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考研數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí) 矩陣對(duì)角化講解
2013考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)已進(jìn)入沖刺階段，考研數(shù)學(xué)專家針對(duì)有些同學(xué)在矩陣對(duì)角化這塊內(nèi)容上仍存在一些困惑，特撰此文講解矩陣對(duì)角化相關(guān)的知識(shí)、注意要點(diǎn)及解題技巧，助力2013考研數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)。
首先是矩陣對(duì)角化的概念：對(duì)于n階矩陣A，若存在一個(gè)n階可逆矩陣P，使P-1AP=Λ(Λ為對(duì)角矩陣)成立，則稱A可相似對(duì)角化，否則就稱A不可對(duì)角化。概念是要牢記于心的。
重要定理：若n階矩陣A可以對(duì)角化，則對(duì)角矩陣Λ的n個(gè)主對(duì)角線元素必是A的n個(gè)特征值λ1，λ2，…，λn(包括重根)，其相似變換矩陣P的n個(gè)列向量X1，X2，…，Xn是A的分別屬于λ1，λ2，…，λn的特征向量，且X1，X2，…，Xn線性無(wú)關(guān)，即有：P-1AP=Λ，其中Λ=diag(λ1，λ2，…，λn)，P=(X1，X2，…，Xn)為可逆陣，且AXj=λXj(j=1，2，…，n).
并非所有的n階矩陣都可對(duì)角化，只有滿足一定條件的矩陣才可對(duì)角化，下面是幾個(gè)相關(guān)結(jié)論：
結(jié)論1：n階矩陣A可以對(duì)角化的充分必要條件是A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。
結(jié)論2：若n階矩陣A有n個(gè)兩兩不同的特征值，則A必可對(duì)角化。
結(jié)論3：設(shè)λi是矩陣A的任一個(gè)特征值，其代數(shù)重?cái)?shù)為ni(即λi是ni重特征值)，其幾何重?cái)?shù)為mi(即屬于λi的'線性無(wú)關(guān)的特征向量的最大個(gè)數(shù)，也是齊次線性方程組(λiE-A)X=0的基礎(chǔ)解系中的向量個(gè)數(shù)，mi=n-r(λiE-A))，則恒有mi≤ni。
結(jié)論4：設(shè)n階矩陣A的兩兩不等的特征值為λ1，λ2，…，λs(1≤s≤n)，則矩陣A可對(duì)角化的充分必要條件是，對(duì)A的每一個(gè)特征值λi，都有mi=ni(i=1，2，…，s)。
將n階矩陣A通過(guò)相似變換化成對(duì)角陣的計(jì)算步驟也是需要牢牢掌握的，由于此部分內(nèi)容較簡(jiǎn)單，各位考生可自行翻閱《湯家鳳考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全》這部分內(nèi)容來(lái)學(xué)習(xí)掌握，并結(jié)合書內(nèi)典型例題加強(qiáng)理解。
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