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第三冊(cè)三角形的中位線
教學(xué)目標(biāo)
1.理解三角形中位線的概念,掌握它的性質(zhì)及初步應(yīng)用.
2.通過對(duì)問題的探索及進(jìn)一步變式,培養(yǎng)學(xué)生逆向思維及分解構(gòu)造基本圖形解決較復(fù)雜問題的能力.
教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
重點(diǎn)是三角形中位線的性質(zhì)定理.
難點(diǎn)是證明三角形中位線性質(zhì)定理時(shí)輔助線的添法和性質(zhì)的錄活應(yīng)用.
教學(xué)過程 設(shè)計(jì)
一、聯(lián)想,提出問題.
1.(投影)復(fù)習(xí)平行線等分線段定理及兩個(gè)推論(圖4-89).
(1)請(qǐng)同學(xué)敘述定理及推論的內(nèi)容.
(2)用數(shù)學(xué)表態(tài)式敘述圖4-89(c)中的結(jié)論.
已知在ΔABC中,D為AB中點(diǎn),DE∥BC,則AE=EC.
2.逆向思維,探索新結(jié)論.
引導(dǎo)學(xué)生思考:在圖4-90中,反過來,若D,E分別為AB,AC中點(diǎn),DE與BC有什么位置和數(shù)量關(guān)系呢?
啟發(fā)學(xué)生逆向類比猜想:DE∥BC(逆向聯(lián)想),DE= BC(因?yàn)椋粒模?AB,AE= AC,類比聯(lián)想ΔADE的第三邊DE與ΔABC的第三邊也存在相同的倍數(shù)關(guān)系).
由此引出課題.
二、證明猜想,形成定理
1.定義三角形的中位線,強(qiáng)調(diào)它與三角形的中線的區(qū)別.
2.證明上述猜想成立,教師重點(diǎn)分析輔助線的作法的思考過程.
教師提示學(xué)生:所證結(jié)論即有平行又有數(shù)量關(guān)系,聯(lián)想已有知識(shí),可添加輔助線構(gòu)造平行四邊形,利用對(duì)平行且相等證明結(jié)論成立,或者用書上的同一法.教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維后,還要注意比較,選擇最簡(jiǎn)捷的證明方法.
3.板書一種證明過程.
4.將“猜想改成定理,引導(dǎo)學(xué)生用文字?jǐn)⑹龀鋈切沃形痪定理的具體內(nèi)容.
三角形中位線定理:三角形的中位線平行于第三邊,并且等于它的一半.
5.分析定理成立的條件、結(jié)論及作用.
條件:連結(jié)兩邊中點(diǎn)得到中位線.
結(jié)論有兩個(gè),即位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系,根據(jù)題目需要選用.
作用:在已知兩邊中點(diǎn)的條件下,證明線段的平行關(guān)系及線段的倍分關(guān)系.
三、應(yīng)用舉例、變式練習(xí)
(投影)例1(直線給出圖4-90的問題)根據(jù)圖4-91中的條件,回答問題.
(1) 已知:如圖4-91(a),D,E分別為AB和AC的中點(diǎn)DE=5.BC;
(2) 如圖4-91(b),D,E,F(xiàn)分別為AB,AC,BC中點(diǎn),AC=8,∠C=70°,求DF和∠EDF;
(3) 如圖4-91(c),①它包含幾個(gè)圖4-90這樣的基本圖形?②哪些三角形全等?③有幾個(gè)平行四邊形?④若ΔDEF周長(zhǎng)為10 cm,求ΔABC的周長(zhǎng).⑤若ΔABC的面積等于20cm2,求ΔDEF的面積.⑥AF與DE有何關(guān)系?怎樣用語(yǔ)言敘述這結(jié)論?
分析:
(1) 可利用復(fù)合投影片實(shí)現(xiàn)三個(gè)圖的疊加過程,以提高課堂效益并幫助學(xué)生建立分解基本圖形的思想.
(2) 通過此題總結(jié):三角形三和中位線圍成的三角形的周長(zhǎng)等于原三角形周長(zhǎng)的一半,面積等于原三角形面積的14.這個(gè)過程可以無(wú)限進(jìn)行下去,如圖4-92.
(3) 從解題過程可以得到:三角形的一條中位線(DE)與第三邊上的中線(AF)互相平分.
(板書)例2 (包含圖4-90的問題)如圖4-93,AD是ΔABC的高,M,N和E分別為AB,AC,BC的中點(diǎn).求證:(1)四邊形MNDE為等腰梯形;(2)∠MEN=∠MDN.
分析:
(1) 由條件分析,圖中可分解出“AD是ΔABC的高”,“三角形的中位線是MN,ME,NE”,“直角三角形斜邊上中線MD,ND” .想一想,這些基本圖形都有什么性質(zhì)?
(2) 從結(jié)論出發(fā),要證四邊形MEDN是等腰梯形,只需證MN∥DE,且MN≠DE及以下三種情況之一成立:①M(fèi)E=ND;②MD=EN;③∠EMN=∠DNM.從而證得結(jié)論成立.
讓學(xué)生口述,教師板書證明過程.
例3 構(gòu)造圖4-90問題.
(1) 求證:順次連結(jié)四邊形四條邊的中點(diǎn),所得的四邊形是平行四邊形;
(2)若已知四邊形為特殊四邊形呢?
已知:在四邊形ABCD中,E,F(xiàn),G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),如圖4-94.求證:四邊形EFGH是平行四邊形.
分析:
(1)已知四條線段的中點(diǎn),可設(shè)法應(yīng)用三角形中位線定理,找到四邊形EFGH的邊之間的關(guān)系.而四邊形ABCD的對(duì)角線可以把四邊形分成兩個(gè)三角形,所以添加輔助線,連結(jié)AC或BD,構(gòu)造“三角形的中位線”的基本圖形.
(2)讓學(xué)生畫圖觀察并思考此題的特殊情況,如圖4-95,順次連結(jié)各種特殊四邊形中點(diǎn)得到什么圖形?
投影顯示:
四、師生共同小結(jié)
1.教師提問引起學(xué)生思考:
(1)這節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些具體內(nèi)容:
(2)用什么思維方法提出猜想的?
(3)應(yīng)注意哪些概念之間的區(qū)別?
2.在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上,教師投影顯示以下與三角形一邊中點(diǎn)及線段倍分關(guān)系有關(guān)的基
本圖形(如圖4-96).
(1)注意三角形中線與中位線的區(qū)別,圖4-96(a),(b).
(2)三角線的中位線的判定方法有兩種:定義及判定定理,圖4-96(b),(。).
(3)證明線段倍分關(guān)系的方法常有三種,圖4-96(b),(d),().
3.先猜想后證明的研究問題方法;逆向思維,探究逆命題是否成立,由此經(jīng)常得到一些好
的結(jié)論;添輔助線構(gòu)造基本圖形來使用性質(zhì)的解題方法.
4.三角形的中位線有這樣的性質(zhì),那么梯形有中位線嗎?它有類似的性質(zhì)嗎?(為下節(jié)
課作思維上的準(zhǔn)備)
五、作業(yè)
課本第180頁(yè)第4題,第184頁(yè)第5,7,8題,第185頁(yè)B組第1題.
補(bǔ)充題:(構(gòu)造三角形的中位線)
1.如圖4-97,AD是上ABC的外角平分線,CD上AD于D.E是BC的中點(diǎn).求證:(1)DE ∥/ AB:(2)DE = (AB+AC).
(提示:延長(zhǎng)CD交BA延長(zhǎng)線于F.)
2.如圖 4-98,正方形 ABCD對(duì)角線交于點(diǎn)O,E是BO中點(diǎn),連結(jié)”并延長(zhǎng)交BC于F.求證:BF= CF.(提示:作OG∥EF交于BC于G.)
3.如圖4-99,在四邊形 ABCD中,AB=CD, E,F(xiàn)分別是AD,BC的中點(diǎn),延長(zhǎng) BA和CD分別交FE的延長(zhǎng)線于 G,H點(diǎn).求證:∠BGF=∠CHF.(提示:連結(jié) AC,取 AC中聲、 M,連結(jié)EM,F(xiàn)M.)
課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明
本教學(xué)過程 設(shè)計(jì)需1課時(shí)完成.
1.本節(jié)課的設(shè)計(jì),力求讓學(xué)生通過逆向思維及類比聯(lián)想自己實(shí)踐“分析——猜想——證
明”的過程.變被動(dòng)接受知識(shí)為主動(dòng)應(yīng)用已有知識(shí),探索新知識(shí),獲得成功的喜悅.
2.在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí),通過一組層次遞進(jìn)的變式題的訓(xùn)練,由直接給出定理的基本圖形
到包含基本圖形,學(xué)生分解圖形后使用性質(zhì),再到通過添加輔助線構(gòu)造基本圖形來使用性質(zhì),
學(xué)生逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用性質(zhì)來解決問題,他們的解題能力、思考問題的方法得到逐步提高
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