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新課標高中數(shù)學(xué)教案(通用10篇)
作為一位兢兢業(yè)業(yè)的人民教師,通常需要準備好一份教案,教案是教材及大綱與課堂教學(xué)的紐帶和橋梁。來參考自己需要的教案吧!下面是小編為大家收集的新課標高中數(shù)學(xué)教案,歡迎閱讀與收藏。
新課標高中數(shù)學(xué)教案 1
一、教材分析
(一)地位與作用
函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的基本概念之一,函數(shù)的學(xué)習(xí)大致可分為三個階段:第一階段在義務(wù)教育階段,學(xué)習(xí)了函數(shù)的描述性概念,接觸了正比例函數(shù),凡比例函數(shù),一次函數(shù),二次函數(shù)等;本章學(xué)習(xí)的函數(shù)的概念、基本性質(zhì)與后續(xù)將要學(xué)習(xí)的基本初等函數(shù)(i)和(iI)是函數(shù)學(xué)習(xí)的第二階段,是對函數(shù)概念的再認識階段;第三階段在選修系列得導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的學(xué)習(xí),使函數(shù)學(xué)習(xí)的進一步深化和提高。因此函數(shù)及其表述這一節(jié)在高中數(shù)學(xué)中,起著承上啟下的作用,函數(shù)的思想貫穿高中數(shù)學(xué)的始終,學(xué)好這章不僅在知識方面,更重要的是在函數(shù)的思想、方法方面,將會讓學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)、工作和生活中受益無窮。
本小節(jié)介紹了函數(shù)概念,及表示方法。我將本小節(jié)分為兩課時,第一課時完成函數(shù)概念的教學(xué),第二課時完成函數(shù)圖象的教學(xué)。這里我主要談?wù)労瘮?shù)概念的教學(xué)。
函數(shù)的概念部分用三個實際例子設(shè)計數(shù)學(xué)情境,讓學(xué)生探尋變量和變量的對應(yīng)關(guān)系,結(jié)合初中學(xué)習(xí)的函數(shù)理論,在集合論的基礎(chǔ)上,促使學(xué)生建構(gòu)出函數(shù)的概念,體驗結(jié)合舊知識,探索新知識,研究新問題的快樂。
(二)學(xué)情分析
(1)在初中,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過函數(shù)的概念,并且知道函數(shù)是變量之間的相互依賴關(guān)系
(2)學(xué)生思維活潑,積極性高,已初步形成對數(shù)學(xué)問題的合作探究能力。
(3)學(xué)生層次參次不齊,個體差異比較明顯。
二、目標分析
根據(jù)《函數(shù)的概念》在教材內(nèi)容中的地位與作用,結(jié)合學(xué)情分析,本節(jié)課教學(xué)應(yīng)實現(xiàn)如下教學(xué)目標:
(一)教學(xué)目標
(1)知識與技能
1進一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型,○能用集合與對應(yīng)的語言刻畫函數(shù),體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用
2了解構(gòu)成函數(shù)的要素,○理解函數(shù)定義域和值域的概念,并會求一些簡單函數(shù)的定義域。③由實際問題出發(fā),培養(yǎng)學(xué)生探索知識和抽象概括知識等方面的能力。
(2)過程與方法
引導(dǎo)學(xué)生觀察,探尋變量和變量的對應(yīng)關(guān)系,通過歸納、抽象、概括,自主建構(gòu)函數(shù)概念;體驗結(jié)合舊知識探索新知識,研究新問題的快樂
(3)情感態(tài)度與價值觀
通過對函數(shù)概念形成的探究過程培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題,探索問題,不斷超越的創(chuàng)新品質(zhì)
(二)重點難點
重點:體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的.重要數(shù)學(xué)模型,正確理解函數(shù)的概念難點:函數(shù)概念及符號y=f(x)的理解
三、教法、學(xué)法分析
(一)教法
在本課的教學(xué)過程中采用設(shè)問、引導(dǎo)、啟發(fā)、發(fā)現(xiàn)的方法,并靈活應(yīng)用多媒體手段,以學(xué)生為主體,創(chuàng)設(shè)和諧、愉悅互動的環(huán)境,組織學(xué)生自主、合作的探究活動,引導(dǎo)學(xué)生探索新知識。
(二)學(xué)法
首先,學(xué)生通過研究教師在課堂上提供的實例和提出的問題,展開分析和討論,發(fā)表個人的見解,接下來采用學(xué)生評價學(xué)生的方法提煉問題的中心思想。其次,學(xué)生通過對新舊兩種函數(shù)定義的對比,在集合論的觀點下初步建構(gòu)出函數(shù)的概念。最后,學(xué)生在理解函數(shù)概念的基礎(chǔ)上,建構(gòu)出函數(shù)的定義域、值域的概念,并初步掌握它們的求法。
四、教學(xué)過程分析
(一)教學(xué)過程設(shè)計
(1)創(chuàng)設(shè)情境,提出問題。
引入課本的三個具體實例,引發(fā)學(xué)生的探索
對于例1:可以分別讓學(xué)生計算t=1,2,5,10時,炮彈距離地面多高,同時關(guān)注t和h的變化范圍,引導(dǎo)學(xué)生體會有解析式刻畫變量之間的對應(yīng)關(guān)系,啟發(fā)學(xué)生用集合與對應(yīng)的語言描述函數(shù)關(guān)系:
對于例2:可以讓學(xué)生觀察圖像,找出臭氧空洞面積的年份或者臭氧空洞面積大約為20xx萬平方千米所對應(yīng)的年份,引導(dǎo)學(xué)生體會圖像對刻畫變量之間的對應(yīng)關(guān)系,并關(guān)注t和s的范圍。啟發(fā)學(xué)生再次利用集合與對應(yīng)的語言描述函數(shù)關(guān)系:
對于例3:恩格爾系數(shù)與時間之間的關(guān)系是否和前兩個例題的兩個變量之間的關(guān)系相似?如何用集合和對應(yīng)的語言進行描述
(2)引導(dǎo)探究,建構(gòu)概念。
(1)進一步提問:“你覺得這三個問題有沒有共同的特點呢?”由于這個問題比較開放,所以學(xué)生,容易形成數(shù)學(xué)以外的或者不在本課研究范圍的觀點。首先采用小組合作探究的形式獲得共識,并由各小組派代表發(fā)表探究成果,接著再讓其它學(xué)生根據(jù)老師的敘述,評論、提煉出重點。作為教學(xué)的引導(dǎo)者,我需要及時對學(xué)生的解答進行指引。最終得出函數(shù)的概念
(2)教師概括總結(jié)學(xué)生的探究成果,形成函數(shù)概念,并進一步解釋函數(shù)概念
I、函數(shù)的三要素
Ii函數(shù)富豪的內(nèi)涵
為深化學(xué)生對函數(shù)概念的理解,還可以用函數(shù)概念解析已經(jīng)學(xué)過的一次函數(shù),二次函數(shù),婦女比例函數(shù)等,可以設(shè)計如下表格
函數(shù)一次函數(shù)二次函數(shù)反比例函數(shù)
對應(yīng)關(guān)系
定義域
值域
由學(xué)生填寫
(3)自我嘗試,初步應(yīng)用。
例1、判斷下列圖像是否為函數(shù)圖像。考察學(xué)生對函數(shù)定義的理解
例2、采用課本例1,并增加一問若f(x)=-1,求x
目的是引導(dǎo)學(xué)生探究求函數(shù)定義域的基本方法;對于用解析式表示的函數(shù)會用解析式求。
函數(shù)值或有函數(shù)值求子變量的值,進一步體會函數(shù)級號的含義,區(qū)分f(-1),f(a),f(x)
例3、采用課本例2
目的:通過判斷函數(shù)的相等認識到函數(shù)的整體性,并指出在三要素中,由于值域是由定義域和對應(yīng)法則決定的,所以只要兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系相同,兩個函數(shù)就相等;進一步加深函數(shù)概念的理解。
(4)當(dāng)堂訓(xùn)練,鞏固深化。
通過學(xué)生的主體參與,使學(xué)生深切體會到本節(jié)課的主要內(nèi)容和思想方法,從而實現(xiàn)對知識識的再次深化。
采用課后練習(xí)1、2、3
(5)小結(jié)歸納,回顧反思。
小結(jié)歸納不僅是對知識的簡單回顧,還要發(fā)揮學(xué)生的主體地位,從知識、方法、經(jīng)驗等方面進行總結(jié)。我設(shè)計了三個問題:
a通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你學(xué)到了哪些知識?
b通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你的體驗是什么?
c通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你掌握了哪些技能?
(二)作業(yè)設(shè)計
作業(yè)分為必做題和選做題,必做題對本節(jié)課學(xué)生知識水平的反饋,選做題是對本節(jié)課內(nèi)容的延伸與,注重知識的延伸與連貫,強調(diào)學(xué)以致用。通過作業(yè)設(shè)置,使不同層次的學(xué)生都可以獲得成功的喜悅,看到自己的潛能,從而激發(fā)學(xué)生飽滿的學(xué)習(xí)興趣,促進學(xué)生自主發(fā)展、合作探究的學(xué)習(xí)氛圍的形成
我設(shè)計了以下作業(yè):
(1)必做題:課后習(xí)題A1(2,3),2、5、6
(2)選做題:課后習(xí)題B1、2
(三)板書設(shè)計
板書要基本體現(xiàn)整堂課的內(nèi)容與方法,體現(xiàn)課堂進程,能簡明扼要反映知識結(jié)構(gòu)及其相互聯(lián)系;能指導(dǎo)教師的教學(xué)進程、引導(dǎo)學(xué)生探索知識;通過使用幻燈片輔助板書,節(jié)省課堂時間,使課堂進程更加連貫。
五、評價分析
學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果評價當(dāng)然重要,但是更重要的是學(xué)生學(xué)習(xí)的過程評價。我采用及時點評、延時點評與學(xué)生互評相結(jié)合,全面考查學(xué)生在知識、思想、能力等方面的發(fā)展情況,在質(zhì)疑探究的過程中,評價學(xué)生是否有積極的情感態(tài)度和頑強的理性精神,在概念反思過程中評價學(xué)生的歸納猜想能力是否得到發(fā)展,通過鞏固練習(xí)考查學(xué)生對本節(jié)是否有一個完整的集訓(xùn),并進行及時的調(diào)整和補充。
以上就是我對本節(jié)課的理解和設(shè)計,敬請各位專家、評委批評指正。
謝謝!
新課標高中數(shù)學(xué)教案 2
教學(xué)目標
(1)了解算法的含義,體會算法思想。
(2)會用自然語言和數(shù)學(xué)語言描述簡單具體問題的算法;
(3)學(xué)習(xí)有條理地、清晰地表達解決問題的步驟,培養(yǎng)邏輯思維能力與表達能力。
教學(xué)重難點
重點:算法的含義、解二元一次方程組的算法設(shè)計。
難點:把自然語言轉(zhuǎn)化為算法語言。
情境導(dǎo)入
電影《神槍手》中描述的凌靖是一個天生的狙擊手,他百發(fā)百中,最難打的位置對他來說也是輕而易舉,是香港警察狙擊手隊伍的第一神槍手、作為一名狙擊手,要想成功地完成一次狙擊任務(wù),一般要按步驟完成以下幾步:
第一步:觀察、等待目標出現(xiàn)(用望遠鏡或瞄準鏡);
第二步:瞄準目標;
第三步:計算(或估測)風(fēng)速、距離、空氣濕度、空氣密度;
第四步:根據(jù)第三步的結(jié)果修正彈著點;
第五步:開槍;
第六步:迅速轉(zhuǎn)移(或隱蔽)
以上這種完成狙擊任務(wù)的方法、步驟在數(shù)學(xué)上我們叫算法。
課堂探究
預(yù)習(xí)提升
1、定義:算法可以理解為由基本運算及規(guī)定的運算順序所構(gòu)成的完整的解題步驟,或者看成按照要求設(shè)計好的有限的確切的計算序列,并且這樣的步驟或序列能夠解決一類問題。
2、描述方式
自然語言、數(shù)學(xué)語言、形式語言(算法語言)、框圖。
3、算法的要求
(1)寫出的算法,必須能解決一類問題,且能重復(fù)使用;
(2)算法過程要能一步一步執(zhí)行,每一步執(zhí)行的操作,必須確切,不能含混不清,而且經(jīng)過有限步后能得出結(jié)果。
4、算法的特征
(1)有限性:一個算法應(yīng)包括有限的操作步驟,能在執(zhí)行有窮的操作步驟之后結(jié)束。
(2)確定性:算法的計算規(guī)則及相應(yīng)的計算步驟必須是唯一確定的。
(3)可行性:算法中的每一個步驟都是可以在有限的時間內(nèi)完成的基本操作,并能得到確定的結(jié)果。
(4)順序性:算法從初始步驟開始,分為若干個明確的步驟,前一步是后一步的前提,后一步是前一步的后續(xù),且除了最后一步外,每一個步驟只有一個確定的后續(xù)。
(5)不唯一性:解決同一問題的算法可以是不唯一的
課堂典例講練
命題方向1對算法意義的理解
例1、下列敘述中,
、僦矘湫枰\苗、挖坑、栽苗、澆水這些步驟;
、诎错樞蜻M行下列運算:1+1=2,2+1=3,3+1=4,…99+1=100;
③從青島乘動車到濟南,再從濟南乘飛機到倫敦觀看奧運會開幕式;
④3x>x+1;
、萸笏心鼙3整除的正數(shù),即3,6,9,12。
能稱為算法的個數(shù)為( )
A、2
B、3
C、4
D、5
【解析】根據(jù)算法的含義和特征:①②③都是算法;④⑤不是算法、其中④,3x>x+1不是一個明確的步驟,不符合明確性;⑤的步驟是無窮的,與算法的有限性矛盾。
【答案】B
[規(guī)律總結(jié)]
1、正確理解算法的概念及其特點是解決問題的.關(guān)鍵、
2、針對判斷語句是否是算法的問題,要看它的步驟是否是明確的和有效的,而且能在有限步驟之內(nèi)解決這一問題、
【變式訓(xùn)練】下列對算法的理解不正確的是________
①一個算法應(yīng)包含有限的步驟,而不能是無限的
、谒惴ǹ梢岳斫鉃橛苫具\算及規(guī)定的運算順序構(gòu)成的完整的解題步驟
、鬯惴ㄖ械拿恳徊蕉紤(yīng)當(dāng)有效地執(zhí)行,并得到確定的結(jié)果
④一個問題只能設(shè)計出一個算法
【解析】由算法的有限性指包含的步驟是有限的故①正確;
由算法的明確性是指每一步都是確定的故②正確;
由算法的每一步都是確定的,且每一步都應(yīng)有確定的結(jié)果故③正確;
由對于同一個問題可以有不同的算法故④不正確。
【答案】④
命題方向2解方程(組)的算法
例2、給出求解方程組的一個算法。
[思路分析]解線性方程組的常用方法是加減消元法和代入消元法,這兩種方法沒有本質(zhì)的差別,為了適用于解一般的線性方程組,以便于在計算機上實現(xiàn),我們用高斯消元法(即先將方程組化為一個三角形方程組,再通過回代方程求出方程組的解)解線性方程組、
[規(guī)范解答]方法一:算法如下:
第一步,①×(-2)+②,得(-2+5)y=-14+11
即方程組可化為
第二步,解方程③,可得y=-1,④
第三步,將④代入①,可得2x-1=7,x=4
第四步,輸出4,-1
方法二:算法如下:
第一步,由①式可以得到y(tǒng)=7-2x,⑤
第二步,把y=7-2x代入②,得x=4
第三步,把x=4代入⑤,得y=-1
第四步,輸出4,-1
[規(guī)律總結(jié)]1、本題用了2種方法求解,對于問題的求解過程,我們既要強調(diào)對“通法、通解”的理解,又要強調(diào)對所學(xué)知識的靈活運用。
2、設(shè)計算法時,經(jīng)常遇到解方程(組)的問題,一般是按照數(shù)學(xué)上解方程(組)的方法進行設(shè)計,但應(yīng)注意全面考慮方程解的情況,即先確定方程(組)是否有解,有解時有幾個解,然后根據(jù)求解步驟設(shè)計算法步驟。
【變式訓(xùn)練】
【解】算法如下:S1,①+2×②得5x=1;③
S2,解③得x=;
S3,②-①×2得5y=3;④
S4,解④得y=;
命題方向3篩選問題的算法設(shè)計
例3、設(shè)計一個算法,對任意3個整數(shù)a、b、c,求出其中的最小值、
[思路分析]比較a,b比較m與c―→最小數(shù)
[規(guī)范解答]算法步驟如下:
1、比較a與b的大小,若a
2、比較m與c的大小,若m
[規(guī)律總結(jié)]求最小(大)數(shù)就是從中篩選出最小(大)的一個,篩選過程中的每一步都是比較兩個數(shù)的大小,保證了篩選的可行性,這種方法可以推廣到從多個不同數(shù)中篩選出滿足要求的一個。
【變式訓(xùn)練】在下列數(shù)字序列中,寫出搜索89的算法:
21,3,0,9,15,72,89,91,93
[解析]1、先找到序列中的第一個數(shù)m,m=21;
2、將m與89比較,是否相等,如果相等,則搜索到89;
3、如果m與89不相等,則往下執(zhí)行;
4、繼續(xù)將序列中的其他數(shù)賦給m,重復(fù)第2步,直到搜索到89。
命題方向4非數(shù)值性問題的算法
例4、一個人帶三只狼和三只羚羊過河,只有一條船,同船可以容一個人和兩只動物,沒有人在的時候,如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量,狼就會吃掉羚羊。
(1)設(shè)計安全渡河的算法;
(2)思考每一步算法所遵循的共同原則是什么?
新課標高中數(shù)學(xué)教案 3
教學(xué)目的:
掌握圓的標準方程,并能解決與之有關(guān)的問題
教學(xué)重點:
圓的標準方程及有關(guān)運用
教學(xué)難點:
標準方程的靈活運用
教學(xué)過程:
一、導(dǎo)入新課,探究標準方程
二、掌握知識,鞏固練習(xí)
練習(xí):
1、說出下列圓的方程
、艌A心(3,-2)半徑為5⑵圓心(0,3)半徑為3
2、指出下列圓的圓心和半徑
、牛▁-2)2+(y+3)2=3
、苮2+y2=2
⑶x2+y2-6x+4y+12=0
3、判斷3x-4y-10=0和x2+y2=4的位置關(guān)系
4、圓心為(1,3),并與3x-4y-7=0相切,求這個圓的方程
三、引伸提高,講解例題
例1、圓心在y=-2x上,過p(2,-1)且與x-y=1相切求圓的方程(突出待定系數(shù)的數(shù)學(xué)方法)
練習(xí):
1、某圓過(-2,1)、(2,3),圓心在x軸上,求其方程。
2、某圓過A(-10,0)、B(10,0)、C(0,4),求圓的方程。
例2:某圓拱橋的.跨度為20米,拱高為4米,在建造時每隔4米加一個支柱支撐,求A2P2的長度。
例3、點M(x0,y0)在x2+y2=r2上,求過M的圓的切線方程(一題多解,訓(xùn)練思維)
四、小結(jié)練習(xí)P771,2,3,4
五、作業(yè)P811,2,3,4
新課標高中數(shù)學(xué)教案 4
[學(xué)習(xí)目標]
。1)會用坐標法及距離公式證明Cα+β;
。2)會用替代法、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式,由Cα+β推導(dǎo)Cα—β、Sα±β、Tα±β,切實理解上述公式間的關(guān)系與相互轉(zhuǎn)化;
。3)掌握公式Cα±β、Sα±β、Tα±β,并利用簡單的三角變換,解決求值、化簡三角式、證明三角恒等式等問題。
[學(xué)習(xí)重點]
兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
[學(xué)習(xí)難點]
余弦和角公式的推導(dǎo)
[知識結(jié)構(gòu)]
1、兩角和的余弦公式是三角函數(shù)一章和、差、倍公式系列的基礎(chǔ)。其公式的證明是用坐標法,利用三角函數(shù)定義及平面內(nèi)兩點間的距離公式,把兩角和α+β的余弦,化為單角α、β的三角函數(shù)(證明過程見課本)
2、通過下面各組數(shù)的'值的比較:①cos(30°—90°)與cos30°—cos90°②sin(30°+60°)和sin30°+sin60°。我們應(yīng)該得出如下結(jié)論:一般情況下,cos(α±β)≠cosα±cosβ,sin(α±β)≠sinα±sinβ。但不排除一些特例,如sin(0+α)=sin0+sinα=sinα。
3、當(dāng)α、β中有一個是的整數(shù)倍時,應(yīng)首選誘導(dǎo)公式進行變形。注意兩角和與差的三角函數(shù)是誘導(dǎo)公式等的基礎(chǔ),而誘導(dǎo)公式是兩角和與差的三角函數(shù)的特例。
4、關(guān)于公式的正用、逆用及變用
新課標高中數(shù)學(xué)教案 5
1.教學(xué)目標
(1)知識目標: 1.在平面直角坐標系中,探索并掌握圓的標準方程;
2.會由圓的方程寫出圓的半徑和圓心,能根據(jù)條件寫出圓的方程
(2)能力目標: 1.進一步培養(yǎng)學(xué)生用解析法研究幾何問題的能力;
2.使學(xué)生加深對數(shù)形結(jié)合思想和待定系數(shù)法的理解;
3.增強學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識
(3)情感目標:培養(yǎng)學(xué)生主動探究知識、合作交流的意識,在體驗數(shù)學(xué)美的過程中激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣
2.教學(xué)重點.難點
(1)教學(xué)重點:圓的標準方程的求法及其應(yīng)用
(2)教學(xué)難點:會根據(jù)不同的已知條件,利用待定系數(shù)法求圓的標準方程以及選擇恰
當(dāng)?shù)淖鴺讼到鉀Q與圓有關(guān)的實際問題
3.教學(xué)過程
(一)創(chuàng)設(shè)情境(啟迪思維)
問題一:已知隧道的截面是半徑為4m的半圓,車輛只能在道路中心線一側(cè)行駛,一輛寬為2.7m,高為3m的貨車能不能駛?cè)脒@個隧道?
[引導(dǎo)] 畫圖建系
[學(xué)生活動]:嘗試寫出曲線的方程(對求曲線的方程的步驟及圓的定義進行提示性復(fù)習(xí))
解:以某一截面半圓的圓心為坐標原點,半圓的直徑ab所在直線為x軸,建立直角坐標系,則半圓的方程為x2 y2=16(y≥0)
將x=2.7代入,得
即在離隧道中心線2.7m處,隧道的高度低于貨車的高度,因此貨車不能駛?cè)脒@個隧道。
(二)深入探究(獲得新知)
問題二:1.根據(jù)問題一的探究能不能得到圓心在原點,半徑為 的圓的方程?
答:x2 y2=r2
2.如果圓心在 ,半徑為 時又如何呢?
[學(xué)生活動] 探究圓的方程。
[教師預(yù)設(shè)] 方法一:坐標法
如圖,設(shè)m(x,y)是圓上任意一點,根據(jù)定義點m到圓心c的距離等于r,所以圓c就是集合p={m||mc|=r}
由兩點間的距離公式,點m適合的條件可表示為 ①
把①式兩邊平方,得(x―a)2 (y―b)2=r2
方法二:圖形變換法
方法三:向量平移法
(三)應(yīng)用舉例(鞏固提高)
i.直接應(yīng)用(內(nèi)化新知)
問題三:1.寫出下列各圓的方程(課本p77練習(xí)1)
(1)圓心在原點,半徑為3;
(2)圓心在 ,半徑為 ;
(3)經(jīng)過點 ,圓心在點
2.根據(jù)圓的方程寫出圓心和半徑
(1) ; (2) .
ii.靈活應(yīng)用(提升能力)
問題四:1.求以 為圓心,并且和直線 相切的圓的方程
[教師引導(dǎo)]由問題三知:圓心與半徑可以確定圓
2.已知圓的方程為 ,求過圓上一點 的切線方程
[學(xué)生活動]探究方法
[教師預(yù)設(shè)]
方法一:待定系數(shù)法(利用幾何關(guān)系求斜率-垂直)
方法二:待定系數(shù)法(利用代數(shù)關(guān)系求斜率-聯(lián)立方程)
方法三:軌跡法(利用勾股定理列關(guān)系式) [多媒體課件演示]
方法四:軌跡法(利用向量垂直列關(guān)系式)
3.你能歸納出具有一般性的結(jié)論嗎?
已知圓的`方程是 ,經(jīng)過圓上一點 的切線的方程是:
iii.實際應(yīng)用(回歸自然)
問題五:如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖,該圓拱跨度ab=20m,拱高op=4m,在建造時每隔4m需用一個支柱支撐,求支柱 的長度(精確到0.01m).
[多媒體課件演示創(chuàng)設(shè)實際問題情境]
(四)反饋訓(xùn)練(形成方法)
問題六:1.求以c(-1,-5)為圓心,并且和y軸相切的圓的方程
2.已知點a(-4,-5),b(6,-1),求以ab為直徑的圓的方程
3.求圓x2 y2=13過點(-2,3)的切線方程
4.已知圓的方程為 ,求過點 的切線方程
新課標高中數(shù)學(xué)教案 6
教學(xué)目標:
1、理解并掌握曲線在某一點處的切線的概念;
2、理解并掌握曲線在一點處的切線的斜率的定義以及切線方程的求法;
3、理解切線概念實際背景,培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力和培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化問題的能力及數(shù)形結(jié)合思想。
教學(xué)重點:
理解并掌握曲線在一點處的切線的斜率的定義以及切線方程的求法。
教學(xué)難點:
用“無限逼近”、“局部以直代曲”的思想理解某一點處切線的斜率。
教學(xué)過程:
一、問題情境
1、問題情境。
如何精確地刻畫曲線上某一點處的變化趨勢呢?
如果將點P附近的曲線放大,那么就會發(fā)現(xiàn),曲線在點P附近看上去有點像是直線。
如果將點P附近的曲線再放大,那么就會發(fā)現(xiàn),曲線在點P附近看上去幾乎成了直線。事實上,如果繼續(xù)放大,那么曲線在點P附近將逼近一條確定的直線,該直線是經(jīng)過點P的所有直線中最逼近曲線的一條直線。
因此,在點P附近我們可以用這條直線來代替曲線,也就是說,點P附近,曲線可以看出直線(即在很小的范圍內(nèi)以直代曲)。
2、探究活動。
如圖所示,直線l1,l2為經(jīng)過曲線上一點P的兩條直線,
。1)試判斷哪一條直線在點P附近更加逼近曲線;
。2)在點P附近能作出一條比l1,l2更加逼近曲線的直線l3嗎?
。3)在點P附近能作出一條比l1,l2,l3更加逼近曲線的直線嗎?
二、建構(gòu)數(shù)學(xué)
切線定義: 如圖,設(shè)Q為曲線C上不同于P的一點,直線PQ稱為曲線的割線。 隨著點Q沿曲線C向點P運動,割線PQ在點P附近逼近曲線C,當(dāng)點Q無限逼近點P時,直線PQ最終就成為經(jīng)過點P處最逼近曲線的直線l,這條直線l也稱為曲線在點P處的切線。這種方法叫割線逼近切線。
思考:如上圖,P為已知曲線C上的一點,如何求出點P處的切線方程?
三、數(shù)學(xué)運用
例1 試求在點(2,4)處的切線斜率。
解法一 分析:設(shè)P(2,4),Q(xQ,f(xQ)),
則割線PQ的斜率為:
當(dāng)Q沿曲線逼近點P時,割線PQ逼近點P處的切線,從而割線斜率逼近切線斜率;
當(dāng)Q點橫坐標無限趨近于P點橫坐標時,即xQ無限趨近于2時,kPQ無限趨近于常數(shù)4。
從而曲線f(x)=x2在點(2,4)處的切線斜率為4。
解法二 設(shè)P(2,4),Q(xQ,xQ2),則割線PQ的斜率為:
當(dāng)?x無限趨近于0時,kPQ無限趨近于常數(shù)4,從而曲線f(x)=x2,在點(2,4)處的切線斜率為4。
練習(xí) 試求在x=1處的切線斜率。
解:設(shè)P(1,2),Q(1+Δx,(1+Δx)2+1),則割線PQ的斜率為:
當(dāng)?x無限趨近于0時,kPQ無限趨近于常數(shù)2,從而曲線f(x)=x2+1在x=1處的切線斜率為2。
小結(jié) 求曲線上一點處的切線斜率的'一般步驟:
。1)找到定點P的坐標,設(shè)出動點Q的坐標;
(2)求出割線PQ的斜率;
。3)當(dāng)時,割線逼近切線,那么割線斜率逼近切線斜率。
思考 如上圖,P為已知曲線C上的一點,如何求出點P處的切線方程?
解 設(shè)
所以,當(dāng)無限趨近于0時,無限趨近于點處的切線的斜率。
變式訓(xùn)練
1、已知,求曲線在處的切線斜率和切線方程;
2、已知,求曲線在處的切線斜率和切線方程;
3、已知,求曲線在處的切線斜率和切線方程。
課堂練習(xí)
已知,求曲線在處的切線斜率和切線方程。
四、回顧小結(jié)
1、曲線上一點P處的切線是過點P的所有直線中最接近P點附近曲線的直線,則P點處的變化趨勢可以由該點處的切線反映(局部以直代曲)。
2、根據(jù)定義,利用割線逼近切線的方法, 可以求出曲線在一點處的切線斜率和方程。
五、課外作業(yè)
新課標高中數(shù)學(xué)教案 7
教學(xué)目標:
1、使學(xué)生了解角的形成,理解角的概念掌握角的各種表示法;
2、通過觀察、操作培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和動手操作能力。
3、使學(xué)生掌握度、分、秒的進位制,會作度、分、秒間的單位互化
4、采用自學(xué)與小組合作學(xué)習(xí)相結(jié)合的方法,培養(yǎng)學(xué)生主動參與、勇于探究的精神。
教學(xué)重點:
理解角的概念,掌握角的三種表示方法
教學(xué)難點:
掌握度、分、秒的進位制, ,會作度、分、秒間的單位互化
教學(xué)手段:
教具:電腦課件、實物投影、量角器
學(xué)具:量角器需測量的角
教學(xué)過程:
一、建立角的概念
。ㄒ唬┮虢牵ɡ谜n件演示)
1、從生活中引入
提問:
A、以前我們曾經(jīng)認識過角,那你們能從這兩個圖形中指出哪些地方是角嗎?
B、在我們的生活當(dāng)中存在著許許多多的角。一起看一看。誰能從這些常用的物品中找出角?
2、從射線引入
提問:
A、昨天我們認識了射線,想從一點可以引出多少條射線?
B、如果從一點出發(fā)任意取兩條射線,那出現(xiàn)的是什么圖形?
C、哪兩條射線可以組成一個角?誰來指一指。
。ǘ┱J識角,總結(jié)角的定義
3、 過渡:角是怎么形成的呢?一起看
。1)、演示:老師在這畫上一個點,現(xiàn)在從這點出發(fā)引出一條射線,再從這點出發(fā)引出第二條射線。
提問:觀察從這點引出了幾條射線?此時所組成的圖形是什么圖形?
。2)、判斷下列哪些圖形是角。
。ā蹋 (×) (√) (×) (√)
為何第二幅和第四幅圖形不是角?(學(xué)生回答)
誰能用自己的話來概括一下怎樣組成的圖形叫做角?
總結(jié):有公共端點的兩條射線所組成的圖形叫做角(angle)
角的第二定義:角也可以看做由一條射線繞端點旋轉(zhuǎn)所形成的圖形。如下圖中的角,可以看做射線OA繞端點0按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到OB所形成的我們把OA叫做角的始邊,OB叫做角的終邊
B
0 A
4、認識角的各部分名稱,明確頂點、邊的作用
。1)觀看角的圖形提問:這個點叫什么?這兩條射線叫什么?(學(xué)生邊說師邊標名稱)
。2)角可以畫在本上、黑板上,那角的位置是由誰決定的?
。3)頂點可以確定角的位置,從頂點引出的.兩條邊可以組成一個角。
5、學(xué)會用符號表示角
提問:那么,角的符號是什么?該怎么寫,怎么讀的呢?(電腦顯示)
。1)可以標上三個大寫字母,寫作:∠ABC或∠CBA,讀作:角ABC或角CBA
。2)觀察這兩種方法,有什么特點?(字母B都在中間)
(3)所以,在只有一個角的時候,我們還可以寫作: ∠B,讀作:角B
。4)為了方便,有時我們還可以標上數(shù)字,寫作∠1,讀作:角1
。5)注:區(qū)別 “∠”和“<”的不同。請同學(xué)們指著用學(xué)具折出的一個角,訓(xùn)練一下這三種讀法。
6、強調(diào)角的大小與兩邊張開的程度有關(guān),與兩條邊的長短無關(guān)。
二、 角的度量
1、學(xué)習(xí)角的度量
(1)教學(xué)生認識量角器
(2) 認識了量角器,那怎樣使用它去測量角的度數(shù)呢?這部分知識請同學(xué)們合作學(xué)習(xí)。
提出要求:小組合作邊學(xué)習(xí)測量方法邊嘗試測量
第一個角,想想有幾種方法?
1、要求合作學(xué)習(xí)探究、測量。
2、反饋匯報:學(xué)生邊演示邊復(fù)述過程
3、教師利用課件演示正確的操作過程,糾正學(xué)生中存在的問題。
4、歸納概括測量方法(兩重合一對)
(1)用量角器的中心點與角的頂點重合
。2)零刻度線與角的一邊重合(可與內(nèi)零度刻度線重合;也可與外零度刻度線重合)
。3)另一條邊所對的角的度數(shù),就是這個角的度數(shù)。
5、小結(jié):同一個角無論是用內(nèi)刻度量角,還是用外刻度量角,結(jié)果都一樣。
6、獨立練習(xí)測量角的度數(shù)(書做一做中第一題1,3與第二題)
。1) 獨立測量,師注意查看學(xué)生中存在的問題。
(2) 課件演示糾正問題
三、度、分、秒的進位制及這些單位間的互化
為了更精細地度量角,我們引入更小的角度單位:分、秒,把1°的角等分成60份,每份叫做1分記作1′;把1′的角再等分成60份,每份叫做1秒的角,1秒記作1″.
1°=60′,1′=60″;
1′=( )°,1″=( )′.
例1 將57.32°用度、分、秒表示.
解:先把0.32°化為分,
0.32°=60′×0.32=19.2′.
再把0.2′化為秒,
0.2′=60″×0.2=12″.
所以 57.32″=57°19′12″.
例2 把10°6′36″用度表示.
解:先把36″化為分,
36″=( )′×36=0.6′
6′+0.6′=6.6′.
再把6.6′化為度,
6.6′=( )°×6.6=0.11°.
所以 10°6′36″=10.11°.
四、鞏固練習(xí)
課本P122練習(xí)
五、總結(jié):請大家回憶一下,今天都學(xué)了那些知識,通過學(xué)習(xí)你想說些什么?
六、作業(yè):課本P123 3、4.(1)(3)、5.(2)(4)
新課標高中數(shù)學(xué)教案 8
一、預(yù)習(xí)目標
預(yù)習(xí)《平面向量應(yīng)用舉例》,體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具,建立實際問題與向量的聯(lián)系。
二、預(yù)習(xí)內(nèi)容
閱讀課本內(nèi)容,整理例題,結(jié)合向量的運算,解決實際的幾何問題、物理問題。另外,在思考一下幾個問題:
1、例1如果不用向量的方法,還有其他證明方法嗎?
2、利用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”是什么?
3、例3中,
、艦楹沃禃r,|F1|最小,最小值是多少?
、苵F1|能等于|G|嗎?為什么?
三、提出疑惑
同學(xué)們,通過你的自主學(xué)習(xí),你還有哪些疑惑,請把它填在下面的表格中疑惑點疑惑內(nèi)容。
課內(nèi)探究學(xué)案
一、學(xué)習(xí)內(nèi)容
1、運用向量的有關(guān)知識(向量加減法與向量數(shù)量積的運算法則等)解決平面幾何和解析幾何中直線或線段的平行、垂直、相等、夾角和距離等問題。
2、運用向量的有關(guān)知識解決簡單的物理問題。
二、學(xué)習(xí)過程
探究一:
。1)向量運算與幾何中的結(jié)論"若,則,且所在直線平行或重合"相類比,你有什么體會?
。2)舉出幾個具有線性運算的幾何實例。
例1、證明:平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和。
已知:平行四邊形ABCD。
求證:
試用幾何方法解決這個問題,利用向量的方法解決平面幾何問題的“三步曲”?
。1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系,
。2)通過向量運算,研究幾何元素之間的關(guān)系,
。3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。
例2,如圖,平行四邊形ABCD中,點E、F分別是AD、DC邊的中點,BE、BF分別與AC交于R、T兩點,你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎?
探究二:兩個人提一個旅行包,夾角越大越費力。在單杠上做引體向上運動,兩臂夾角越小越省力。這些力的問題是怎么回事?
例3,在日常生活中,你是否有這樣的經(jīng)驗:兩個人共提一個旅行包,夾角越大越費力;在單杠上作引體向上運動,兩臂的夾角越小越省力。你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎?
請同學(xué)們結(jié)合剛才這個問題,思考下面的問題:
⑴為何值時,|F1|最小,最小值是多少?
⑵|F1|能等于|G|嗎?為什么?
例4如圖,一條河的兩岸平行,河的.寬度m,一艘船從A處出發(fā)到河對岸。已知船的速度|v1|=10km/h,水流的速度|v2|=2km/h,問行駛航程最短時,所用的時間是多少(精確到0.1min)?
變式訓(xùn)練:兩個粒子A、B從同一源發(fā)射出來,在某一時刻,它們的位移分別為,(1)寫出此時粒子B相對粒子A的位移s;(2)計算s在方向上的投影。
三、反思總結(jié)
結(jié)合圖形特點,選定正交基底,用坐標表示向量進行運算解決幾何問題,體現(xiàn)幾何問題。
代數(shù)化的特點,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)的淋漓盡致。向量作為橋梁工具使得運算簡練標致,又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美。有關(guān)長方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等問題常用此法。
本節(jié)主要研究了用向量知識解決平面幾何問題和物理問題;掌握向量法和坐標法,以及用向量解決實際問題的步驟。
新課標高中數(shù)學(xué)教案 9
一、教學(xué)內(nèi)容分析
圓錐曲線的定義反映了圓錐曲線的本質(zhì)屬性,它是無數(shù)次實踐后的高度抽象,恰當(dāng)?shù)乩枚x解題,許多時候能以簡馭繁。因此,在學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線、拋物線的定義及標準方程、幾何性質(zhì)后,再一次強調(diào)定義,學(xué)會利用圓錐曲線定義來熟練的解題”。
二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析
我所任教班級的學(xué)生參與課堂教學(xué)活動的積極性強,思維活躍,但計算能力較差,推理能力較弱,使用數(shù)學(xué)語言的表達能力也略顯不足。
三、設(shè)計思想
由于這部分知識較為抽象,如果離開感性認識,容易使學(xué)生陷入困境,降低學(xué)習(xí)熱情。在教學(xué)時,借助多媒體動畫,引導(dǎo)學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)問題、解決問題,主動參與教學(xué),在輕松愉快的環(huán)境中發(fā)現(xiàn)、獲取新知,提高教學(xué)效率。
四、教學(xué)目標
1、深刻理解并熟練掌握圓錐曲線的定義,能靈活應(yīng)用定義解決問題;熟練掌握焦點坐標、頂點坐標、焦距、離心率、準線方程、漸近線、焦半徑等概念和求法;能結(jié)合平面幾何的基本知識求解圓錐曲線的方程。
2、通過對練習(xí),強化對圓錐曲線定義的理解,提高分析、解決問題的能力;通過對問題的不斷引申,精心設(shè)問,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)解題的一般方法。
3、借助多媒體輔助教學(xué),激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
五、教學(xué)重點與難點:
教學(xué)重點
1、對圓錐曲線定義的理解
2、利用圓錐曲線的定義求“最值”
3、“定義法”求軌跡方程
教學(xué)難點:
巧用圓錐曲線定義解題
六、教學(xué)過程設(shè)計
【設(shè)計思路】
(一)開門見山,提出問題
一上課,我就直截了當(dāng)?shù)亟o出例題1:
(1)已知A(-2,0),B(2,0)動點M滿足|MA|+|MB|=2,則點M的軌跡是()。
(A)橢圓(B)雙曲線(C)線段(D)不存在
(2)已知動點M(x,y)滿足(x1)2(y2)2|3x4y|,則點M的軌跡是()。
(A)橢圓(B)雙曲線(C)拋物線(D)兩條相交直線
【設(shè)計意圖】
定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法,熟悉不同概念的不同定義方式,是學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的一個必備條件,而通過一個階段的學(xué)習(xí)之后,學(xué)生們對圓錐曲線的定義已有了一定的認識,他們是否能真正掌握它們的本質(zhì),是我本節(jié)課首先要弄清楚的問題。
為了加深學(xué)生對圓錐曲線定義理解,我以圓錐曲線的定義的運用為主線,精心準備了兩道練習(xí)題。
【學(xué)情預(yù)設(shè)】
估計多數(shù)學(xué)生能夠很快回答出正確答案,但是部分學(xué)生對于圓錐曲線的定義可能并未真正理解,因此,在學(xué)生們回答后,我將要求學(xué)生接著說出:若想答案是其他選項的話,條件要怎么改?這對于已學(xué)完圓錐曲線這部分知識的'學(xué)生來說,并不是什么難事。但問題(2)就可能讓學(xué)生們費一番周折——如果有學(xué)生提出:可以利用變形來解決問題,那么我就可以循著他的思路,先對原等式做變形:(x1)2(y2)25
這樣,很快就能得出正確結(jié)果。如若不然,我將啟發(fā)他們從等式兩端的式子|3x4y|5入手,考慮通過適當(dāng)?shù)淖冃,轉(zhuǎn)化為學(xué)生們熟知的兩個距離公式。
在對學(xué)生們的解答做出判斷后,我將把問題引申為:該雙曲線的中心坐標是,實軸長為,焦距為。以深化對概念的理解。
(二)理解定義、解決問題
例2:
(1)已知動圓A過定圓B:x2y26x70的圓心,且與定圓C:xy6x910相內(nèi)切,求△ABC面積的最大值。
(2)在(1)的條件下,給定點P(-2,2),求|PA|
【設(shè)計意圖】
運用圓錐曲線定義中的數(shù)量關(guān)系進行轉(zhuǎn)化,使問題化歸為幾何中求最大(小)值的模式,是解析幾何問題中的一種常見題型,也是學(xué)生們比較容易混淆的一類問題。例2的設(shè)置就是為了方便學(xué)生的辨析。
【學(xué)情預(yù)設(shè)】
根據(jù)以往的經(jīng)驗,多數(shù)學(xué)生看上去都能順利解答本題,但真正能完整解答的可能并不多。事實上,解決本題的關(guān)鍵在于能準確寫出點A的軌跡,有了練習(xí)題1的鋪墊,這個問題對學(xué)生們來講就顯得頗為簡單,因此面對例2(1),多數(shù)學(xué)生應(yīng)該能準確給出解答,但是對于例2(2)這樣相對比較陌生的問題,學(xué)生就無從下手。我提醒學(xué)生把3/5和離心率聯(lián)系起來,這樣就容易和第二定義聯(lián)系起來,從而找到解決本題的突破口。
(三)自主探究、深化認識
如果時間允許,練習(xí)題將為學(xué)生們提供一次數(shù)學(xué)猜想、試驗的機會。
練習(xí):
設(shè)點Q是圓C:(x1)2225|AB|的最小值。3y225上動點,點A(1,0)是圓內(nèi)一點,AQ的垂直平分線與CQ交于點M,求點M的軌跡方程。
引申:若將點A移到圓C外,點M的軌跡會是什么?
【設(shè)計意圖】練習(xí)題設(shè)置的目的是為學(xué)生課外自主探究學(xué)習(xí)提供平臺,當(dāng)然,如果課堂上時間允許的話,
可借助“多媒體課件”,引導(dǎo)學(xué)生對自己的結(jié)論進行驗證。
【知識鏈接】
(一)圓錐曲線的定義
1、圓錐曲線的第一定義
2、圓錐曲線的統(tǒng)一定義
(二)圓錐曲線定義的應(yīng)用舉例
1、雙曲線1的兩焦點為F1、F2,P為曲線上一點,若P到左焦點F1的距離為12,求P到右準線的距離。
2、|PF1||PF2|2P為等軸雙曲線x2y2a2上一點,F(xiàn)1、F2為兩焦點,O為雙曲線的中心,求的|PO|取值范圍。
3、在拋物線y22px上有一點A(4,m),A點到拋物線的焦點F的距離為5,求拋物線的方程和點A的坐標。
4、例題:
(1)已知點F是橢圓1的右焦點,M是這橢圓上的動點,A(2,2)是一個定點,求|MA|+|MF|的最小值。
(2)已知A(,3)為一定點,F(xiàn)為雙曲線1的右焦點,M在雙曲線右支上移動,當(dāng)|AM||MF|最小時,求M點的坐標。
(3)已知點P(-2,3)及焦點為F的拋物線y,在拋物線上求一點M,使|PM|+|FM|最小。
5、已知A(4,0),B(2,2)是橢圓1內(nèi)的點,M是橢圓上的動點,求|MA|+|MB|的最小值與最大值。
七、教學(xué)反思
1、本課將借助于,將使全體學(xué)生參與活動成為可能,使原來令人難以理解的抽象的數(shù)學(xué)理論變得形象,生動且通俗易懂,同時,運用“多媒體課件”輔助教學(xué),節(jié)省了板演的時間,從而給學(xué)生留出更多的時間自悟、自練、自查,充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用,這充分顯示出“多媒體課件”與探究合作式教學(xué)理念的有機結(jié)合的教學(xué)優(yōu)勢。
2、利用兩個例題及其引申,通過一題多變,層層深入的探索,以及對猜測結(jié)果的檢測研究,培養(yǎng)學(xué)生思維能力,使學(xué)生從學(xué)會一個問題的求解到掌握一類問題的解決方法,循序漸進的讓學(xué)生把握這類問題的解法;將學(xué)生容易混淆的兩類求“最值問題”并為一道題,方便學(xué)生進行比較、分析。雖然從表面上看,我這一堂課的教學(xué)容量不大,但事實上,學(xué)生們的思維運動量并不會小。
總之,如何更好地選擇符合學(xué)生具體情況,滿足教學(xué)目標的例題與練習(xí)、靈活把握課堂教學(xué)節(jié)奏仍是我今后工作中的一個重要研究課題,而要能真正進行素質(zhì)教育,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識,自己首先必須更新觀念——在教學(xué)中適度使用多媒體技術(shù),讓學(xué)生有參與教學(xué)實踐的機會,能夠使學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識的同時,激發(fā)起求知的欲望,在尋求解決問題的辦法的過程中獲得自信和成功的體驗,于不知不覺中改善了他們的思維品質(zhì),提高了數(shù)學(xué)思維能力。
新課標高中數(shù)學(xué)教案 10
教學(xué)目標
。1)正確理解排列的意義。能利用樹形圖寫出簡單問題的所有排列;
。2)了解排列和排列數(shù)的意義,能根據(jù)具體的問題,寫出符合要求的排列;
。3)掌握排列數(shù)公式,并能根據(jù)具體的問題,寫出符合要求的排列數(shù);
。4)會分析與數(shù)字有關(guān)的排列問題,培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力;
。5)通過對排列應(yīng)用問題的學(xué)習(xí),讓學(xué)生通過對具體事例的觀察、歸納中找出規(guī)律,得出結(jié)論,以培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。
教學(xué)建議
一、知識結(jié)構(gòu)
二、重點難點分析
本小節(jié)的重點是排列的定義、排列數(shù)及排列數(shù)的公式,并運用這個公式去解決有關(guān)排列數(shù)的應(yīng)用問題。難點是導(dǎo)出排列數(shù)的公式和解有關(guān)排列的應(yīng)用題。突破重點、難點的關(guān)鍵是對加法原理和乘法原理的掌握和運用,并將這兩個原理的基本思想方法貫穿在解決排列應(yīng)用問題當(dāng)中。
從n個不同元素中任取m(m≤n)個元素,按照一定的順序排成一列,稱為從n個不同元素中任取m個元素的一個排列。因此,兩個相同排列,當(dāng)且僅當(dāng)他們的元素完全相同,并且元素的排列順序也完全相同。排列數(shù)是指從n個不同元素中任取m(m≤n)個元素的所有不同排列的種數(shù),只要弄清相同排列、不同排列,才有可能計算相應(yīng)的排列數(shù)。排列與排列數(shù)是兩個概念,前者是具有m個元素的排列,后者是這種排列的不同種數(shù)。從集合的角度看,從n個元素的有限集中取出m個組成的有序集,相當(dāng)于一個排列,而這種有序集的個數(shù),就是相應(yīng)的排列數(shù)。
公式推導(dǎo)要注意緊扣乘法原理,借助框圖的直視解釋來講解。要重點分析好的推導(dǎo)。
排列的應(yīng)用題是本節(jié)教材的難點,通過本節(jié)例題的分析,應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生解決應(yīng)用問題的能力。
在分析應(yīng)用題的解法時,教材上先畫出框圖,然后分析逐次填入時的種數(shù),這樣解釋比較直觀,教學(xué)上要充分利用,要求學(xué)生作題時也應(yīng)盡量采用。
在教學(xué)排列應(yīng)用題時,開始應(yīng)要求學(xué)生寫解法要有簡要的文字說明,防止單純的只寫一個排列數(shù),這樣可以培養(yǎng)學(xué)生的分析問題的能力,在基本掌握之后,可以逐漸地不作這方面的要求。
三、教法建議
、僭谥v解排列數(shù)的概念時,要注意區(qū)分“排列數(shù)”與“一個排列”這兩個概念。一個排列是指“從n個不同元素中,任取出m個元素,按照一定的順序擺成一排”,它不是一個數(shù),而是具體的一件事;排列數(shù)是指“從n個不同元素中取出m個元素的所有排列的個數(shù)”,它是一個數(shù)。例如,從3個元素a,b,c中每次取出2個元素,按照一定的順序排成一排,有如下幾種:
ab,ac,ba,bc,ca,cb,
其中每一種都叫一個排列,共有6種,而數(shù)字6就是排列數(shù),符號表示排列數(shù)。
、谂帕械亩x中包含兩個基本內(nèi)容,一是“取出元素”,二是“按一定順序排列”。
從定義知,只有當(dāng)元素完全相同,并且元素排列的順序也完全相同時,才是同一個排列,元素完全不同,或元素部分相同或元素完全相同而順序不同的排列,都不是同一排列。叫不同排列。
在定義中“一定順序”就是說與位置有關(guān),在實際問題中,要由具體問題的性質(zhì)和條件來決定,這一點要特別注意,這也是與后面學(xué)習(xí)的組合的根本區(qū)別。
在排列的定義中,如果有的書上叫選排列,如果,此時叫全排列。
要特別注意,不加特殊說明,本章不研究重復(fù)排列問題。
③關(guān)于排列數(shù)公式的推導(dǎo)的教學(xué)。公式推導(dǎo)要注意緊扣乘法原理,借助框圖的`直視解釋來講解。課本上用的是不完全歸納法,先推導(dǎo)…,再推廣到,這樣由特殊到一般,由具體到抽象的講法,學(xué)生是不難理解的。
導(dǎo)出公式后要分析這個公式的構(gòu)成特點,以便幫助學(xué)生正確地記憶公式,防止學(xué)生在“n”、“m”比較復(fù)雜的時候把公式寫錯。這個公式的特點可見課本第229頁的一段話:“其中,公式右邊第一個因數(shù)是n,后面每個因數(shù)都比它前面一個因數(shù)少1,最后一個因數(shù)是,共m個因數(shù)相乘!边@實際是講三個特點:第一個因數(shù)是什么?最后一個因數(shù)是什么?一共有多少個連續(xù)的自然數(shù)相乘。
公式是在引出全排列數(shù)公式后,將排列數(shù)公式變形后得到的公式。對這個公式指出兩點:
(1)在一般情況下,要計算具體的排列數(shù)的值,常用前一個公式,而要對含有字母的排列數(shù)的式子進行變形或作有關(guān)的論證,要用到這個公式,教材中第230頁例2就是用這個公式證明的問題;
(2)為使這個公式在時也能成立,規(guī)定,如同時一樣,是一種規(guī)定,因此,不能按階乘數(shù)的原意作解釋。
、芙ㄗh應(yīng)充分利用樹形圖對問題進行分析,這樣比較直觀,便于理解。
、輰W(xué)生在開始做排列應(yīng)用題的作業(yè)時,應(yīng)要求他們寫出解法的簡要說明,而不能只列出算式、得出答數(shù),這樣有利于學(xué)生得更加扎實。隨著學(xué)生解題熟練程度的提高,可以逐步降低這種要求。
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