān)系．
三、教學步驟
（一）明確目標
�。ǘ┱w感知：
（三）重點、難點的學習和目標完成過程
1．復習提問
�。�1）列方程解應用問題的步驟？
�、賹忣}，②設未知數(shù)，③列方程，④解方程，⑤答．
�。�2）兩個連續(xù)奇數(shù)的表示方法是，2n+1，2n-1；2n-1，2n-3；……（n表示整數(shù)）．
2．例1 兩個連續(xù)奇數(shù)的積是323，求這兩個數(shù)．
分析：（1）兩個連續(xù)奇數(shù)中較大的奇數(shù)與較小奇數(shù)之差為2，（2）設元（幾種設法） ．設較小的奇數(shù)為x，則另一奇數(shù)為x+2， 設較小的奇數(shù)為x-1，則另一奇數(shù)為x+1； 設較小的奇數(shù)為2x-1，則另一個奇數(shù)2x+1．
以上分析是在教師的引導下，學生回答，有三種設法，就有三種列法，找三位學生使用三種方法，然后進行比較、鑒別，選出最簡單解法．
解法（一）
設較小奇數(shù)為x，另一個為x+2，
據(jù)題意，得x（x+2）=323．
整理后，得x2+2x-323=0．
解這個方程，得x1=17，x2=-19．
由x=17得x+2=19，由x=-19得x+2=-17，
答：這兩個奇數(shù)是17，19或者-19，-17．
解法（二）
設較小的奇數(shù)為x-1，則較大的奇數(shù)為x+1．
據(jù)題意，得（x-1）（x+1）=323．
整理后，得x2=324．
解這個方程，得x1=18，x2=-18．
當x=18時，18-1=17，18+1=19．
當x=-18時，-18-1=-19，-18+1=-17．
答：兩個奇數(shù)分別為17，19；或者-19，-17．
解法（三）
設較小的.奇數(shù)為2x-1，則另一個奇數(shù)為2x+1．
據(jù)題意，得（2x-1）（2x+1）=323．
整理后，得4x2= 324．
解得，2x=18，或2x=-18．
當2x=18時，2x-1=18-1=17；2x+1=18+1=19．
當2x=-18時，2x-1=-18-1=-19；2x+1=-18+1=-17
答：兩個奇數(shù)分別為17，19；-19，-17．
引導學生觀察、比較、分析解決下面三個問題：
1．三種不同的設元，列出三種不同的方程，得出不同的x值，影響最后的結(jié)果嗎？
2．解題中的x出現(xiàn)了負值，為什么不舍去？
答：奇數(shù)、偶數(shù)是在整數(shù)范圍內(nèi)討論，而整數(shù)包括正整數(shù)、零、負整數(shù)．3．選出三種方法中最簡單的一種．
練習
1．兩個連續(xù)整數(shù)的積是210，求這兩個數(shù)．
2．三個連續(xù)奇數(shù)的和是321，求這三個數(shù)．
3．已知兩個數(shù)的和是12，積為23，求這兩個數(shù)．
學生板書，練習，回答，評價，深刻體會方程的思想方法．例2 有一個兩位數(shù)等于其數(shù)字之積的3倍，其十位數(shù)字比個位數(shù)字小2，求這兩位數(shù)．
分析：數(shù)與數(shù)字的關(guān)系是：
兩位數(shù)=十位數(shù)字×10+個位數(shù)字．
三位數(shù)=百位數(shù)字×100+十位數(shù)字×10+個位數(shù)字．
解：設個位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為x-2，這個兩位數(shù)是10（x-2）+x．
據(jù)題意，得10（x-2）+x=3x（x-2），
整理，得3x2-17x+20=0，
當x=4時，x-2=2，10（x-2）+x=24．
答：這個兩位數(shù)是24．
練習1 有一個兩位數(shù)，它們的十位數(shù)字與個位數(shù)字之和為8，如果把十位數(shù)字與個位數(shù)字調(diào)換后，所得的兩位數(shù)乘以原來的兩位數(shù)就得1855，求原來的兩位數(shù)．（35，53）
2．一個兩位數(shù)，其兩位數(shù)字的差為5，把個位數(shù)字與十位數(shù)字調(diào)換后所得的數(shù)與原數(shù)之積為976，求這個兩位數(shù)．
教師引導，啟發(fā)，學生筆答，板書，評價，體會．
�。ㄋ模┛偨Y(jié)，擴展
1.奇數(shù)的表示方法為 2n+1，2n-1，……（n為整數(shù)）偶數(shù)的表示方法是2n（n是整數(shù)），連續(xù)奇數(shù)（偶數(shù)）中，較大的與較小的差為2，偶數(shù)、奇數(shù)可以是正數(shù)，也可以是負數(shù)．
數(shù)與數(shù)字的關(guān)系
兩位數(shù)=（十位數(shù)字×10）+個位數(shù)字．
三位數(shù)=（百位數(shù)字×100）+（十位數(shù)字×10）+個位數(shù)字．
2．通過本節(jié)課內(nèi)容的比較、鑒別、分析、綜合，進一步提高分析問題、解決問題的能力，深刻體會方程的思想方法在解應用問題中的用途．
四、布置作業(yè)
教材P.42中A1、2、
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