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數(shù)學教案:函數(shù)與方程

時間:2023-02-25 17:23:22 數(shù)學教案 我要投稿

數(shù)學教案:函數(shù)與方程

  作為一位不辭辛勞的人民教師,時常需要編寫教案,教案是備課向課堂教學轉(zhuǎn)化的關節(jié)點。那么你有了解過教案嗎?以下是小編為大家收集的數(shù)學教案:函數(shù)與方程,希望對大家有所幫助。

數(shù)學教案:函數(shù)與方程

數(shù)學教案:函數(shù)與方程1

  一、本課數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)、地位、作用分析

  普通高中課標教材必修1共安排了三章內(nèi)容,第一章是《集合與函數(shù)的概念》,第二章是《基本初等函數(shù)(Ⅰ)》,第三章是《函數(shù)的應用》。第三章編排了兩塊內(nèi)容,第一部分是函數(shù)與方程,第二部分是函數(shù)模型及其應用。本節(jié)課方程的根與函數(shù)的零點,正是在這種建立和運用函數(shù)模型的大背景下展開的。本節(jié)課的主要教學內(nèi)容是函數(shù)零點的定義和函數(shù)零點存在的判定依據(jù),這兩者顯然是為下節(jié)“用二分法求方程近似解”這一“函數(shù)的應用”服務的,同時也為后續(xù)學習的算法埋下伏筆。由此可見,它起著承上啟下的作用,與整章、整冊綜合成一個整體,學好本節(jié)意義重大。

  函數(shù)在數(shù)學中占據(jù)著不可替代的核心地位,根本原因之一在于函數(shù)與其他知識具有廣泛的聯(lián)系,而函數(shù)的零點就是其中的一個鏈結點,它從不同的角度,將數(shù)與形,函數(shù)與方程有機地聯(lián)系在一起。方程本身就是函數(shù)的一部分,用函數(shù)的觀點來研究方程,就是將局部放入整體中研究,進而對整體和局部都有一個更深層次的理解,并學會用聯(lián)系的觀點解決問題,為后面函數(shù)與不等式和數(shù)列等其他知識的聯(lián)系奠定基礎。

  二、教學目標分析

  本節(jié)內(nèi)容包含三大知識點:

  一、函數(shù)零點的定義;

  二、方程的根與函數(shù)零點的等價關系;

  三、零點存在性定理。

  結合本節(jié)課引入三大知識點的方法,設定本節(jié)課的知識與技能目標如下:

  1.結合方程根的幾何意義,理解函數(shù)零點的定義;

  2.結合零點定義的探究,掌握方程的實根與其相應函數(shù)零點之間的等價關系;

  3.結合幾類基本初等函數(shù)的圖象特征,掌握判斷函數(shù)的零點個數(shù)和所在區(qū)間的方法.

  本節(jié)課是學生在學習了函數(shù)的性質(zhì),具備了初步的數(shù)形結合知識的基礎上,通過對特殊函數(shù)圖象的分析進行展開的,是培養(yǎng)學生“化歸與轉(zhuǎn)化思想”,“數(shù)形結合思想”,“函數(shù)與方程思想”的優(yōu)質(zhì)載體。

  結合本節(jié)課教學主線的設計,設定本節(jié)課的過程與方法目標如下:

  1.通過化歸與轉(zhuǎn)化思想的引導,培養(yǎng)學生從已有認知結構出發(fā),尋求解決棘手問題方法的習慣;

  2.通過數(shù)形結合思想的滲透,培養(yǎng)學生主動應用數(shù)學思想的意識;

  3.通過習題與探究知識的相關性設置,引導學生深入探究得出判斷函數(shù)的零點個數(shù)和所在區(qū)間的方法;

  4.通過對函數(shù)與方程思想的不斷剖析,促進學生對知識靈活應用的能力。

  由于本節(jié)課將以教師引導,學生探究為主體形式,故設定本節(jié)課的情感、態(tài)度與價值觀目標如下:

  1.讓學生體驗化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結合、函數(shù)與方程這三大數(shù)學思想在解決數(shù)學問題時的意義與價值;

  2.培養(yǎng)學生鍥而不舍的探索精神和嚴密思考的良好學習習慣。

  3.使學生感受學習、探索發(fā)現(xiàn)的樂趣與成功感。

  三、教學問題診斷

  學生具備的認知基礎:

  1.基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì);

  2.一元二次方程的根和相應函數(shù)圖象與x軸的聯(lián)系;

  3.將數(shù)與形相結合轉(zhuǎn)化的意識。

  學生欠缺的實際能力:

  1.主動應用數(shù)形結合思想解決問題的意識還不強;

  2.將未知問題已知化,將復雜問題簡單化的化歸意識淡薄;

  3.從直觀到抽象的概括總結能力還不夠;

  4.概念的內(nèi)涵與外延的探究意識有待提高。

  對本節(jié)課的教學,教材是利用一組一元二次方程和二次函數(shù)的關系來引入函數(shù)零點的。這樣處理,主要是想讓學生在原有二次函數(shù)的認知基礎上,使其知識得到自然的發(fā)生發(fā)展。理解了像二次函數(shù)這樣簡單的.函數(shù)零點,再來理解其他復雜的函數(shù)零點就會容易一些。但學生對如何解一元二次方程以及二次函數(shù)的圖象早就熟練了,這樣的引入過程使學生感到平淡,激發(fā)不起他們的興趣,他們對零點的理解也只會浮于表面,也無法使其體會引入函數(shù)零點的必要性,理解不了方程根存在的本質(zhì)原因是零點的存在。

  教材是通過由直觀到抽象的過程,才得到判斷函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)有零點的一種條件的,如果不能有效地對該過程進行引導,容易出現(xiàn)學生被動接受,盲目記憶的結果,而喪失了對學生應用數(shù)學思想方法的意識進行培養(yǎng)的機會。

  教材中零點存在性定理只表述了存在零點的條件,但對存在零點的個數(shù)并未多做說明,這就要求教師對該定理的內(nèi)涵和外延要有清晰的把握,引導學生探究出只存在一個零點的條件,否則學生對定理的內(nèi)容很容易心存疑慮。

  四、本節(jié)課的教法特點以及預期效果分析

  本節(jié)課教法的幾大特點總結如下:

  1.以問題為主線貫穿始終;

  2.精心設置引導性的語言放手讓學生探究;

  3.注重在引導學生探究問題解法的過程中滲透數(shù)學思想;

  4.在探究過程中引入新知識點,在引入新知識點后適時歸納總結,進行探究階段性成果的應用。

  由于所設置的主線問題具有很高的探究價值,所以預期學生熱情會很高,積極性調(diào)動起來,那整節(jié)課才能活起來;

  由于為了更好地組織學生探究所設置的引導性語言,重在去挖掘?qū)W生內(nèi)心真實的想法和他們最真實體會到的困難,所以通過學生活動會更多地暴露他們在基礎知識掌握方面的缺憾,免不了要隨時糾正對過往知識的錯誤理解;

  因為在探究過程中不斷滲透數(shù)學思想,學生對親身經(jīng)歷的解題方法就會有更深的體會,主動應用數(shù)學思想的意識在上升,對于主線問題也應該可以迎刃而解;

  因為在探究過程中引入新知識點,學生對新知識產(chǎn)生的必要性會有更深刻的體會和認識,同時在新知識產(chǎn)生后,又適時地加以應用,學生對新知識的應用能力不斷提高。

數(shù)學教案:函數(shù)與方程2

  知識與技能

  1.結合方程根的幾何意義,理解函數(shù)零點的定義;

  2.結合零點定義的探究,掌握方程的實根與其相應函數(shù)零點之間的等價關系;

  3.結合幾類基本初等函數(shù)的圖象特征,掌握判斷函數(shù)的零點個數(shù)和所 在區(qū)間的方法.

  過程與方法

  1.通過化歸與轉(zhuǎn)化思想的引導,培養(yǎng)學生從已有認知結構出發(fā),尋求解決棘手問題方法的'習慣;

  2.通過數(shù)形結合思想的滲透,培養(yǎng)學生主動應用數(shù)學思想的意識;

  3.通過習題與探究知識的相關性設置,引導學生深入探究得出判斷函數(shù)的零點個數(shù)和所在區(qū)間的方法;

  4.通過對函數(shù)與方程思想的不斷剖析,促進學生對知識靈活應用的能力.

  情感、態(tài)度與價值觀

  1.讓學生體驗化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結合、函數(shù)與方程這三大數(shù)學思想在解決數(shù)學問題時的意義與價值;

  2.培養(yǎng)學生鍥而不舍的探索精神和嚴密思考的良好學習習慣;

  3.使學生感受學習、探索發(fā)現(xiàn)的樂趣與成功感.

  教學重點與難點

  教學重點:零點的概念及零點存在性的判定.

  教學難點:探究判斷函數(shù)的零點個數(shù)和所在區(qū)間的方法.

  教學的方法與手段

  授課類型新授課教學方法啟發(fā)式教學、探究式學習.

數(shù)學教案:函數(shù)與方程3

  一、設計思想:

  函數(shù)與方程是中學數(shù)學的重要內(nèi)容,是銜接初等數(shù)學與高等數(shù)學的紐帶,再加上函數(shù)與方程還是中學數(shù)學四大數(shù)學思想之一,是具體事例與抽象思想相結合的體現(xiàn),在教學過程中,我采用了自主探究教學法。通過教學情境的設置,讓學生由特殊到一般,有熟悉到陌生,讓學生從現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)本質(zhì),以此激發(fā)學生的成就感,激發(fā)學生的學習興趣和學習熱情。在現(xiàn)實生活中函數(shù)與方程都有著十分重要的應用,因此函數(shù)與方程在整個高中數(shù)學教學中占有非常重要的地位。

  二、教學內(nèi)容分析:

  本節(jié)課是《普通高中課程標準》的新增內(nèi)容之一,選自《普通高中課程標準實驗教課書數(shù)學I必修本(A版)》第94—95頁的第三章第一課時3、1、1方程的根與函數(shù)的的零點。

  本節(jié)通過對二次函數(shù)的圖象的研究判斷一元二次方程根的存在性以及根的個數(shù)的判斷建立一元二次方程的根與相應的二次函數(shù)的零點的聯(lián)系,然后由特殊到一般,將其推廣到一般方程與相應的函數(shù)的情形、它既揭示了初中一元二次方程與相應的二次函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系,也引出對函數(shù)知識的總結拓展。之后將函數(shù)零點與方程的根的關系在利用二分法解方程中(3、1、2)加以應用,通過建立函數(shù)模型以及模型的求解(3、2)更全面地體現(xiàn)函數(shù)與方程的關系,逐步建立起函數(shù)與方程的聯(lián)系、滲透“方程與函數(shù)”思想。

  總之,本節(jié)課滲透著重要的數(shù)學思想“特殊到一般的歸納思想”“方程與函數(shù)”和“數(shù)形結合”的思想,教好本節(jié)課可以為學好中學數(shù)學打下一個良好基礎,因此教好本節(jié)是至關重要的。

  三、教學目標分析:

  知識與技能:

  1、結合方程根的幾何意義,理解函數(shù)零點的定義;

  2、結合零點定義的探究,掌握方程的實根與其相應函數(shù)零點之間的等價關系;

  3、結合幾類基本初等函數(shù)的圖象特征,掌握判斷函數(shù)的零點個數(shù)和所在區(qū)間的方法

  情感、態(tài)度與價值觀:

  1、讓學生體驗化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結合、函數(shù)與方程這三大數(shù)學思想在解決數(shù)學問題時的意義與價值;

  2、培養(yǎng)學生鍥而不舍的探索精神和嚴密思考的良好學習習慣;

  3、使學生感受學習、探索發(fā)現(xiàn)的樂趣與成功感

  教學重點:函數(shù)零點與方程根之間的關系;連續(xù)函數(shù)在某區(qū)間上存在零點的判定方法。

  教學難點:發(fā)現(xiàn)與理解方程的根與函數(shù)零點的關系;探究發(fā)現(xiàn)函數(shù)存在零點的方法。

  四、教學準備:

  導學案,自主探究,合作學習,電子交互白板。

  五教學過程設計:

 。ㄒ唬、問題引人:

  請同學們思考這個問題。用屏幕顯示判斷下列方程是否有實根,有幾個實根?

  學生活動:回答,思考解法。

  教師活動:第二個方程我們不會解怎么辦?你是如何思考的?有什么想法?我們可以考慮將復雜問題簡單化,將未知問題已知化,通過對第一個問題的研究,進而來解決第二個問題。對于第一個問題大家都習慣性地用代數(shù)的方法去解決,我們應該打破思維定勢,走出自己給自己畫定的牢籠!這樣我們先把所依賴的拐杖丟掉,假如第一個方程你不會解,也不會應用判別式,你要怎樣判斷其實根個數(shù)呢?

  學生活動:思考作答。

  設計意圖:通過設疑,讓學生對高次方程的根產(chǎn)生好奇。

 。ǘ、概念形成:

  預習展示1:

  你能通過觀察二次方程的根及相應的二次函數(shù)圖象,找出方程的根,圖象與軸交點的坐標以及函數(shù)零點的關系嗎?

  學生活動:觀察圖像,思考作答。

  教師活動:我們來認真地對比一下。用投影展示學生填寫表格

  一元二次方程

  方程的根

  二次函數(shù)

  函數(shù)的圖象

 。ê唸D)

  圖象與軸交點的坐標

  函數(shù)的零點

  問題1:你能通過觀察二次方程的根及相應的二次函數(shù)圖象,找出方程的根,圖象與

  軸交點的坐標以及函數(shù)零點的關系嗎?

  學生活動:得到方程的實數(shù)根應該是函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標的結論。

  教師活動:我們就把使方程成立的實數(shù)x稱做函數(shù)的零點、(引出零點的概念)

  根據(jù)零點概念,提出問題,零點是點嗎?零點與函數(shù)方程的根有何關系?

  學生活動:經(jīng)過觀察表格,得出(請學生總結)

  1)概念:函數(shù)的.零點并不是“點”,它不是以坐標的形式出現(xiàn),而是實數(shù)。例如函數(shù)的零點為x=—1,3

  2)函數(shù)零點的意義:函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根,亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標、

  3)方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點。

  教師活動:引導學生仔細體會上述結論。

  再提出問題:如何并根據(jù)函數(shù)零點的意義求零點?

  學生活動:可以解方程而得到(代數(shù)法);

  可以利用函數(shù)的圖象找出零點、(幾何法)、

  設計意圖:由學生最熟悉的二次方程和二次函數(shù)出發(fā),發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律,并嘗試的去總結零點,根與交點三者的關系。

 。ㄈ┨骄啃再|(zhì):

  (四)探索研究(可根據(jù)時間和學生對知識的接受程度適當調(diào)整)

  討論:請大家給方程的一個解的大約范圍,看誰找得范圍更?

  [師生互動]

  師:把學生分成小組共同探究,給學生足夠的自主學習時間,讓學生充分研究,發(fā)揮其主觀能動性。也可以讓各組把這幾個題做為小課題來研究,激發(fā)學生學習潛能和熱情。老師用多媒體演示,直觀地演示根的存在性及根存在的區(qū)間大小情況。

  生:分組討論,各抒己見。在探究學習中得到數(shù)學能力的提高

  第五階段設計意圖:

  一是為用二分法求方程的近似解做準備

  二是小組探究合作學習培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力和探究意識,本組探究題目就是為了培養(yǎng)學生的探究能力,此組題目具有較強的開放性,探究性,基本上可以達到上述目的。

  (五)、課堂小結:

  零點概念

  零點存在性的判斷

  零點存在性定理的應用注意點:零點個數(shù)判斷以及方程根所在區(qū)間

 。、鞏固練習(略)

數(shù)學教案:函數(shù)與方程4

  目標:

  1.讓學生熟練掌握二次函數(shù)的圖象,并會判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù) ;

  2.讓學生了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系 ;

  3.讓學生認識到函數(shù)的圖象及基本性質(zhì)(特別是單調(diào)性)在確定函數(shù)零點中的作用 ;

  4。培養(yǎng)學生動手操作的能力 。

  二、教學重點、難點

  重點:零點的概念及存在性的判定;

  難點:零點的確定。

  三、復習引入

  例1:判斷方程 x2-x-6=0 解的存在。

  分析:考察函數(shù)f(x)= x2-x-6, 其

  圖像為拋物線容易看出,f(0)=-60,

  f(4)0,f(-4)0

  由于函數(shù)f(x)的圖像是連續(xù)曲線,因此,

  點B (0,-6)與點C(4,6)之間的那部分曲線

  必然穿過x軸,即在區(qū)間(0,4)內(nèi)至少有點

  X1 使f(X1)=0;同樣,在區(qū)間(-4,0) 內(nèi)也至

  少有點X2,使得f( X2)=0,而方程至多有兩

  個解,所以在(-4,0),(0,4)內(nèi)各有一解

  定義:對于函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實數(shù) x叫函數(shù)y=f(x)的零點

  抽象概括

  y=f(x)的圖像與x軸的交點的橫坐標叫做該函數(shù)的零點,即f(x)=0的解。

  若y=f(x)的圖像在[a,b]上是連續(xù)曲線,且f(a)f(b)0,則在(a,b)內(nèi)至少有一個零點,即f(x)=0在 (a,b)內(nèi)至少有一個實數(shù)解。

  f(x)=0有實根(等價與y=f(x))與x軸有交點(等價與)y=f(x)有零點

  所以求方程f(x)=0的根實際上也是求函數(shù)y=f(x)的零點

  注意:1、這里所說若f(a)f(b)0,則在區(qū)間(a,b)內(nèi)方程f(x)=0至少有一個實數(shù)解指出了方程f(x)=0的實數(shù)解的存在性,并不能判斷具體有多少個解;

  2、若f(a)f(b)0,且y=f(x)在(a,b)內(nèi)是單調(diào)的',那么,方程f(x)=0在(a,b)內(nèi)有唯一實數(shù)解;

  3、我們所研究的大部分函數(shù),其圖像都是連續(xù)的曲線;

  4、但此結論反過來不成立,如:在[-2,4]中有根,但f(-2)0, f(4) 0,f(-2) f(4)

  5、缺少條件在[a,b]上是連續(xù)曲線則不成立,如:f(x)=1/ x,有f(-1)xf(1)0但沒有零點。

  四、知識應用

  例2:已知f(x)=3x-x2 ,問方程f(x)=0在區(qū)間[-1,0]內(nèi)沒有實數(shù)解?為什么?

  解:f(x)=3x-x2的圖像是連續(xù)曲線, 因為

  f(-1)=3-1-(-1)2 =-2/30, f(0)=30-(0)2 =-10,

  所以f(-1) f(0) 0,在區(qū)間[-1,0]內(nèi)有零點,即f(x)=0在區(qū)間[-1,0]內(nèi)有實數(shù)解

  練習:求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6 有沒有零點?

  例3 判定(x-2)(x-5)=1有兩個相異的實數(shù)解,且有一個大于5,一個小于2。

  解:考慮函數(shù)f(x)=(x-2)(x-5)-1,有

  f(5)=(5-2)(5-5)-1=-1

  f(2)=(2-2)(2-5)-1=-1

  又因為f(x)的圖像是開口向上的拋物線,所以拋物線與橫軸在(5,+)內(nèi)有一個交點,在( -,2)內(nèi)也有一個交點,所以方程式(x-2)(x-5)=1有兩個相異數(shù)解,且一個大于5,一個小于2。

  練習:關于x的方程2x2-3x+2m=0有兩個實根均在[-1,1]內(nèi),求m的取值范圍。

  五、課后作業(yè)

  p133第2,3題

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