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一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 - 初中數(shù)學(xué)第四冊(cè)教案
一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的知識(shí)內(nèi)容主要是以前一單元中的求根公式為基礎(chǔ)的。教材通過(guò)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、2= 得出一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及以數(shù)x1、x2為根的一元二次方程的求方程模型。然后是通過(guò)4個(gè)例題介紹了利用根與系數(shù)的關(guān)系簡(jiǎn)化一些計(jì)算的知識(shí)。例如，求方程中的特定系數(shù)，求含有方程根的一些代數(shù)式的值等問題，由方程的根確定方程的系數(shù)的方法等等。
根與系數(shù)的關(guān)系也稱為韋達(dá)定理（韋達(dá)是法國(guó)數(shù)學(xué)家）。韋達(dá)定理是初中代數(shù)中的一個(gè)重要定理。這是因?yàn)橥ㄟ^(guò)韋達(dá)定理的學(xué)習(xí)，把一元二次方程的研究推向了高級(jí)階段，運(yùn)用韋達(dá)定理可以進(jìn)一步研究數(shù)學(xué)中的許多問題，如二次三項(xiàng)式的因式分解，解二元二次方程組；韋達(dá)定理對(duì)后面函數(shù)的學(xué)習(xí)研究也是作用非凡。
通過(guò)近些年的中考數(shù)學(xué)試卷的分析可以得出：韋達(dá)定理及其應(yīng)用是各地市中考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)之一。出現(xiàn)的題型有選擇題、填空題和解答題，有的將其與三角函數(shù)、幾何、二次函數(shù)等內(nèi)容綜合起來(lái)，形成難度系數(shù)較大的壓軸題。
通過(guò)韋達(dá)定理的教學(xué)，可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新精神和綜合分析數(shù)學(xué)問題的能力，也為學(xué)生今后學(xué)習(xí)方程理論打下基礎(chǔ)。
（二）重點(diǎn)、難點(diǎn)
一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是重點(diǎn)，讓學(xué)生從具體方程的根發(fā)現(xiàn)一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系，并用語(yǔ)言表述，以及由一個(gè)已知方程求作新方程，使新方程的根與已知的方程的根有某種關(guān)系，比較抽象，學(xué)生真正掌握有一定的難度，是教學(xué)的難點(diǎn)。
（三）教學(xué)目標(biāo)
1、知識(shí)目標(biāo)：要求學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式，能運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系由已知一元二次方程的一個(gè)根求出另一個(gè)根與未知數(shù)，會(huì)求一元二次方程兩個(gè)根的倒數(shù)和與平方數(shù)，兩根之差。
2、能力目標(biāo)：通過(guò)韋達(dá)定理的教學(xué)過(guò)程 ，使學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程 ，發(fā)展推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神。
3、情感目標(biāo)：通過(guò)情境教學(xué)過(guò)程 ，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，培養(yǎng)學(xué)生積極學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的態(tài)度。體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中充滿著探索與創(chuàng)造，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的成功感，建立自信心。
二、設(shè)計(jì)理念
根據(jù)教材內(nèi)容和本人研究的課題《初中數(shù)學(xué)問題引探教學(xué)實(shí)驗(yàn)研究》，在教學(xué)中滲透新課標(biāo)的精神，注重過(guò)程數(shù)學(xué)，注重創(chuàng)新教學(xué)，注重問題意識(shí)，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，主動(dòng)探索并獲取知識(shí)，教師是組織者、引導(dǎo)者、參與者。
三、教法與學(xué)法
（一）教法
1、充分以學(xué)生為主體進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生多實(shí)踐，從實(shí)踐中反思過(guò)程，讓學(xué)生經(jīng)歷韋達(dá)定理的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，并從中體驗(yàn)成功的樂趣。
2、采用“實(shí)踐（練習(xí)）——觀察——發(fā)現(xiàn)——猜想——證明”的過(guò)程教學(xué)。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，師生共同解決問題。
3、分小組討論交流，多渠道信息反饋。
4、問題引探，啟發(fā)誘導(dǎo)，進(jìn)行創(chuàng)新教學(xué)。
（二）學(xué)法指導(dǎo)
1、引導(dǎo)學(xué)生實(shí)踐、觀察、發(fā)現(xiàn)問題、猜想并推理。
2、指導(dǎo)學(xué)生掌握思考問題的方法及解決問題的途徑。
3、指導(dǎo)學(xué)生熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系，并將應(yīng)用問題和規(guī)律歸類。
四、課時(shí)劃分及教學(xué)過(guò)程
（一）課時(shí)劃分
共分3課時(shí)
第一課時(shí)
1、根與系數(shù)的關(guān)系。
2、根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用。
（1）求已知方程的兩根的平方和、倒數(shù)和、兩根差。
第二課時(shí)
1、已知兩數(shù)求作新方程。
2、由已知兩根和與積的值或式子，求字母的值。
第三課時(shí)
方程判別式、根與系數(shù)的關(guān)系的綜合應(yīng)用。
第一課時(shí) 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（1）
一、教學(xué)目標(biāo)
1、理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根x1，x2與系數(shù)a、b、c之間的關(guān)系。
2、能根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系式和已知一個(gè)根的條件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知數(shù)。
3、會(huì)求已知方程的兩根的倒數(shù)和與平方和、兩根的差。
4、在推導(dǎo)過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生“觀察——發(fā)現(xiàn)——猜想——證明”的研究問題的思想與方法。
二、重難點(diǎn)
根與系數(shù)的關(guān)系是重點(diǎn)，由于式子的抽象性，兩根之和等于一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)的相反數(shù)中的符號(hào)是學(xué)生理解和掌握的難點(diǎn)。
三、教學(xué)過(guò)程
（一）問題引探
問題1.在方程ax2+bx+c=0中，a的取值決定什么？b2-4ac的取值呢？同學(xué)們可知道a、b、c的取值與一元二次方程ax2+bx+c=0的根還有其它關(guān)系？今天我們進(jìn)一步研究一元二次方程的這種關(guān)系。
問題2.解方程x2-5x+6=0，并先指出a、b、c各是多少，然后再解方程，計(jì)算兩根的和與積，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論（現(xiàn)象）？
問題3.解下列方程：
（1）2x2+5x+3=0 （2）3x2-2x-2=0
并根據(jù)問題2和以上的求解填寫下表
請(qǐng)觀察上表，你能發(fā)現(xiàn)兩根之和、兩根之積與方程的系數(shù)之間有什么關(guān)系嗎？
問題4.請(qǐng)根據(jù)以上的觀察發(fā)現(xiàn)進(jìn)一步猜想：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根x1，x2與a、b、c之間的關(guān)系：____________.
問題5.你能證明上面的猜想嗎？請(qǐng)證明，并用文字語(yǔ)言敘述說(shuō)明。
分小組討論以上的問題，并作出推理證明。
若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根為x1=，x2= , 則
x1+x2= + = ;
x1 x2= · =
=
即：如果ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根是x1，x2，那么x1+x2= ，x1x2= 。
由此得出一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系；還可以讓學(xué)生用自己的語(yǔ)言表述這種關(guān)系，來(lái)加深理解和記憶。
這個(gè)關(guān)系是一個(gè)法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)的，所以也稱之為韋達(dá)定理。
問題6.在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用嗎？（引導(dǎo)學(xué)生反思性小結(jié)）
①二次項(xiàng)系數(shù)a是否為零，決定著方程是否為二次方程；
②當(dāng)a≠0時(shí)，b=0，a、c異號(hào)，方程兩根互為相反數(shù)；
③當(dāng)a≠0時(shí)，△=b2-4ac可判定根的情況；
④當(dāng)a≠0，b2-4ac≥0時(shí)，x1+x2= ，x1x2=
⑤當(dāng)a≠0，c=0時(shí)，方程有一根為0。
說(shuō)明：1、本設(shè)計(jì)采用“實(shí)踐——觀察——發(fā)現(xiàn)——猜想——證明”的過(guò)程，使學(xué)生既動(dòng)手又動(dòng)腦，且又動(dòng)口，教師引導(dǎo)啟發(fā)，避免注入式地講授一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)學(xué)生的主體學(xué)習(xí)特性，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神。
2、本設(shè)計(jì)遵循由特殊到一般，從實(shí)踐到理論（即從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)）的認(rèn)知規(guī)律。
3、本設(shè)計(jì)注重了學(xué)生的反思過(guò)程，使學(xué)生將知識(shí)系統(tǒng)化、格式化。
（二）嘗試發(fā)展
試一試：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系寫出下列方程的兩根之和與兩根之積（方程兩根為x1，x2、k是常數(shù)）
（1）2x2-3x+1=0 x1+x2=________ x1x2=_________
（2）3x2+5x=0 x1+x2=________ x1x2=__________
（3）5x2+x-2=0 x1+x2=_________ x1x2=__________
（4）5x2+kx-6=0 x1+x2=_________ x1x2=__________
（此試一試作為鞏固知識(shí)而用）
嘗試題1、已知方程6x2+kx-5=0的一個(gè)根為，求它的另一個(gè)根及k的值。
組織學(xué)生自己分析解決，然后一學(xué)生演板，其余學(xué)生在草稿本上練習(xí)。
學(xué)生練習(xí)：P32 2。
嘗試題2、利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程2x2-3x-1=0的兩個(gè)根的（1）平方和，（2）倒數(shù)和。
討論：解上面問題的思路是什么？
得出：x12+ x22=( x1+x2)2-2 x1x2; &nb
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