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九年級數(shù)學(xué)競賽圓的基本性質(zhì)優(yōu)化教案
【例題求解】
【例1】在半徑為1的⊙O中， 弦AB、AC的長分別為 和 ，則∠BAC度數(shù)為 ．
作出輔助線，解直角三角形，注意AB與AC有不同的位置關(guān)系．
注： 由圓的對稱性可引出許多重要定理，垂徑定理是其中比較重要的一個，它溝通了線段、角與圓弧的關(guān)系，應(yīng)用的一般方法是構(gòu)造直角三角形，常與勾股定理和解直角三角形知識結(jié)
合起來．
圓是一個對稱圖形，注意圓的對稱性，可提高解與圓相關(guān)問題周密性．
【例2】 如圖，用3個邊長為1的正方形組成一個對稱圖形，則能將其完全覆蓋的圓的最小半徑為( )
A． B． C． D．
思路點(diǎn)撥 所作最小圓圓心應(yīng)在對稱軸上，且最小圓應(yīng)盡可能通過圓形的某些頂點(diǎn)，通過設(shè)未知數(shù)求解．
【例3】 如圖，已知點(diǎn)A、B、C、D順次在⊙O上，AB=BD，BM⊥AC于M，求證：AM=DC+CM．
思路點(diǎn)撥 用截長(截AM)或補(bǔ)短(延長DC)證明，將問題轉(zhuǎn)化為線段相等的證明，證題的關(guān)鍵是促使不同量的相互轉(zhuǎn)換并突破它．
【例4】 如圖甲，⊙O的直徑為AB，過半徑OA的中點(diǎn)G作弦C E⊥AB，在CB上取一點(diǎn)D，分別作直線CD、ED，交直線AB于點(diǎn)F，M．
(1)求∠COA和∠FDM的度數(shù)；
(2)求證：△FDM∽△COM；
(3)如圖乙，若將垂足G改取為半徑OB上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D改取在EB上，仍作直線CD、ED，分別交直線AB于點(diǎn)F、M，試判斷：此時是否有△FDM∽△COM? 證明你的結(jié)論．
思路點(diǎn)撥 (1)在Rt△COG中，利用OG= OA= OC；(2)證明∠COM=∠FDM，∠CMO=
∠FMD；(3)利用圖甲的啟示思考．
注：善于促成同圓或等圓中不同名稱的相互轉(zhuǎn)化是解決圓的問題的重要技巧，此處，要努力把圓與直線形相合起來，認(rèn)識到圓可為解與直線形問題提供新的解題思路，而在解與圓相關(guān)問題時常用到直線形的知識與方法(主要是指全等與相似)．
【例5】 已知：在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，以C為圓心，CD為半徑的半圓交BC的延長線于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)M，且∠B=∠CAE，EF：FD＝4：3．
(1)求證：AF＝DF；
(2)求∠AED的余弦值；
(3)如果BD＝10，求△ABC的面積．
思路點(diǎn)撥 (1)證明∠ADE＝∠DAE；(2)作AN⊥BE于N，cos∠AED＝ ，設(shè)FE=4x，F(xiàn)D＝3x，利用有關(guān)知識把相關(guān)線段用x的代數(shù)式表示；(3)尋找相似三角形，運(yùn)用比例線段求出x的值．
注 ：本例的解答，需運(yùn)用相似三角形、等腰三角形的判定、面積方法、代數(shù)化等知識方法思想，綜合運(yùn)用直線形相關(guān)知識方法思想是解與圓相關(guān)問題的關(guān)鍵．
學(xué)歷訓(xùn)練
1．D是半徑為5cm的⊙O內(nèi)一點(diǎn)，且OD＝3cm，則過點(diǎn)D的所有弦中，最小弦AB= ．
2．閱讀下面材料：
對于平面圖形A，如果存在一個圓，使圖形A上的任意一點(diǎn)到圓心的距離都不大于這個圓的半徑，則稱圖形A被這個圓所覆蓋．
對于平面圖形A，如果存在兩個或兩個以上的圓，使圖形A上的任意一點(diǎn)到其中 某個圓的圓心的距離都不大于這個圓的半徑，則稱圖形A被這些圓所覆蓋．
例如：圖甲中的三角形被一個圓所覆蓋，圖乙中的四邊形被兩個圓所覆蓋．
回答下列問題：
(1)邊長為lcm的正方形被一個半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是 cm；
(2)邊長為lcm的等邊三角形被一個半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是 cm；
(3)長為2cm，寬為lcm的矩形被兩個半徑都為r的圓所覆蓋，r的最小值是 cm．
(2003年南京市中考題)
3．世界上因?yàn)橛辛藞A的圖案，萬物才顯得富有生機(jī)，以下來自現(xiàn)實(shí)生活的圖形中都有圓：它們看上去多么美麗與和諧，這正是因?yàn)閳A具有軸對稱和中心對稱性．
(1)請問以下三個圖形中是軸對稱圖形的有 ，是中心對稱圖形的有
(分別用下面三個圖的代號a，b，c填空)．
(2)請你在下面的兩個圓中，按要求分別畫出與上面圖案不重復(fù)的圖案(草圖) (用尺規(guī)畫或徒手畫均可， 但要盡可能準(zhǔn)確些，美觀些)．
a．是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形．
b．既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．
4．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，若AB=10cm，CD＝8cm，那么A、B兩點(diǎn)到直線CD的距離之和為( )
A．12cm B．10cm C． 8cm D．6cm
5．一種花邊是由如圖的弓形組成的，ACB的半徑為5，弦AB＝8，則弓形的高CD為( )
A．2 B． C．3 D．
6．如圖，在三個等圓上各自有一條劣弧AB、CD、EF，如果AB+CD=EF，那么AB+CD與E的大小關(guān)系是（ ）
A．AB+CD＝EF B．AB+CD=F C． AB+CD<EF D．不能確定
7．電腦CPU芯片由一種叫“單晶硅”的材料制成，未切割前的單晶硅材料是一種薄形圓片，叫“晶圓片”．現(xiàn)為了生產(chǎn)某種CPU芯片，需要長、寬都是1cm的正方形小硅片若干．如果晶 圓片的直徑為10．05cm，問：一張這種晶圓片能否切割出所需尺寸的小硅片66張?請說明你的方法和理由(不計切割損耗)．
8．如圖，已知⊙O的兩條半徑OA與OB互相垂直，C為AmB上的一點(diǎn)，且AB2+OB2=BC2，求∠OAC的度數(shù)．
9．不過圓心的直線 交⊙O于C、D兩點(diǎn)，AB是⊙O的直徑，AE⊥ ，垂足為E，BF⊥ ，垂足為F．
(1)在下面三個圓中分別補(bǔ)畫出滿足上述條件的具有不同位置關(guān)系的圖形；
(2)請你觀察(1)中所畫圖形，寫出一個各圖都具有的兩條線段相等的結(jié)論(不再標(biāo)注其他字母，找結(jié)論的過程中所連輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不寫推理過程)；
(3)請你選擇(1)中的一個圖形，證明(2)所得出的結(jié)論．
10．以AB為直徑作一個半圓，圓心為O，C是半圓上一點(diǎn)，且OC2＝AC×BC，
則∠CAB= ．
11．如圖，把正三角形ABC的外接圓對折，使點(diǎn)A落在BC的中點(diǎn)A′上， 若BC=5，則折痕在△ABC內(nèi)的部分DE長為 ．
12．如圖，已知AB為⊙O的弦，直徑MN與AB相交于⊙O內(nèi)，MC⊥AB于C，ND⊥AB于D，若MN=20，AB= ，則MC—ND= ．
13．如圖，已知⊙O的半徑為R，C、D是直徑AB同側(cè)圓周上的兩點(diǎn)，AC的度數(shù)為96°，BD的度數(shù)為36°，動點(diǎn)P在AB上，則CP+PD的最小值為 ．
14．如圖1，在平面上，給定了半徑為r的圓O，對于任意點(diǎn)P，在射線OP上取一點(diǎn)P′，使得OP×OP′=r2，這種把點(diǎn)P變?yōu)辄c(diǎn)P ′的變換叫作反演變換，點(diǎn)P與點(diǎn)P′叫做互為反演點(diǎn)．
(1)如圖2，⊙O內(nèi)外各有一點(diǎn)A和B，它們的反演點(diǎn)分別為A′和B′，求證：∠A′=∠B；
(2)如果一個圖形上各點(diǎn)經(jīng)過反演變換得到的反演點(diǎn)組成另一個圖形，那么這兩個圖形叫做互為反演圖形．
①選擇：如果不經(jīng)過點(diǎn)O的直線與⊙O相交，那么它關(guān)于⊙O的反演圖形是( )
A．一個圓 B．一條直線 C．一條線段 D．兩條射線
②填空：如果直線 與⊙O相切，那么它關(guān)于⊙O的反演圖形是 ，該圖形與圓O的位置關(guān)系是 ．
15．如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于直徑為3的圓O，對角線AC是直徑，對角線AC和BD的交點(diǎn)為P，AB=BD，且PC=0．6，求四 邊形ABCD的周長．
16．如圖，已知圓內(nèi)接△ABC中，AB>AC，D為BAC的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，求證：BD2-AD2=AB×AC．
17．將三塊邊長均為l0cm的正方形煎餅不重疊地平放在圓碟內(nèi)，則圓碟的直徑至少是多少?(不考慮其他因素，精確到0．1cm)
18．如圖，直徑為13的⊙O′，經(jīng)過原點(diǎn)O，并且與 軸、 軸分別交于A、B兩點(diǎn)，線段OA、OB(OA>OB)的長分別是方程 的兩根．
(1)求線段OA、OB的長；
(2)已知點(diǎn)C在劣弧OA上，連結(jié)BC交OA于D，當(dāng)OC2=CD×CB時，求C點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)在⊙O，上是否存在點(diǎn)P，使S△POD=S△ABD?若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
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