2015考研 思而去罔從主動(dòng)思考開始

一、內(nèi)容

1. 二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解為什么是這個(gè)樣子?

盡管二階常系數(shù)齊次和非齊次線性微分方程考綱有明確要求，但我相信仍不少考生沒有思考過這個(gè)問題。他們可能覺得微分方程會識別類型，記住解法就行了，沒必要知道為什么要這樣解。有的老師也給學(xué)生建議：“像背單詞一樣把二階常系數(shù)齊次和非齊次線性微分方程的解法背下來”。這樣有個(gè)問題：很容易忘。如何對抗遺忘?思考!多思考，找到知識之間的聯(lián)系就不容易忘了。如何思考?提問是思考的一個(gè)開端。拒絕機(jī)械地記憶，能簡單推導(dǎo)的可以推導(dǎo);不好推導(dǎo)的，可以“理解性地記憶”。比如上面的問題，咱們可以把三種形式的解代入微分方程中算算，對理解，對記憶都有幫助。

2. 考研數(shù)學(xué)中有不少“推廣”，有多少同學(xué)總結(jié)過這些嗎：有多少推廣?推廣前后有哪些相同和不同?

(1)一維隨機(jī)變量與多維隨機(jī)變量

在學(xué)習(xí)多維隨機(jī)變量時(shí)，我們可以先回顧一維隨機(jī)變量的內(nèi)容。那么，關(guān)于一維隨機(jī)變量我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容呢?

首先是定義，什么是隨機(jī)變量?隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的函數(shù)(與高數(shù)中的函數(shù)不同)。它的作用是把隨機(jī)試驗(yàn)的可能結(jié)果數(shù)量化了，便于用數(shù)學(xué)工具處理。那么什么是二維隨機(jī)變量(多維我們主要考慮二維)?就是把兩個(gè)定義在同一個(gè)樣本空間上的隨機(jī)變量放在一起考慮，或者說是定義在樣本空間上的向量值函數(shù)。

繼續(xù)回憶：如何描述一個(gè)隨機(jī)變量X?通用的工具是不是分布函數(shù)?分布函數(shù)F(x)是什么?它是概率，是隨機(jī)變量X落入(負(fù)無窮, x]這個(gè)區(qū)間的概率。那么推廣過來，我們要描述一個(gè)二維隨機(jī)變量(X,Y)，也可以用分布函數(shù)。一維對應(yīng)著一元函數(shù)F(x)，二維自然對應(yīng)二元函數(shù)F(x, y);一維分布函數(shù)是X落入一個(gè)區(qū)間的概率，相應(yīng)地二維分布函數(shù)是(X,Y)落入一個(gè)區(qū)域的概率，與(負(fù)無窮, x]這個(gè)區(qū)間對應(yīng)，這個(gè)區(qū)域是(負(fù)無窮, x]乘(負(fù)無窮, y]。

在討論了分布函數(shù)的概念后，我們可以進(jìn)一步討論分布函數(shù)的性質(zhì)。思考一下，一維隨機(jī)變量的分布函數(shù)有哪些性質(zhì)?“單調(diào)不減”，“0,1之間”和“右連續(xù)”，并且這三條性質(zhì)合起來是一個(gè)函數(shù)可以作為某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)的充要條件。那么推廣一下，不難得到二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的性質(zhì)，有需要注意的地方嗎?第一條和第三條性質(zhì)需要加上“關(guān)于x”(或者“關(guān)于y”)。“關(guān)于”是什么意思?就是把另一個(gè)變量固定，再考慮問題。第二條性質(zhì)推廣前的部分內(nèi)容是F(正無窮)=1，F(xiàn)(負(fù)無窮)=0，推廣之后變?yōu)镕(正無窮,正無窮)=1，F(xiàn)(負(fù)無窮，y)=0，F(xiàn)(x,負(fù)無窮)=0，F(xiàn)(負(fù)無窮,負(fù)無窮)=0。為什么會這樣?關(guān)鍵在F(x, y)中那個(gè)逗號，是“且”的意思。還有一條性質(zhì)可以結(jié)合圖形來理解，考得不多。當(dāng)然二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的這幾條性質(zhì)是否是充要條件?這點(diǎn)考研不要求。

我們知道，描述一維隨機(jī)變量，除了分布函數(shù)外，還有分布律和概率密度。它們是與離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量對應(yīng)的。那么二維隨機(jī)變量是否也有離散型和連續(xù)型，也有相應(yīng)的分布律和概率密度?對應(yīng)推廣過來不就行了?

下面的這些“推廣”，你能否自己總結(jié)?

(2)一元函數(shù)極限與二重極限

(3)一元函數(shù)連續(xù)與二元函數(shù)連續(xù)

(4)一元函數(shù)可微與多元函數(shù)可微

(5)定積分與二重積分

(6)二重積分與三重積分

3. 學(xué)數(shù)學(xué)同時(shí)也學(xué)了英語，理解了漢語同時(shí)也記住了數(shù)學(xué)符號。這狀態(tài)聽起來不錯(cuò)，要不要試一下?

(1) 微分的符號為什么是“d”?為什么常用“I”表示一個(gè)定積分?矩陣轉(zhuǎn)置的符號為什么是“T”?

“d”是微分的英文differential的首字母;“I”是積分的英文integral 的首字母;“T”是轉(zhuǎn)置的英文transpose 的首字母。

(2) 微分方程的類型不少，你能根據(jù)名字識別它們嗎?

關(guān)于微分方程，我們在基礎(chǔ)階段要掌握的是識別和求解。

對于可分離變量的微分方程，如何識別?關(guān)鍵信息就在它的名字中——“可分離變量”。如果所給微分方程的x和y是完全可以分開的，那么這就屬于此類方程。它的解法也與名字“可分離變量”直接相關(guān)——通過恒等變形把x和y的式子移到等式的兩邊，然后兩邊求不定積分即可。

對于齊次微分方程，也可以通過名稱識別：齊次是什么意思?字面含義是次數(shù)相等�！褒R次微分方程”的“齊次”指方程的每一項(xiàng)關(guān)于x、y次數(shù)都相等，如x的平方，x乘y，y的平方均為二次項(xiàng)(注意 “齊次線性方程組”中的“齊次”是指每個(gè)方程的每一項(xiàng)關(guān)于x的次數(shù)相等; “二階常系數(shù)齊次線性微分方程”中的“齊次”指微分方程的每一項(xiàng)關(guān)于x的次數(shù)相等(都是零次))。那么如果一個(gè)一階微分方程，每一項(xiàng)x、y次數(shù)都相等，那么就屬于此類型。

對于一階線性微分方程，識別的關(guān)鍵也在其名字——“一階線性”。“一階”體現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)是一階，“線性”在數(shù)學(xué)中即一次的意思，如線性函數(shù)即為一次函數(shù)，體現(xiàn)在微分方程關(guān)于y的導(dǎo)數(shù)和y是一次的，即不會出現(xiàn)y的導(dǎo)數(shù)的平方或y的導(dǎo)數(shù)乘以y這種非線性的項(xiàng)。

對于二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，可以類似按關(guān)鍵字“二階”、“常系數(shù)”、“非齊次”和“線性”理解。

其實(shí)，這部分內(nèi)容也可以理解成“顧名思義”。如果你也覺得挺有意思，那不妨自己主動(dòng)去發(fā)現(xiàn)。

4. 有時(shí)，我們可以用聯(lián)想把數(shù)學(xué)和其它學(xué)科聯(lián)系起來，體會某種“異質(zhì)同構(gòu)”的樂趣。

(1)求極限的題目中，如果是這種類型的：分子分母均為若干個(gè)無窮大的加減，可以用“抓大頭”這種方法。所謂“抓大頭”就是原極限等于從分子分母中分別抓出起決定作用的無窮大再算極限。這種做法是不是用點(diǎn)像“射人先射馬，擒賊先擒王”，或者“首犯必辦，脅從不論”?

(2)還有一種求極限的題目，分子或分母中有一項(xiàng)(非因子)是冪指型函數(shù)。有同學(xué)直接把這個(gè)冪指型函數(shù)的極限算出來，再算剩余部分的極限。想想他犯了什么錯(cuò)誤?是犯了刻舟求劍的錯(cuò)誤，還是形而上學(xué)的錯(cuò)誤?想想這些是不是有點(diǎn)意思?

二、方法

1. 在數(shù)學(xué)上，我們學(xué)習(xí)一個(gè)新的內(nèi)容，一般是按照定義、性質(zhì)和計(jì)算來學(xué)習(xí)。那么大家復(fù)習(xí)時(shí)，也可以從這三個(gè)方面來進(jìn)行。

比如極限、連續(xù)、可導(dǎo)，比如行列式、矩陣、向量等。

2. 我們學(xué)習(xí)一種方法，可以問自己這兩個(gè)問題：何時(shí)用?怎么用?把這兩個(gè)問題回答完整了，這種方法也掌握得差不多了。

比如不定積分的分部積分法，何時(shí)用?被積函數(shù)是兩個(gè)不同類型的函數(shù)之積或者被積函數(shù)含有對數(shù)函數(shù)，反三角函數(shù)這類求導(dǎo)之后比自身簡單的函數(shù)。怎么用? 選擇被積函數(shù)的一部分作為u，剩下的部分作為v的導(dǎo)數(shù)。那么什么樣的函數(shù)適合作為u呢?我們觀察分部積分公式會發(fā)現(xiàn)，用了公式后是要對u求導(dǎo)數(shù)的，那么u自然要選擇求導(dǎo)后比自己簡單的函數(shù)。所以，適合作為u的除了上面提到的兩類函數(shù)外，還有多項(xiàng)式。那么什么樣的函數(shù)作為v的導(dǎo)數(shù)呢?再觀察分部積分公式，可以認(rèn)為要用這個(gè)公式，第一步是把v的導(dǎo)數(shù)“往微分號d里拿”，即湊微分。所以易湊微分的函數(shù)適合作為v的導(dǎo)數(shù)，比如正余弦函數(shù)，指數(shù)函數(shù)等。

再比如帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式(帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式主要用來算極限)，何時(shí)用?出現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù)(大于等于二階)時(shí)。怎么用?選一個(gè)函數(shù)，選一個(gè)點(diǎn)，把函數(shù)在該點(diǎn)展開。函數(shù)的選擇比較容易，一般題目中就一個(gè)函數(shù);點(diǎn)的選擇有點(diǎn)講究，一般是找給出信息比較多的點(diǎn)，最好包含導(dǎo)數(shù)信息。

三、其它

套用電影《肖申克的救贖》中的臺詞：既然我們已經(jīng)思考了這么多，為什么不再多思考一步呢?

1. 我們需要的是靈丹妙藥嗎?

課程、輔導(dǎo)書和方法能給我們不小的幫助，但真正使我們能力增強(qiáng)的是我們的主動(dòng)思考和不懈付出。

2. 作為準(zhǔn)研究生的我們應(yīng)當(dāng)如何?

研究從主動(dòng)思考開始，思而去罔。

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