弦切角

1、教材分析

（1）知識結(jié)構(gòu)

（2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

重點(diǎn)：弦切角定理是本節(jié)的重點(diǎn)也是本章的重點(diǎn)內(nèi)容之一，它在證明角相等、線段相等、線段成比例等問題時，有重要的作用；它與圓心角和圓周角以及直線形角的性質(zhì)構(gòu)成了完美的角的體系，屬于工具知識之一．

難點(diǎn)：弦切角定理的證明．因?yàn)樵谧C明過程中包含了由“一般到特殊”的數(shù)學(xué)思想方法和完全歸納法的數(shù)學(xué)思想，雖然在圓周角定理的證明中應(yīng)用過，但對學(xué)生來說是生疏的，因此它是教學(xué)中的難點(diǎn)．

2、教學(xué)建議

（1）教師在教學(xué)過程 中，主要是設(shè)置學(xué)習(xí)情境，組織或引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、研究問題和歸納結(jié)論，應(yīng)用知識培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力；在學(xué)生主體參與的學(xué)習(xí)過程中，讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，并獲得新知識；

（2）學(xué)習(xí)時應(yīng)注意：（Ⅰ）弦切角的識別由三要素構(gòu)成：①頂點(diǎn)為切點(diǎn)，②一邊為切線，③一邊為過切點(diǎn)的弦；（Ⅱ）在使用弦切角定理時，首先要根據(jù)圖形準(zhǔn)確找到弦切角和它們所夾弧上的圓周角；（Ⅲ）要注意弦切角定理的證明，體現(xiàn)了從特殊到一般的證明思路．

教學(xué)目標(biāo) ：

1、理解弦切角的概念；

2、掌握弦切角定理及推論，并會運(yùn)用它們解決有關(guān)問題；

3、進(jìn)一步理解化歸和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法以及完全歸納的證明方法．

教學(xué)重點(diǎn)：弦切角定理及其應(yīng)用是重點(diǎn)．

教學(xué)難點(diǎn) ：弦切角定理的證明是難點(diǎn)．

教學(xué)活動設(shè)計：

（一）創(chuàng)設(shè)情境，以舊探新

1、復(fù)習(xí)：什么樣的角是圓周角?

2、弦切角的概念：

電腦顯示：圓周角∠CAB，讓射線AC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，產(chǎn)生無數(shù)個圓周角，當(dāng)AC繞點(diǎn)A  旋轉(zhuǎn)至與圓相切時，得∠BAE．

引導(dǎo)學(xué)生共同觀察、分析∠BAE的特點(diǎn)：

(1)頂點(diǎn)在圓周上； (2)一邊與圓相交； (3)一邊與圓相切．

弦切角的定義：

頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。

3、用反例圖形剖析定義，揭示概念本質(zhì)屬性：

判斷下列各圖形中的角是不是弦切角，并說明理由：

以下各圖中的角都不是弦切角．

圖(1)中，缺少“頂點(diǎn)在圓上”的條件；

圖(2)中，缺少“一邊和圓相交”的條件；

圖(3)中，缺少“一邊和圓相切”的條件；

圖(4)中，缺少“頂點(diǎn)在圓上”和“一邊和圓相切”兩個條件．

通過以上分析，使全體學(xué)生明確：弦切角定義中的三個條件缺一不可。

（二）觀察、猜想

1、觀察：（電腦動畫，使C點(diǎn)變動）

觀察∠P與∠BAC的關(guān)系．

2、猜想：∠P=∠BAC

（三）類比聯(lián)想、論證

1、首先讓學(xué)生回憶聯(lián)想：

(1)圓周角定理的證明采用了什么方法?

(2)既然弦切角可由圓周角演變而來，那么上述猜想是否可用類似的方法來證明呢?

2、分類：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，當(dāng)固定切線，讓過切點(diǎn)的弦運(yùn)動，可發(fā)現(xiàn)一個圓的弦切角有無數(shù)個．

如圖．由此發(fā)現(xiàn)，弦切角可分為三類：

(1)圓心在角的外部；

(2)圓心在角的一邊上；

(3)圓心在角的內(nèi)部．

3、遷移圓周角定理的證明方法

先證明了特殊情況，在考慮圓心在弦切角的外部和內(nèi)部兩種情況．

組織學(xué)生討論：怎樣將一般情況的證明轉(zhuǎn)化為特殊情況．

如圖 (1)，圓心O在∠CAB外，作⊙O的直徑AQ，連結(jié)PQ，則∠BAC＝∠BAQ-∠l＝∠APQ-∠2＝∠APC．

如圖 (2)，圓心O在∠CAB內(nèi)，作⊙O的直徑AQ．連結(jié)PQ，則∠BAC＝∠QAB十∠1＝∠QPA十∠2＝∠APC，

（在此基礎(chǔ)上，給出證明，寫出完整的證明過程)

回顧證明方法：將情形圖都化歸至情形圖1，利用角的合成、對三種情況進(jìn)行完    全歸納、從而證明了上述猜想是正確的，得：

弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧對的圓周角．

4．深化結(jié)論．

練習(xí)1 直線AB和圓相切于點(diǎn)P，PC，PD為弦，指出圖中所有的弦切角以及它們所夾的�。�

練習(xí)2 如圖，DE切⊙O于A，AB，AC是⊙O 的弦，若＝，那么∠DAB和∠EAC是否相等?為什么?

分析：由于 和 分別是兩個弦切角∠OAB和∠EAC所夾的弧．而 ＝ ．連結(jié)B，C，易證∠B＝∠C．于是得到∠DAB＝∠EAC．

由此得出：

推論：若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等．

（四）應(yīng)用

例1如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線CE和⊙O 切于點(diǎn)C，AD⊥CE，垂足為D

求證：AC平分∠BAD．

思路一：要證∠BAC＝∠CAD，可證這兩角所在的直角三角形相似，于是連結(jié)BC，得Rt△ACB，只需證∠ACD＝∠B．

證明：(學(xué)生板書)

組織學(xué)生積極思考．可否用前邊學(xué)過的知識證明此題?由學(xué)生回答，教師小結(jié)．

思路二，連結(jié)OC，由切線性質(zhì)，可得OC∥AD，于是有∠l＝∠3，又由于∠1＝∠2，可證得結(jié)論。

思路三，過C作CF⊥AB，交⊙O于P，連結(jié)AF．由垂徑定理可知∠1＝∠3，又根據(jù)弦切角定理有∠2＝∠1，于是∠2=∠3，進(jìn)而可證明結(jié)論成立．

練習(xí)題

1、如圖，AB為⊙O的直徑，直線EF切⊙O于C，若∠BAC＝56°，則∠ECA＝______度．

2、AB切⊙O于A點(diǎn)，圓周被AC所分成的優(yōu)弧與劣弧之比為3:1，則夾劣弧的弦切角∠BAC＝________

3、如圖，經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)T的切線和弦AB的延長線相交于點(diǎn)C．

求證：∠ATC＝∠TBC．

(此題為課本的練習(xí)題，證明方法較多，組織學(xué)生討論，歸納證法．)

（五）歸納小結(jié)

教師組織學(xué)生歸納：

(1)這節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)的知識；

(2)在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)用哪些重要的數(shù)學(xué)思想方法？

（六）作業(yè) ：教材P13l習(xí)題7．4A組l(2)，5，6，7題．

探究活動

一個角的頂點(diǎn)在圓上，它的度數(shù)等于它所夾的弧對的圓周角的度數(shù)，試探討該角是否圓周角？若不是，請舉出反例；若是圓周角，請給出證明．

提示：是圓周角（它是弦切角定理的逆命題）．分三種情況證明（證明略）．

弦切角