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數(shù)學(xué)教案-兩圓的公切線

時間:2021-09-29 18:46:56 初中數(shù)學(xué)教案 我要投稿

數(shù)學(xué)教案-兩圓的公切線

第一課時 兩圓的公切線(一)

數(shù)學(xué)教案-兩圓的公切線

教學(xué)目標(biāo) :

(1)理解兩圓相切長等有關(guān)概念,掌握兩圓外公切線長的求法;

(2)培養(yǎng)學(xué)生的歸納、總結(jié)能力;

(3)通過兩圓外公切線長的求法向?qū)W生滲透“轉(zhuǎn)化”思想.

教學(xué)重點:

理解兩圓相切長等有關(guān)概念,兩圓外公切線的求法.

教學(xué)難點 :

兩圓外公切線和兩圓外公切線長學(xué)生理解的不透,容易混淆.

教學(xué)活動設(shè)計

(一)實際問題(引入)

很多機(jī)器上的傳動帶與主動輪、從動輪之間的位置關(guān)系,給我們以一條直線和兩個同時相切的形象.(這里是一種簡單的數(shù)學(xué)建模,了解數(shù)學(xué)產(chǎn)生與實踐)

(二)兩圓的公切線概念

1、概念:

教師引導(dǎo)學(xué)生自學(xué).給出兩圓的外公切線、內(nèi)公切線以及公切線長的定義:

和兩圓都相切的直線,叫做兩圓的公切線.

(1)外公切線:兩個圓在公切線的同旁時,這樣的公切線叫做外公切線.

(2)內(nèi)公切線:兩個圓在公切線的兩旁時,這樣的公切線叫做內(nèi)公切線.

(3)公切線的長:公切線上兩個切點的距離叫做公切線的長.

2、理解概念:

(1)公切線的長與切線的長有何區(qū)別與聯(lián)系?

(2)公切線的長與公切線又有何區(qū)別與聯(lián)系?

(1)公切線的長與切線的長的概念有類似的地方,即都是線段的長.但公切線的長是對兩個圓來說的,且這條線段是以兩切點為端點;切線長是對一個圓來說的,且這條線段的一個端點是切點,另一個端點是圓外一點.

(2)公切線是直線,而公切線的長是兩切點問線段的長,前者不能度量,后者可以度量.

(三)兩圓的位置與公切線條數(shù)的關(guān)系

組織學(xué)生觀察、概念、概括,培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.添寫教材P143練習(xí)第2題表.

(四)應(yīng)用、反思、總結(jié)

例1、已知:⊙O1、⊙O2的半徑分別為2cm和7cm,圓心距O1O2=13cm,AB是⊙O1、⊙O2的外公切線,切點分別是A、B.求:公切線的長AB.

分析:首先想到切線性質(zhì),故連結(jié)O1A、O2B,得直角梯形AO1O2B.一般要把它分解成一個直角三角形和一個矩形,再用其性質(zhì).(組織學(xué)生分析,教師點撥,規(guī)范步驟)

解:連結(jié)O1A、O2B,作O1A⊥AB,O2B⊥AB.

過 O1作O1C⊥O2B,垂足為C,則四邊形O1ABC為矩形,

于是有

O1C⊥C O2,O1C=AB,O1A=CB.

在Rt△O2CO1和.

O1O2=13,O2C=O2B- O1A=5

AB=O1C= (cm).

反思:(1)“轉(zhuǎn)化”思想,構(gòu)造三角形;(2)初步掌握添加輔助線的方法.

 例2*、如圖,已知⊙O1、⊙O2外切于P,直線AB為兩圓的公切線,A、B為切點,若PA=8cm,PB=6cm,求切線AB的長.

 

分析:因為線段AB是△APB的一條邊,在△APB中,已知PA和PB的長,只需先證明△PAB是直角三角形,然后再根據(jù)勾股定理,使問題得解.證△PAB是直角三角形,只需證△APB中有一個角是90°(或證得有兩角的和是90°),這就需要溝通角的關(guān)系,故過P作兩圓的公切線CD如圖,因為AB是兩圓的公切線,所以∠CPB=∠ABP,∠CPA=∠BAP.因為∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°,所以2∠CPA+2∠CPB=180°,所以∠CPA+∠CPB=90°,即∠APB=90°,故△APB是直角三角形,此題得解.

解:過點P作兩圓的公切線CD

∵ AB是⊙O1和⊙O2的切線,A、B為切點

∴∠CPA=∠BAP ∠CPB=∠ABP

又∵∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°

∴ 2∠CPA+2∠CPB=180°

∴∠CPA+∠CPB=90° 即∠APB=90°

在 Rt△APB中,AB2=AP2+BP2

說明:兩圓相切時,常過切點作兩圓的公切線,溝通兩圓中的角的關(guān)系.

(五)鞏固練習(xí)

1、當(dāng)兩圓外離時,外公切線、圓心距、兩半徑之差一定組成( )

(A)直角三角形 (B)等腰三角形 (C)等邊三角形 (D)以上答案都不對.

此題考察外公切線與外公切線長之間的差別,答案(D)

2、外公切線是指

(A)和兩圓都祖切的直線 (B)兩切點間的距離 

(C)兩圓在公切線兩旁時的公切線 (D)兩圓在公切線同旁時的公切線

直接運(yùn)用外公切線的定義判斷.答案:(D)

3、教材P141練習(xí)(略)

(六)小結(jié)(組織學(xué)生進(jìn)行)

知識:兩圓的公切線、外公切線、內(nèi)公切線及公切線的長概念;

能力:歸納、概括能力和求外公切線長的能力;

思想:“轉(zhuǎn)化”思想.

(七)作業(yè) :P151習(xí)題10,11.

第二課時 兩圓的公切線(二)

教學(xué)目標(biāo) :

(1)掌握兩圓內(nèi)公切線長的求法以及公切線與連心線的夾角或公切線的交角;

(2)培養(yǎng)的遷移能力,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的歸納、總結(jié)能力;

(3)通過兩圓內(nèi)公切線長的求法進(jìn)一步向?qū)W生滲透“轉(zhuǎn)化”思想.

教學(xué)重點:

兩圓內(nèi)公切線的長及公切線與連心線的夾角或公切線的交角求法.

教學(xué)難點 :

兩圓內(nèi)公切線和兩圓內(nèi)公切線長學(xué)生理解的不透,容易混淆.

教學(xué)活動設(shè)計

(一)復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識

(1)兩圓的公切線概念:公切線、內(nèi)外公切線、內(nèi)外公切線的長.

(2)兩圓的位置與公切線條數(shù)的關(guān)系.(構(gòu)成數(shù)形對應(yīng),且一一對應(yīng))

(二)應(yīng)用、反思

例1、(教材例2)已知:⊙O1和⊙O2的半徑分別為4厘米和2厘米,圓心距 為10厘米,AB是⊙O1和⊙O2的一條內(nèi)公切線,切點分別是A,B.

求:公切線的長AB。

組織學(xué)生分析,遷移外公切線長的求法,既培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力,同時也培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的遷移能力.

 

解:連結(jié)O1A、O2B,作O1A⊥AB,O2B⊥AB.

過 O1作O1C⊥O2B,交O2B的延長線于C,

則O1C=AB,O1A=BC.

在Rt△O2CO1和.

O1O2=10,O2C=O2B+ O1A=6

∴O1C=(cm).

∴AB=8(cm)

反思:與外離兩圓的內(nèi)公切線有關(guān)的計算問題,常構(gòu)造如此題的直角梯行及直角三角形,在Rt△O2CO1中,含有內(nèi)公切線長、圓心距、兩半徑和重要數(shù)量.注意用解直角三角形的知識和幾何知識綜合去解構(gòu)造后的直角三角形.

例2 (教材例3)要做一個圖那樣的礦型架,將兩個鋼管托起,已知鋼管的外徑分別為200毫米和80毫米,求V形角α的度數(shù).

解:(略)

反思:實際問題經(jīng)過抽象、化簡轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題,應(yīng)用數(shù)學(xué)知識來解決,這是解決實際問題的重要方法.它屬于簡單的數(shù)學(xué)建模.

組織學(xué)生進(jìn)行,教師引導(dǎo).

歸納:(1)用解直角三角形的有關(guān)知識可得:當(dāng)公切線長l、兩圓的兩半徑和R+r、圓心距d、兩圓公切線的夾角α四個量中已知兩個量時,就可以求出其他兩個量.

, ;

(2)上述問題可以通過相似三角形和解三角形的知識解決.

(三)鞏固訓(xùn)練

教材P142練習(xí)第1題,教材P145練習(xí)第1題.

學(xué)生獨立完成,教師巡視,發(fā)現(xiàn)問題及時糾正.

(四)小結(jié)

(1)求兩圓的內(nèi)公切線,“轉(zhuǎn)化”為解直角三角形問題.公切線長、圓心距、兩半徑和三個量中已知任何兩個量,都可以求第三個量;

(2)如果兩圓有兩條外(或內(nèi))公切線,并且它們相交,那么交點一定在兩圓的連心線上;

(3)求兩圓兩外(或內(nèi))公切線的夾角.

(五)作業(yè) 

教材P153中12、13、14.

第三課時 兩圓的公切線(三)

教學(xué)目標(biāo) :

(1)理解兩圓公切線在解決有關(guān)兩圓相切的問題中的作用, 輔助線規(guī)律,并會應(yīng)用;

(2)通過兩圓公切線在證明題中的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生的分析問題和解決問題的能力.

教學(xué)重點:

會在證明兩圓相切問題時,輔助線的引法規(guī)律,并能應(yīng)用于幾何題證明中.

教學(xué)難點 :

綜合知識的靈活應(yīng)用和綜合能力培養(yǎng).

教學(xué)活動設(shè)計

(一)復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識

(1)兩圓的公切線概念.

(2)切線的性質(zhì),弦切角等有關(guān)概念.

(二)公切線在解題中的應(yīng)用

例1、如圖,⊙O1和⊙O2外切于點A,BC是⊙O1和⊙O2的公切線,B,C為切點.若連結(jié)AB、AC會構(gòu)成一個怎樣的三角形呢?

觀察、度量實驗(組織學(xué)生進(jìn)行)

猜想:(學(xué)生猜想)∠BAC=90°

證明:過點A作⊙O1和⊙O2的內(nèi)切線交BC于點O.

∵OA、OB是⊙O1的切線,

∴OA=OB.

同理OA=OC.

∴ OA=OB=OC.

∴∠BAC=90°.

反思:(1)公切線是解決問題的橋梁,綜合應(yīng)用知識是解決問題的關(guān)鍵;(2)作兩圓的公切線是常見的一種作輔助線的方法.

例2、己知:如圖,⊙O1和⊙O2內(nèi)切于P,大圓的弦AB交小圓于C,D.

求證:∠APC=∠BPD.

分析:從條件來想,兩圓內(nèi)切,可能作出的輔助線是作連心線O1O2,或作外公切線.

證明:過P點作兩圓的公切線MN.

∵∠MPC=∠PDC,∠MPN=∠B,

∴∠MPC-∠MPN=∠PDC-∠B,

即∠APC=∠BPD.

反思:(1)作了兩圓公切線MN后,弦切角就把兩個圓中的圓周角聯(lián)系起來了.要重視MN的“橋梁”作用.(2)此例證角相等的方法是利用已知角的關(guān)系計算.

拓展:(組織學(xué)生研究,培養(yǎng)學(xué)生深入研究問題的意識)

己知:如圖,⊙O1和⊙O2內(nèi)切于P,大圓⊙O1的弦AB與小圓⊙O2相切于C點.

是否有:∠APC=∠BPC即PC平分∠APB.

答案:有∠APC=∠BPC即PC平分∠APB.如圖作輔助線,證明方法步驟參看典型例題中例4.

(三)練習(xí)

練習(xí)1、教材145練習(xí)第2題.

練習(xí)2、如圖,已知兩圓內(nèi)切于P,大圓的弦AB切小圓于C,大圓的弦PD過C點.

求證:PA·PB=PD·PC.

證明:過點P作兩圓的公切線EF

∵ AB是小圓的切線,C為切點

∴∠FPC=∠BCP,∠FPB=∠A

又∵∠1=∠BCP-∠A ∠2=∠FPC-∠FPB

∴∠1=∠2 ∵∠A=∠D,∴△PAC∽△PDB

∴PA·PB=PD·PC

說明:此題在例2題的拓展的基礎(chǔ)上解得非常容易.

(三)總結(jié)

學(xué)習(xí)了兩圓的公切線,應(yīng)該掌握以下幾個方面

1、由圓的軸對稱性,兩圓外(或內(nèi))公切線的交點(如果存在)在連心線上.

2、公切線長的計算,都轉(zhuǎn)化為解直角三角形,故解題思路主要是構(gòu)造直角三角形. 

3、常用的輔助線:

(1)兩圓在各種情況下?紤]添連心線;

(2)兩圓外切時,常添內(nèi)公切線;兩圓內(nèi)切時,常添外公切線.

4、自己要有深入研究問題的意識,不斷反思,不斷歸納總結(jié).

(四)作業(yè) 教材P151習(xí)題中15,B組2.

探究活動

問題:如圖1,已知兩圓相交于A、B,直線CD與兩圓分別相交于C、E、F、D.

(1)用量角器量出∠EAF與∠CBD的大小,根據(jù)量得結(jié)果,請你猜想∠EAF與∠CBD的大小之間存在怎樣的關(guān)系,并證明你所得到的結(jié)論.

(2)當(dāng)直線CD的位置如圖2時,上題的結(jié)論是否還能成立?并說明理由.

(3)如果將已知中的“兩圓相交”改為“兩圓外切于點A”,其余條件不變(如圖3),那么第(1)題所得的結(jié)論將變?yōu)槭裁矗坎⒆鞒鲎C明.

提示:(1)(2)(3)都有∠EAF+∠CBD=180°.證明略(如圖作輔助線).

說明:問題從操作測量得到的實驗數(shù)據(jù)入手,進(jìn)行數(shù)據(jù)分析,歸傻貿(mào)霾孿耄???っ韃孿氤閃ⅲ?庖彩?a href=http://www.teachercn.com/Class/034/ target=_blank>數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種方法.第(2)、(3)題是對第(1)題結(jié)論的推廣和特殊化.第(3)題中若CD移動到與兩圓相切于點C、D,那么結(jié)論又將變?yōu)椤螩AD=90°.

數(shù)學(xué)教案-兩圓的公切線