平均數(shù)

第一課時(shí)

素質(zhì)教育目標(biāo)

（一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

1．使學(xué)生初步了解統(tǒng)計(jì)知識(shí)是應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)內(nèi)容 .

2．了解平均數(shù)的意義，會(huì)計(jì)算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù) .

3．當(dāng)一組數(shù)據(jù)的數(shù)值較大時(shí)，會(huì)用簡(jiǎn)算公式計(jì)算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù) .

（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)

培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、計(jì)算能力 .

（三）德育滲透點(diǎn)

1．培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真、耐心、細(xì)致的學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)習(xí)慣 .

2．滲透數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)踐，反地來(lái)又作用于實(shí)踐的觀點(diǎn) .

（四）美育滲透點(diǎn)

通過(guò)本課的學(xué)習(xí)，滲透數(shù)學(xué)公式的簡(jiǎn)單美和結(jié)構(gòu)的嚴(yán)謹(jǐn)美，展示了寓深?yuàn)W于淺顯，寓紛繁于嚴(yán)謹(jǐn)?shù)霓q證統(tǒng)一的數(shù)學(xué)美 .

重點(diǎn)·難點(diǎn)·疑點(diǎn)及解決辦法

1．教學(xué)重點(diǎn)：平均數(shù)的概念及其計(jì)算 .

2．教學(xué)難點(diǎn) ：平均數(shù)的簡(jiǎn)化計(jì)算 .

3．教學(xué)疑點(diǎn)：平均數(shù)簡(jiǎn)化公式的應(yīng)用，a如何選擇 .

4．解決辦法：分清兩個(gè)公式，公式②的運(yùn)用要選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)腶 .

教學(xué)步驟 

（一）明確目標(biāo)

在日常生活中，我們常與數(shù)據(jù)打交道，例如，電視臺(tái)每天晚上都要預(yù)報(bào)第二天當(dāng)?shù)氐淖畹蜌鉁嘏c最高氣溫，商店每天都要結(jié)算一下當(dāng)天的營(yíng)業(yè)額，每個(gè)班次的飛機(jī)都要統(tǒng)計(jì)一下乘客的人數(shù)等．這些都涉及數(shù)據(jù)的計(jì)算問(wèn)題．請(qǐng)同學(xué)們思考下面問(wèn)題．（教師出示幻燈片）

為了從甲乙兩名學(xué)生中選拔一人參加射擊比賽，對(duì)他們的射擊水平進(jìn)行了測(cè)驗(yàn)．兩人在相同條件下各射靶10次，命中的環(huán)數(shù)如下：

甲 7 8 6 8 6 5 9 10 7 4

乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7

1．怎樣比較兩個(gè)人的成績(jī)？2．應(yīng)選哪一個(gè)人參加射擊比賽？

教師要引導(dǎo)學(xué)生觀察，給學(xué)生充分的時(shí)間去思考，并可以分成小組討論解決辦法．

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，部分學(xué)生可能感到無(wú)從下手，部分學(xué)生可能想到去比較兩組數(shù)據(jù)的平均，讓學(xué)生動(dòng)手具體算一下兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)結(jié)果它們相等在學(xué)生無(wú)法解決此問(wèn)題的情況下，教師說(shuō)明，這正是本章要解決的問(wèn)題之一（寫(xiě)出課題）．這樣做的目的是教師有意創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境、制造懸念，這不僅能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和自覺(jué)性，引起學(xué)生對(duì)所學(xué)課程的注意，還能誘發(fā)學(xué)生探求新知識(shí)的濃厚興趣．

（二）整體感知

解決類似上述的問(wèn)題要用到統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)，統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門(mén)研究如何收集、整理、分析數(shù)據(jù)并據(jù)之做出推斷的科學(xué)，它以概率論為基礎(chǔ)，著重研究如何根據(jù)樣本的性質(zhì)去推測(cè)總體的性質(zhì)．在當(dāng)今的信息時(shí)代，統(tǒng)計(jì)學(xué)的應(yīng)用非常廣泛，以至于它已滲透到整個(gè)社會(huì)生活的各個(gè)方面．本章我們將學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)學(xué)的一些初步知識(shí)．

（三）教學(xué)過(guò)程 

這節(jié)課我們首先來(lái)學(xué)習(xí)平均數(shù)．

1．（出示幻燈片）請(qǐng)同學(xué)看下面問(wèn)題：

某班第一小組一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的成績(jī)?nèi)缦拢?/p>

  86 91 100 72 93 89 90 85 75 95

這個(gè)小組的平均成績(jī)是多少？

教師引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)筆計(jì)算，并找一名學(xué)生到黑板板演，講完引例后，引導(dǎo)學(xué)生歸納出求平均數(shù)方法，這樣做使學(xué)生對(duì)平均數(shù)的計(jì)算公式能有深刻的認(rèn)識(shí) .

2．平均數(shù)的概念及計(jì)算公式

一般地，如果有n個(gè)數(shù) .

那么 ①

叫做這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)， 讀作“x撥” .

這是在初中數(shù)學(xué)課本中第一次出現(xiàn)帶有省略號(hào)的用字母表示的n個(gè)數(shù)相加的一般寫(xiě)法 .學(xué)生對(duì)此可能會(huì)感到比較抽象，不太習(xí)慣，要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)，采用這種寫(xiě)法是簡(jiǎn)化表示，是為了使問(wèn)題的討論具有一般性 .教師應(yīng)通過(guò)對(duì)公式的剖析，使學(xué)生正確理解公式，并掌握公式中各元素的意義 .

3．平均數(shù)計(jì)算公式①的應(yīng)用

例1  一個(gè)地區(qū)某年1月上旬各天的最低氣溫依次是（單位：℃）：

－6，－5，－7，－6，－4，－5，－7，－8，－7

求它們的平均氣溫 .

讓學(xué)生動(dòng)手計(jì)算，以鞏固平均數(shù)計(jì)算公式（一名學(xué)生板演）

教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)：①解題格式 .②在統(tǒng)計(jì)學(xué)里處理的數(shù)據(jù)包括負(fù)數(shù) .③在本章中，如無(wú)特殊說(shuō)明，平均數(shù)計(jì)算結(jié)果保留的位數(shù)與原數(shù)據(jù)相同 .

例2  從一批機(jī)器零件毛坯中取出20件，稱得它們的質(zhì)量如下（單位：千克）：

210 208 200 205 202 218 206 214 215 207 195 207 218 192 202 216 185 227 187 215

計(jì)算它們的平均質(zhì)量 .（用投影儀打出）

引導(dǎo)學(xué)生兩人一組完成計(jì)算，然后一起對(duì)答案 .由于數(shù)據(jù)較大，計(jì)算較繁，可能會(huì)出現(xiàn)不同的答案 .正好為下面提出簡(jiǎn)化計(jì)算公式作好鋪墊 .

教師提出問(wèn)題：像例2這樣，數(shù)據(jù)較大，計(jì)算較繁，因而容易出錯(cuò)，有沒(méi)有較為簡(jiǎn)便的算法呢？引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)據(jù)有什么特點(diǎn)？都接近于哪一個(gè)數(shù)？啟發(fā)學(xué)生討論，尋找簡(jiǎn)便算法 .

學(xué)生回答：數(shù)據(jù)都在200左右波動(dòng)，可將各數(shù)據(jù)同時(shí)減去200，轉(zhuǎn)而計(jì)算一組數(shù)值較小的新數(shù)據(jù)的平均數(shù)，至此讓學(xué)生再一次兩人一組用簡(jiǎn)便方法計(jì)算例2，并與前面計(jì)算的結(jié)果相比較是否一樣 .

講完例2后，教師指出幾點(diǎn)：常數(shù)a的取法不是惟一的； 讀作“x——撇——撥”；；簡(jiǎn)化計(jì)算的結(jié)果與前面毛算的結(jié)果相同 .

通過(guò)學(xué)生的動(dòng)手計(jì)算，若產(chǎn)生困難或錯(cuò)誤，教師及時(shí)點(diǎn)撥，引導(dǎo)學(xué)生尋找解決問(wèn)題的方法，這不僅可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，更培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維能力，同時(shí)也使學(xué)生對(duì)公式②的推導(dǎo)更容易接受 .

3．推導(dǎo)公式②

一般地，當(dāng)一組數(shù)據(jù) 的各個(gè)數(shù)值較大時(shí)，可將各數(shù)據(jù)同時(shí)減去一個(gè)適當(dāng)?shù)某��?shù)a，得到

，

那么  ，

因此，

即 ②

為了加深學(xué)生對(duì)公式②的認(rèn)識(shí)，再讓學(xué)生指出例2的 、 、 各是什么？（學(xué)生回答）

課堂練習(xí)：

教材P148中～P149中1，2，3

（四）總結(jié)、擴(kuò)展

知識(shí)小結(jié)：1．統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門(mén)與數(shù)據(jù)打交道的學(xué)問(wèn)，應(yīng)用十分廣泛 .本章將要學(xué)習(xí)的是統(tǒng)計(jì)學(xué)的初步知識(shí) .

2．求n個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)的公式① .

3．平均數(shù)的簡(jiǎn)化計(jì)算公式② .這個(gè)公式很重要，要學(xué)會(huì)運(yùn)用 .

方法小結(jié)：通過(guò)本節(jié)課我們學(xué)到了示一組數(shù)據(jù)平均數(shù)的方法 .當(dāng)數(shù)據(jù)比較小時(shí)，可用公式①直接計(jì)算 .當(dāng)數(shù)據(jù)比較大，而且都在某一個(gè)數(shù)左右波動(dòng)時(shí)，可選用公式②進(jìn)行計(jì)算 .

八、布置作業(yè) 

教材P153中1、2、3、4 .

九、板書(shū)設(shè)計(jì) 

教學(xué)設(shè)計(jì)示例2

教學(xué)目標(biāo) 

(一)使學(xué)生了解平均數(shù)的意義，會(huì)計(jì)算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù).了解加權(quán)平均數(shù)的意義，并會(huì)求加權(quán)平均數(shù)；

(二)會(huì)運(yùn)用平均數(shù)的簡(jiǎn)化運(yùn)算方法.

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：會(huì)計(jì)算平均數(shù)及運(yùn)用平均數(shù)的簡(jiǎn)化方法，會(huì)運(yùn)用加權(quán)平均數(shù)公式.

教學(xué)過(guò)程 設(shè)計(jì)

(一)引入新課

在初中一年級(jí)代數(shù)課本P106的“讀一讀”那一節(jié)，講的是求平均數(shù).有這樣一例題：

女子排球隊(duì)共有10名隊(duì)員，身高(單位：米)分別為：

1.73，1.74，1.70，1.76，1.80，1.75，1.77，1.79，1.74，1.72.

求這個(gè)隊(duì)的隊(duì)員平均身高是多少？

解：求這個(gè)平均數(shù)的計(jì)算方法有兩個(gè).

方法1：直接計(jì)算

方法2：簡(jiǎn)化計(jì)算

觀察一下這些數(shù)都在1.75的上、下，這時(shí)，可以這樣考慮：先計(jì)算各數(shù)與1.75的差，也就是先都減去1.75(為了不出現(xiàn)小數(shù)，不妨把單位換成厘米)得到-2厘米，-1厘米，-5厘米，1厘米，5厘米，0厘米，2厘米，4厘米，-1厘米，-3厘米.

計(jì)算這組數(shù)的平均數(shù)，得：

因?yàn)榍懊嬗?jì)算時(shí)，每個(gè)數(shù)都減去了175厘米，所以把這里的得數(shù)0加上175，就得出這個(gè)排球隊(duì)全體隊(duì)員的平均身高是175厘米

在求一組數(shù)的平均數(shù)時(shí)，只要這組數(shù)都接近某一個(gè)數(shù)，就可以采用這種簡(jiǎn)化的計(jì)算方法.

以上例子告訴我們什么是平均數(shù)，怎樣求平均數(shù).如果這組數(shù)存在著大致在某一個(gè)數(shù)的上、下波動(dòng)的情況，可以用簡(jiǎn)便方法計(jì)算.

(二)新課

1.平均數(shù)

在統(tǒng)計(jì)里，平均數(shù)是重要概念之一，它是顯示出一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的特征數(shù)字，也就是說(shuō)這組數(shù)據(jù)都“接近”哪個(gè)數(shù).

上面的公式①，就是我們?cè)谇笈�排�?duì)員身高平均數(shù)的“直接算法”.

當(dāng)一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的各個(gè)數(shù)值較大時(shí)，可將各數(shù)據(jù)同時(shí)減去一個(gè)適當(dāng)

公式②就是我們?cè)谇笈�排�?duì)員身高平均數(shù)的“簡(jiǎn)便方法”

例1 某食品廠為了加強(qiáng)質(zhì)量管理，對(duì)某天生產(chǎn)的罐頭抽查了10個(gè)，樣本凈重如下(單位：克)

342，348，346，340，344，341，343，350，340，342．

求樣本的平均數(shù).

解法2：把已知數(shù)據(jù)都減去342，得0，6，4，－2，2，－1，1，8，－2，0，

例2 從一批貨物中取出20件，稱得它們的重量如下(單位：千克)：

310，308，300，305，302，318，306，314，315，307，

295，307，318，292，302，316，285，327，287，315.

求樣本的平均數(shù)(結(jié)果保留到個(gè)位)

即樣本平均數(shù)為306千克.

解法2：

由于題中數(shù)據(jù)都較大，而且都在常數(shù)300上、下波動(dòng)，把原數(shù)據(jù)都減去300，得：

10，8，0，5，2，18，6，14，15，7，-5，7，18，-8，2，16，-15，27，-13，15.

2.加權(quán)平均數(shù)

設(shè)有甲、乙、丙三種可混合包裝的食品，它們的單價(jià)分別是1.8元，2.5元，3.2元，現(xiàn)取甲種食品50公斤，乙種食品40公斤，丙種食品10公斤，把這三種食品混合后每公斤的單價(jià)是多少？

答：混合后的單價(jià)為2.50元.這個(gè)答案是不對(duì)的，因?yàn)榛旌虾蟮氖蹆r(jià)不僅與每種食品的單價(jià)有關(guān)，而且還與每種食品的重量(公斤數(shù))有關(guān).這些食品混合后的售價(jià)應(yīng)該等于

這種平均數(shù)叫做加權(quán)平均數(shù)．

一般說(shuō)來(lái)，如果在n個(gè)數(shù)中，x1出現(xiàn)f1次，x2出現(xiàn)f2次，……，xk出現(xiàn)fk次(這里f1+f2＋……＋fk＝n)，那么根據(jù)平均數(shù)公式①，這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)可以表示為

計(jì)算加權(quán)平均數(shù)的公式③，與計(jì)算平均數(shù)的公式①，實(shí)際上是一回事.當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，用加權(quán)平均數(shù)公式計(jì)算簡(jiǎn)便些.在公式③中，相同數(shù)據(jù)xi的個(gè)數(shù)fi叫做權(quán).這個(gè)“權(quán)”，含有所占分量輕重的意思.fi越大，表示xi的個(gè)數(shù)越多，于是xi的“權(quán)”就越重．

例3 某班有50名學(xué)生，數(shù)學(xué)期中考試成績(jī)90分的有9人，84分的有12人，73分的有10人，65分的有13人，56分的有2人，45分的有4人，計(jì)算這個(gè)班學(xué)生的數(shù)學(xué)期中考試平均成績(jī)(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后第一位)．

在例1～例3的求平均數(shù)問(wèn)題中可以看到，平均數(shù)能夠反映出數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)．

(三)課堂練習(xí)

若4，x，5的平均數(shù)是7，則3，4，5，x，6五個(gè)數(shù)的平均數(shù)是______.

(四)小結(jié)

1.用樣本平均數(shù)去估計(jì)總體平均數(shù)，這是學(xué)習(xí)平均數(shù)的目的.

2.平均數(shù)計(jì)算公式，平均數(shù)簡(jiǎn)化計(jì)算公式，加權(quán)平均數(shù)計(jì)算公式都很重要，應(yīng)根據(jù)具體情況，恰當(dāng)選取哪個(gè)公式

(五)作業(yè) 

1.數(shù)據(jù)15，23，17，18，22的平均數(shù)是________.

2.5個(gè)數(shù)據(jù)的和為405，其中一個(gè)數(shù)據(jù)為85，那么另4個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是______.

(1)105，103，101，100，114，108，110，106，98，102；(共10個(gè))

(2)4203，4204，4200，4194，4204，4210，4195，4199.(共8個(gè))

4.在一個(gè)班的40名學(xué)生中，14歲的有5人，15歲的有30人，16歲的有4人，17歲的有1人.求這個(gè)班學(xué)生的平均年齡.

5.抽查了一個(gè)商店某月里5天的日營(yíng)業(yè)額，結(jié)果如下(單位：元)：

14845，25306，18954，11672，16330

(1)求樣本平均數(shù)；

(2)根據(jù)樣本平均數(shù)估計(jì)，這個(gè)商店在該月里平均日營(yíng)業(yè)額約是多少？

6.在一段時(shí)間里，一個(gè)學(xué)生記錄了其中8天他每天完成家庭作業(yè) 所需要的時(shí)間，結(jié)果如下(單位：分)：

80，70，90，70，60，50，80，60.

在這段時(shí)間里，該學(xué)生平均每天完成家庭作業(yè) 所需要的時(shí)間約是多少？

作業(yè) 答案與提示：

1.19.

5.(1)樣本平均數(shù)是17421元；

(2)根據(jù)上面計(jì)算結(jié)果，可估計(jì)在該月里平均日營(yíng)業(yè)額約為17421.

根據(jù)樣本平均數(shù),可估計(jì)該學(xué)生平均每天完成家庭作業(yè) 所需時(shí)間約為70分.

課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

1.平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)中的重要概念之一，通過(guò)樣本平均數(shù)來(lái)估計(jì)總體平均數(shù).樣本容量取得越大，則用樣本平均數(shù)估計(jì)的總體平均數(shù)越精確，也就是所表示的總體平均的變化趨勢(shì)越集中于準(zhǔn)確值.作業(yè) 中的第5，6兩題就是為體現(xiàn)這種思想而設(shè)計(jì)的.

2.這一節(jié)課的目標(biāo)是要弄清兩個(gè)概念(平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù))，三個(gè)公式(求平均值公式，求平均值的簡(jiǎn)化公式和求加權(quán)平均數(shù)公式).

教學(xué)設(shè)計(jì)中，先從初中一年級(jí)代數(shù)課本的內(nèi)容引出平均數(shù)概念、計(jì)算公式及簡(jiǎn)化公式.所以很自然地轉(zhuǎn)入新課，在介紹了平均數(shù)概念后，緊接著對(duì)計(jì)算公式作出一般性的證明.

在加權(quán)平均數(shù)一節(jié)，先列舉一個(gè)易犯的錯(cuò)誤，分析其錯(cuò)誤原因，然后推導(dǎo)出公式.

平均數(shù)

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