數(shù)學教案－二次根式的化簡

教學建議

知識結構

 

重難點分析

本節(jié)的重點是 的化簡.本章自始至終圍繞著二次根式的化簡與計算進行，而 的化簡不但涉及到前面學習過的算術平方根、二次根式等概念與二次根式的運算性質(zhì)，還要牽涉到絕對值以及各種非負數(shù)、因式分解等知識，在應用中常常需要對字母進行分類討論.

本節(jié)的難點是正確理解與應用公式

.

這個公式的表達形式對學生來說，比較生疏，而實際運用時，則要牽涉到對字母取值范圍的討論，學生往往容易出現(xiàn)錯誤.

教法建議

1.性質(zhì)的引入方法很多，以下2種比較常用：

（１）設計問題引導啟發(fā)：由設計的問題

1） 、 、 各等于什么？

2） 、 、 各等于什么？

啟發(fā)、引導學生猜想出

（2）從算術平方根的意義引入．

2．性質(zhì)的鞏固有兩個方面需要注意：

（1）注意與性質(zhì) 進行對比，可出幾道類型不同的題進行比較；

（2）學生初次接觸這種形式的表示方式，在教學時要注意細分層次加以鞏固，如單個數(shù)字，單個字母，單項式，可進行因式分解的多項式，等等．

 

（第1課時）

一、教學目標 

1.掌握二次根式的性質(zhì)

2.能夠利用二次根式的性質(zhì)化簡二次根式

3.通過本節(jié)的學習滲透分類討論的數(shù)學思想和方法

二、教學設計

對比、歸納、總結

三、重點和難點

1.重點：理解并掌握二次根式的性質(zhì)

2.難點：理解式子 中的 可以取任意實數(shù)，并能根據(jù)字母的取值范圍正確地化簡有關的二次根式．

四、課時安排

1課時

五、教具學具準備

投影儀、膠片、多媒體

六、師生互動活動設計

復習對比，歸納整理，應用提高，以學生活動為主

七、教學過程 

一、導入  新課

我們知道，式子 （ ）表示非負數(shù) 的算術平方根．

問：式子 的意義是什么？被開方數(shù)中的 表示的是什么數(shù)？

答：式子 表示非負數(shù) 的算術平方根，即 ，且 ，從而 可以取任意實數(shù)．

二、新課

計算下列各題，并回答以下問題：

（1） ； （2） ； （3） ；

（4） ； （5） ； （6）

（7） ； （8）

1．各小題中被開方數(shù)的冪的底數(shù)都是什么數(shù)？

2．各小題的結果和相應的被開方數(shù)的冪的底數(shù)有什么關系？

3．用字母 表示被開方數(shù)的冪的底數(shù)，將有怎樣的結論？并用語言敘述你的結論．

答：

（1） ； （2） ； （3） ；

（4） ； （5） ； （6）

（7） ； （8） ．

1．（1），（2），（3）各題中的被開方數(shù)的冪的底數(shù)都是正數(shù)；（4），（5），（6），（7）各題中的被開方數(shù)的冪的底數(shù)都是負數(shù)；（8）題被開方數(shù)的冪的底數(shù)是0．

2．（1），（2），（3），（8）各題的計算結果和相應的被開方數(shù)的冪的底數(shù)都分別相等；（4），（5），（6），（7）各題的計算結果和相應的被開方數(shù)的冪的底數(shù)分別互為相反數(shù)．

3．用字母 表示（1），（2），（3），（8）各題中被開方數(shù)的冪的底數(shù)，有

（ ），

用字母 表示（4），（5），（6），（7）各題中被開方數(shù)的冪的底數(shù)，有

（ ）．

一個非負數(shù)的平方的算術平方根，等于這個非負數(shù)本身；一個負數(shù)的平方的算術平方根，等于這個負數(shù)的相反數(shù)．

問：請把上述討論結論，用一個式子表示．（注意表示條件和結論）

答：

請同學回憶實數(shù)的絕對值的代數(shù)意義，它和上述二次根式的性質(zhì)有什么聯(lián)系？

答：

填空：

1．當 _________時， ；

2．當 時， ，當 時， ；

3．若 ，則 ________；

4．當 時， ．

答：

1．當 時， ；

2．當 時， ，

當 時， ；

3．若 ，則 ；

4．當 時， ．

例1  化簡   （ ）．

分析：可以利用積的算術平方根的性質(zhì)及二次根式的性質(zhì)化簡．

解  ，因為 ，所以 ，所以

．

指出：在化簡和運算過程中，把 先寫成 ，再根據(jù)已知條件中 的取值范圍，確定其結果．

例2  化簡   （ ）．

分析：根據(jù)二次根式的性質(zhì)，當 時， ．

解   ．

例3  化簡：（1） （ ）； （2） （ ）．

分析：根據(jù)二次根式的性質(zhì)，當 時， ．

解  （1） ．

（2） ．

注意：（1）題中的被開方數(shù) ，因為 ，所以 ．

（2）題中的被開方數(shù) ，因為 ，所以 ．

這里 的取值范圍，在已知條件中沒有直接給出，但可以由已知條件分析而得出．

例4  化簡 ．

分析：根據(jù)二次根式的性質(zhì)，有

．

所以要比較 與3及1與 的大小以確定 及 的符號，然后再進行化簡．

解  因為 ， ，所以

， ．

所以

．

三、課堂練習

1．求下列各式的值：

（1） ； （2） ．

2．化簡：

（1） ； （2） ；

（3） （ ）； （4） （ ）．

3．化簡：

（1） ； （2） ；

（3） ； （4） ；

（5） ； （6） （ ）．

答案：

1．（1）0.1； （2） ．

2．（1） ； （2） ； （3） ； （4） ．

3．（1）4； （2）1.5； （3）0.09； （4）－1； （5）4； （6）－1．

四、小結

1．二次根式 的意義是 ，所以 ，因此 ，其中 可以取任意實數(shù)．

2．化簡形如 的二次根式，首先可把 寫成 的形式，再根據(jù)已知條件中字母 的取值范圍，確定其結果．

3．在化簡中，注意運用題設中的隱含條件，如二次根式 有意義的條件是被開方 ，這是隱含條件．

五、作業(yè) 

1．化簡：

（1） ； （2） ；

（3） （ ）； （4） （ ）；

（5） ； （6） （ ， ）；

（7）   （ ）．

2．化簡：

（1） ；

（2） （ ）；

（3） （ ， ）．

答案：

1．（1）－30； （2） ； （3） ；

（4） ； （5） ； （6） ； （7） ．

2．（1）2； （2）0； （3） ．

數(shù)學教案－二次根式的化簡