兩圓的公切線

第一課時(shí) 兩圓的公切線（一）

教學(xué)目標(biāo) ：

（1）理解兩圓相切長等有關(guān)概念，掌握兩圓外公切線長的求法；

（2）培養(yǎng)學(xué)生的歸納、總結(jié)能力；

（3）通過兩圓外公切線長的求法向?qū)W生滲透“轉(zhuǎn)化”思想．

教學(xué)重點(diǎn)：

理解兩圓相切長等有關(guān)概念，兩圓外公切線的求法．

教學(xué)難點(diǎn) ：

兩圓外公切線和兩圓外公切線長學(xué)生理解的不透，容易混淆．

教學(xué)活動設(shè)計(jì)

（一）實(shí)際問題（引入）

很多機(jī)器上的傳動帶與主動輪、從動輪之間的位置關(guān)系，給我們以一條直線和兩個(gè)同時(shí)相切的形象．（這里是一種簡單的數(shù)學(xué)建模，了解數(shù)學(xué)產(chǎn)生與實(shí)踐）

（二）兩圓的公切線概念

1、概念：

教師引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)．給出兩圓的外公切線、內(nèi)公切線以及公切線長的定義：

和兩圓都相切的直線，叫做兩圓的公切線．

(1)外公切線：兩個(gè)圓在公切線的同旁時(shí)，這樣的公切線叫做外公切線．

(2)內(nèi)公切線：兩個(gè)圓在公切線的兩旁時(shí)，這樣的公切線叫做內(nèi)公切線．

(3)公切線的長：公切線上兩個(gè)切點(diǎn)的距離叫做公切線的長．

2、理解概念：

(1)公切線的長與切線的長有何區(qū)別與聯(lián)系?

(2)公切線的長與公切線又有何區(qū)別與聯(lián)系?

(1)公切線的長與切線的長的概念有類似的地方，即都是線段的長．但公切線的長是對兩個(gè)圓來說的，且這條線段是以兩切點(diǎn)為端點(diǎn)；切線長是對一個(gè)圓來說的，且這條線段的一個(gè)端點(diǎn)是切點(diǎn)，另一個(gè)端點(diǎn)是圓外一點(diǎn)．

(2)公切線是直線，而公切線的長是兩切點(diǎn)問線段的長，前者不能度量，后者可以度量．

（三）兩圓的位置與公切線條數(shù)的關(guān)系

組織學(xué)生觀察、概念、概括，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力．添寫教材P143練習(xí)第2題表．

（四）應(yīng)用、反思、總結(jié)

例1、已知：⊙O1、⊙O2的半徑分別為2cm和7cm，圓心距O1O2=13cm，AB是⊙O1、⊙O2的外公切線，切點(diǎn)分別是A、B．求：公切線的長AB．

分析：首先想到切線性質(zhì)，故連結(jié)O1A、O2B，得直角梯形AO1O2B．一般要把它分解成一個(gè)直角三角形和一個(gè)矩形，再用其性質(zhì)．（組織學(xué)生分析，教師點(diǎn)撥，規(guī)范步驟）

解：連結(jié)O1A、O2B，作O1A⊥AB，O2B⊥AB．

過 O1作O1C⊥O2B，垂足為C，則四邊形O1ABC為矩形，

于是有

O1C⊥C O2，O1C=AB，O1A=CB．

在Rt△O2CO1和．

O1O2=13，O2C=O2B- O1A=5

AB=O1C= (cm)．

反思：（1）“轉(zhuǎn)化”思想，構(gòu)造三角形；（2）初步掌握添加輔助線的方法．

 例2*、如圖，已知⊙O1、⊙O2外切于P，直線AB為兩圓的公切線，A、B為切點(diǎn)，若PA=8cm，PB=6cm，求切線AB的長．

分析：因?yàn)榫�段AB是△APB的一條邊，在△APB中，已知PA和PB的長，只需先證明△PAB是直角三角形，然后再根據(jù)勾股定理，使問題得解．證△PAB是直角三角形，只需證△APB中有一個(gè)角是90°(或證得有兩角的和是90°)，這就需要溝通角的關(guān)系，故過P作兩圓的公切線CD如圖，因?yàn)锳B是兩圓的公切線，所以∠CPB=∠ABP，∠CPA=∠BAP．因?yàn)椤螧AP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°，所以2∠CPA+2∠CPB=180°，所以∠CPA+∠CPB=90°，即∠APB=90°，故△APB是直角三角形，此題得解．

解：過點(diǎn)P作兩圓的公切線CD

∵ AB是⊙O1和⊙O2的切線，A、B為切點(diǎn)

∴∠CPA=∠BAP ∠CPB=∠ABP

又∵∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°

∴ 2∠CPA+2∠CPB=180°

∴∠CPA+∠CPB=90° 即∠APB=90°

在 Rt△APB中，AB2=AP2+BP2

說明：兩圓相切時(shí)，常過切點(diǎn)作兩圓的公切線，溝通兩圓中的角的關(guān)系．

（五）鞏固練習(xí)

1、當(dāng)兩圓外離時(shí)，外公切線、圓心距、兩半徑之差一定組成( )

(A)直角三角形 (B)等腰三角形 (C)等邊三角形 (D)以上答案都不對．

此題考察外公切線與外公切線長之間的差別，答案(D)

2、外公切線是指

(A)和兩圓都祖切的直線 (B)兩切點(diǎn)間的距離 

(C)兩圓在公切線兩旁時(shí)的公切線 (D)兩圓在公切線同旁時(shí)的公切線

直接運(yùn)用外公切線的定義判斷．答案：(D)

3、教材P141練習(xí)（略）

（六）小結(jié)（組織學(xué)生進(jìn)行）

知識：兩圓的公切線、外公切線、內(nèi)公切線及公切線的長概念；

能力：歸納、概括能力和求外公切線長的能力；

思想：“轉(zhuǎn)化”思想．

（七）作業(yè) ：P151習(xí)題10，11．

第二課時(shí) 兩圓的公切線（二）

教學(xué)目標(biāo) ：

（1）掌握兩圓內(nèi)公切線長的求法以及公切線與連心線的夾角或公切線的交角；

（2）培養(yǎng)的遷移能力，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的歸納、總結(jié)能力；

（3）通過兩圓內(nèi)公切線長的求法進(jìn)一步向?qū)W生滲透“轉(zhuǎn)化”思想．

教學(xué)重點(diǎn)：

兩圓內(nèi)公切線的長及公切線與連心線的夾角或公切線的交角求法．

教學(xué)難點(diǎn) ：

兩圓內(nèi)公切線和兩圓內(nèi)公切線長學(xué)生理解的不透，容易混淆．

教學(xué)活動設(shè)計(jì)

（一）復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識

（1）兩圓的公切線概念：公切線、內(nèi)外公切線、內(nèi)外公切線的長．

（2）兩圓的位置與公切線條數(shù)的關(guān)系．（構(gòu)成數(shù)形對應(yīng)，且一一對應(yīng)）

（二）應(yīng)用、反思

例1、（教材例2）已知：⊙O1和⊙O2的半徑分別為4厘米和2厘米，圓心距 為10厘米，AB是⊙O1和⊙O2的一條內(nèi)公切線，切點(diǎn)分別是A，B．

求：公切線的長AB。

組織學(xué)生分析，遷移外公切線長的求法，既培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的遷移能力．

解：連結(jié)O1A、O2B，作O1A⊥AB，O2B⊥AB．

過 O1作O1C⊥O2B，交O2B的延長線于C，

則O1C=AB，O1A=BC．

在Rt△O2CO1和．

O1O2=10，O2C=O2B+ O1A=6

∴O1C= (cm)．

∴AB=8（cm）

反思：與外離兩圓的內(nèi)公切線有關(guān)的計(jì)算問題，常構(gòu)造如此題的直角梯行及直角三角形，在Rt△O2CO1中，含有內(nèi)公切線長、圓心距、兩半徑和重要數(shù)量．注意用解直角三角形的知識和幾何知識綜合去解構(gòu)造后的直角三角形．

例2 （教材例3）要做一個(gè)圖那樣的礦型架，將兩個(gè)鋼管托起，已知鋼管的外徑分別為200毫米和80毫米，求V形角α的度數(shù)．

解：(略)

反思：實(shí)際問題經(jīng)過抽象、化簡轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識來解決，這是解決實(shí)際問題的重要方法．它屬于簡單的數(shù)學(xué)建模．

組織學(xué)生進(jìn)行，教師引導(dǎo)．

歸納：（1）用解直角三角形的有關(guān)知識可得：當(dāng)公切線長l、兩圓的兩半徑和R+r、圓心距d、兩圓公切線的夾角α四個(gè)量中已知兩個(gè)量時(shí)，就可以求出其他兩個(gè)量．

， ；

（2）上述問題可以通過相似三角形和解三角形的知識解決．

（三）鞏固訓(xùn)練

教材P142練習(xí)第1題，教材P145練習(xí)第1題．

學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡視，發(fā)現(xiàn)問題及時(shí)糾正．

（四）小結(jié)

（1）求兩圓的內(nèi)公切線，“轉(zhuǎn)化”為解直角三角形問題．公切線長、圓心距、兩半徑和三個(gè)量中已知任何兩個(gè)量，都可以求第三個(gè)量；

（2）如果兩圓有兩條外(或內(nèi))公切線，并且它們相交，那么交點(diǎn)一定在兩圓的連心線上；

（3）求兩圓兩外(或內(nèi))公切線的夾角．

（五）作業(yè) 

教材P153中12、13、14．

第三課時(shí) 兩圓的公切線（三）

教學(xué)目標(biāo) ：

（1）理解兩圓公切線在解決有關(guān)兩圓相切的問題中的作用, 輔助線規(guī)律，并會應(yīng)用；

（2）通過兩圓公切線在證明題中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的分析問題和解決問題的能力．

教學(xué)重點(diǎn)：

會在證明兩圓相切問題時(shí)，輔助線的引法規(guī)律，并能應(yīng)用于幾何題證明中．

教學(xué)難點(diǎn) ：

綜合知識的靈活應(yīng)用和綜合能力培養(yǎng)．

教學(xué)活動設(shè)計(jì)

（一）復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識

（1）兩圓的公切線概念．

（2）切線的性質(zhì)，弦切角等有關(guān)概念．

（二）公切線在解題中的應(yīng)用

例1、如圖，⊙O1和⊙O2外切于點(diǎn)A，BC是⊙O1和⊙O2的公切線，B，C為切點(diǎn)．若連結(jié)AB、AC會構(gòu)成一個(gè)怎樣的三角形呢？

觀察、度量實(shí)驗(yàn)（組織學(xué)生進(jìn)行）

猜想：（學(xué)生猜想）∠BAC=90°

證明：過點(diǎn)A作⊙O1和⊙O2的內(nèi)切線交BC于點(diǎn)O．

∵OA、OB是⊙O1的切線，

∴OA=OB．

同理OA=OC．

∴ OA=OB=OC．

∴∠BAC=90°．

反思：（1）公切線是解決問題的橋梁，綜合應(yīng)用知識是解決問題的關(guān)鍵；（2）作兩圓的公切線是常見的一種作輔助線的方法．

例2、己知：如圖，⊙O1和⊙O2內(nèi)切于P，大圓的弦AB交小圓于C，D．

求證：∠APC＝∠BPD．

分析：從條件來想，兩圓內(nèi)切，可能作出的輔助線是作連心線O1O2，或作外公切線．

證明：過P點(diǎn)作兩圓的公切線MN．

∵∠MPC=∠PDC，∠MPN=∠B，

∴∠MPC－∠MPN=∠PDC－∠B，

即∠APC＝∠BPD．

反思：（1）作了兩圓公切線MN后，弦切角就把兩個(gè)圓中的圓周角聯(lián)系起來了．要重視MN的“橋梁”作用．（2）此例證角相等的方法是利用已知角的關(guān)系計(jì)算．

拓展：（組織學(xué)生研究，培養(yǎng)學(xué)生深入研究問題的意識）

己知：如圖，⊙O1和⊙O2內(nèi)切于P，大圓⊙O1的弦AB與小圓⊙O2相切于C點(diǎn)．

是否有：∠APC＝∠BPC即PC平分∠APB．

答案：有∠APC＝∠BPC即PC平分∠APB．如圖作輔助線，證明方法步驟參看典型例題中例4．

（三）練習(xí)

練習(xí)1、教材145練習(xí)第2題．

練習(xí)2、如圖，已知兩圓內(nèi)切于P，大圓的弦AB切小圓于C，大圓的弦PD過C點(diǎn)．

求證：PA·PB=PD·PC．

證明：過點(diǎn)P作兩圓的公切線EF

∵ AB是小圓的切線，C為切點(diǎn)

∴∠FPC=∠BCP，∠FPB=∠A

又∵∠1=∠BCP-∠A ∠2=∠FPC-∠FPB

∴∠1=∠2 ∵∠A=∠D，∴△PAC∽△PDB

∴PA·PB=PD·PC

說明：此題在例2題的拓展的基礎(chǔ)上解得非常容易．

（三）總結(jié)

學(xué)習(xí)了兩圓的公切線，應(yīng)該掌握以下幾個(gè)方面

1、由圓的軸對稱性，兩圓外(或內(nèi))公切線的交點(diǎn)(如果存在)在連心線上．

2、公切線長的計(jì)算，都轉(zhuǎn)化為解直角三角形，故解題思路主要是構(gòu)造直角三角形． 

3、常用的輔助線：

（1）兩圓在各種情況下�？紤]添連心線；

（2）兩圓外切時(shí)，常添內(nèi)公切線；兩圓內(nèi)切時(shí)，常添外公切線．

4、自己要有深入研究問題的意識，不斷反思，不斷歸納總結(jié)．

（四）作業(yè) 教材P151習(xí)題中15，B組2．

探究活動

問題：如圖1，已知兩圓相交于A、B，直線CD與兩圓分別相交于C、E、F、D．

(1)用量角器量出∠EAF與∠CBD的大小，根據(jù)量得結(jié)果，請你猜想∠EAF與∠CBD的大小之間存在怎樣的關(guān)系，并證明你所得到的結(jié)論．

(2)當(dāng)直線CD的位置如圖2時(shí)，上題的結(jié)論是否還能成立?并說明理由．

(3)如果將已知中的“兩圓相交”改為“兩圓外切于點(diǎn)A”，其余條件不變（如圖3），那么第（1）題所得的結(jié)論將變?yōu)槭裁�？并作出證明．

提示：（1）（2）（3）都有∠EAF+∠CBD=180°．證明略（如圖作輔助線）．

說明：問題從操作測量得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)入手，進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，歸傻貿(mào)霾孿耄???っ韃孿氤閃ⅲ?庖彩?a href=http://www.teachercn.com/Class/034/ target=_blank>數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種方法．第(2)、(3)題是對第(1)題結(jié)論的推廣和特殊化．第(3)題中若CD移動到與兩圓相切于點(diǎn)C、D，那么結(jié)論又將變?yōu)椤螩AD＝90°．

兩圓的公切線