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數(shù)學(xué)教案-運(yùn)用公式法
教學(xué)設(shè)計示例
運(yùn)用公式法――完全平方公式(1)
教學(xué)目標(biāo)
1.使學(xué)生會分析和判斷一個多項(xiàng)式是否為完全平方式,初步掌握運(yùn)用完全平方式把多項(xiàng)式分解因式的方法;
2.理解完全平方式的意義和特點(diǎn),培養(yǎng)學(xué)生的判斷能力.
3.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生全面地觀察問題、分析問題和逆向思維的能力.
4.通過運(yùn)用公式法分解因式的教學(xué),使學(xué)生進(jìn)一步體會“把一個代數(shù)式看作一個字母”的換元思想。
教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
重點(diǎn):運(yùn)用完全平方式分解因式.
難點(diǎn):靈活運(yùn)用完全平方公式公解因式.
教學(xué)過程 設(shè)計
一、復(fù)習(xí)
1.問:什么叫把一個多項(xiàng)式因式分解?我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些因式分解的方法?
答:把一個多項(xiàng)式化成幾個整式乘積形式,叫做把這個多項(xiàng)式因式分解.我們學(xué)過的因式分解的方法有提取公因式法及運(yùn)用平方差公式法.
2.把下列各式分解因式:
(1)ax4-ax2 (2)16m4-n4.
解 (1) ax4-ax2=ax2(x2-1)=ax2(x+1)(x-1)
(2) 16m4-n4=(4m2)2-(n2)2
=(4m2+n2)(4m2-n2)
=(4m2+n2)(2m+n)(2m-n).
問:我們學(xué)過的乘法公式除了平方差公式之外,還有哪些公式?
答:有完全平方公式.
請寫出完全平方公式.
完全平方公式是:
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b)2=a2-2ab+b2.
這節(jié)課我們就來討論如何運(yùn)用完全平方公式把多項(xiàng)式因式分解.
二、新課
和討論運(yùn)用平方差公式把多項(xiàng)式因式分解的思路一樣,把完全平方公式反過來,就得到
a2+2ab+b2=(a+b)2; a2-2ab+b2=(a-b)2.
這就是說,兩個數(shù)的平方和,加上(或者減去)這兩個數(shù)的積的2倍,等于這兩個數(shù)的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式,上面的兩個公式就是完全平方公式.運(yùn)用這兩個式子,可以把形式是完全平方式的多項(xiàng)式分解因式.
問:具備什么特征的多項(xiàng)是完全平方式?
答:一個多項(xiàng)式如果是由三部分組成,其中的兩部分是兩個式子(或數(shù))的平方,并且這兩部分的符號都是正號,第三部分是上面兩個式子(或數(shù))的乘積的二倍,符號可正可負(fù),像這樣的式子就是完全平方式.
問:下列多項(xiàng)式是否為完全平方式?為什么?
(1)x2+6x+9; (2)x2+xy+y2;
(3)25x4-10x2+1; (4)16a2+1.
答:(1)式是完全平方式.因?yàn)閤2與9分別是x的平方與3的平方,6x=2·x·3,所以
x2+6x+9=(x+3) .
(2)不是完全平方式.因?yàn)榈谌糠直仨毷?xy.
(3)是完全平方式.25x =(5x ) ,1=1 ,10x =2·5x ·1,所以
25x -10x +1=(5x-1) .
(4)不是完全平方式.因?yàn)槿钡谌糠?
請同學(xué)們用箭頭表示完全平方公式中的a,b與多項(xiàng)式9x2+6xy+y2中的對應(yīng)項(xiàng),其中a=?b=?2ab=?
答:完全平方公式為:
其中a=3x,b=y,2ab=2·(3x)·y.
例1 把25x4+10x2+1分解因式.
分析:這個多項(xiàng)式是由三部分組成,第一項(xiàng)“25x4”是(5x2)的平方,第三項(xiàng)“1”是1的平方,第二項(xiàng)“10x2”是5x2與1的積的2倍.所以多項(xiàng)式25x4+10x2+1是完全平方式,可以運(yùn)用完全平方公式分解因式.
解 25x4+10x2+1=(5x2)2+2·5x2·1+12=(5x2+1)2.
例2 把1- m+ 分解因式.
問:請同學(xué)分析這個多項(xiàng)式的特點(diǎn),是否可以用完全平方公式分解因式?有幾種解法?
答:這個多項(xiàng)式由三部分組成,第一項(xiàng)“1”是1的平方,第三項(xiàng)“ ”是 的平方,第二項(xiàng)“- m”是1與m/4的積的2倍的相反數(shù),因此這個多項(xiàng)式是完全平方式,可以用完全平方公式分解因式.
解法1 1- m+ =1-2·1· +( )2=(1- )2.
解法2 先提出 ,則
1- m+ = (16-8m+m2)
= (42-2·4·m+m2)
= (4-m)2.
三、課堂練習(xí)(投影)
1.填空:
(1)x2-10x+( )2=( )2;
(2)9x2+( )+4y2=( )2;
(3)1-( )+m2/9=( )2.
2.下列各多項(xiàng)式是不是完全平方式?如果是,可以分解成什么式子?如果不是,請把多
項(xiàng)式改變?yōu)橥耆椒绞?
(1)x2-2x+4; (2)9x2+4x+1; (3)a2-4ab+4b2;
(4)9m2+12m+4; (5)1-a+a2/4.
3.把下列各式分解因式:
(1)a2-24a+144; (2)4a2b2+4ab+1;
(3)19x2+2xy+9y2; (4)14a2-ab+b2.
答案:
1.(1)25,(x-5) 2; (2)12xy,(3x+2y) 2; (3)2m/3,(1-m3)2.
2.(1)不是完全平方式,如果把第二項(xiàng)的“-2x”改為“-4x”,原式就變?yōu)閤2-4x+4,它是完全平方式;或把第三項(xiàng)的“4”改為1,原式就變?yōu)閤2-2x+1,它是完全平方式.
(2)不是完全平方式,如果把第二項(xiàng)“4x”改為“6x”,原式變?yōu)?x2+6x+1,它是完全平方式.
(3)是完全平方式,a2-4ab+4b2=(a-2b)2.
(4)是完全平方式,9m2+12m+4=(3m+2) 2.
(5)是完全平方式,1-a+a2/4=(1-a2)2.
3.(1)(a-12) 2; (2)(2ab+1) 2;
(3)(13x+3y) 2; (4)(12a-b)2.
四、小結(jié)
運(yùn)用完全平方公式把一個多項(xiàng)式分解因式的主要思路與方法是:
1.首先要觀察、分析和判斷所給出的多項(xiàng)式是否為一個完全平方式,如果這個多項(xiàng)式是一個完全平方式,再運(yùn)用完全平方公式把它進(jìn)行因式分解.有時需要先把多項(xiàng)式經(jīng)過適當(dāng)變形,得到一個完全平方式,然后再把它因式分解.
2.在選用完全平方公式時,關(guān)鍵是看多項(xiàng)式中的第二項(xiàng)的符號,如果是正號,則用公式a2+2ab+b2=(a+b) 2;如果是負(fù)號,則用公式a2-2ab+b2=(a-b) 2.
五、作業(yè)
把下列各式分解因式:
1.(1)a2+8a+16; (2)1-4t+4t2;
(3)m2-14m+49; (4)y2+y+1/4.
2.(1)25m2-80m+64; (2)4a2+36a+81;
(3)4p2-20pq+25q2; (4)16-8xy+x2y2;
(5)a2b2-4ab+4; (6)25a4-40a2b2+16b4.
3.(1)m2n-2mn+1; (2)7am+1-14am+7am-1;
4.(1) x -4x; (2)a5+a4+ a3.
答案:
1.(1)(a+4)2; (2)(1-2t)2;
(3)(m-7) 2; (4)(y+12)2.
2.(1)(5m-8) 2; (2)(2a+9) 2;
(3)(2p-5q) 2; (4)(4-xy) 2;
(5)(ab-2) 2; (6)(5a2-4b2) 2.
3.(1)(mn-1) 2; (2)7am-1(a-1) 2.
4.(1) x(x+4)(x-4); (2)14a3 (2a+1) 2.
課堂教學(xué)設(shè)計說明
1.利用完全平方公式進(jìn)行多項(xiàng)式的因式分解是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基礎(chǔ)上進(jìn)行的,因此在教學(xué)設(shè)計中,重點(diǎn)放在判斷一個多項(xiàng)式是否為完全平方式上,采取啟發(fā)式的教學(xué)方法,引導(dǎo)學(xué)生積極思考問題,從中培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì).
2.本節(jié)課要求學(xué)生掌握完全平方公式的特點(diǎn)和靈活運(yùn)用公式把多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的方法.在教學(xué)設(shè)計中安排了形式多樣的課堂練習(xí),讓學(xué)生從不同側(cè)面理解完全平方公式的特點(diǎn).例1和例2的講解可以在老師的引導(dǎo)下,師生共同分析和解答,使學(xué)生當(dāng)堂能夠掌握運(yùn)用平方公式進(jìn)行完全因式分解的方法.
數(shù)學(xué)教案-運(yùn)用公式法
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