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2015考研線性代數(shù)知識框架 向量組的秩
一個矩陣的秩為2意味著什么?按照矩陣的秩的定義，我們可以得到該矩陣中非零子式的最高階數(shù)為2。當(dāng)然這是“直譯”，有沒有“意譯”(或更利于解題的翻譯方式)?有�？梢赃@么翻譯：該矩陣中存在2階非零子式，且不存在3階非零子式。前半句話怎么理解?這不就是“直譯”的那句話的自然結(jié)果嗎?或者反過來理解：試想，如果若這半句話不成立，即矩陣中不存在2階非零子式，那矩陣中非零子式的最高階數(shù)就不可能為2了(應(yīng)小于或等于1)，這與已知條件矛盾。那么，根據(jù)前面的分析，這半句話等價(jià)于矩陣的秩大于等于2。類似的討論可以對后半句話進(jìn)行。不難得到這半句話等價(jià)于矩陣的小于等于2。這里有兩個個問題：矩陣不存在3階非零子式有幾種情況呢?不難發(fā)現(xiàn)有兩種：(1)矩陣沒有3階子式(跟別談3階非零子式了，如一個2乘2的矩陣);(2)矩陣有3階子式，但3階子式全為零。另一個問題，如果矩陣不存在3階非零子式，那么有可能存在4階及以上階的非零子式嗎?如果你對行列式的展開定理比較熟悉，應(yīng)該不難得出答案。
推廣一下，我們就得到了一般情況：
矩陣的秩為k等價(jià)于矩陣中非零子式的最高階數(shù)為k，也等價(jià)于矩陣中存在k階非零子式，且不存在k+1階非零子式。
還有兩個特殊情況需要我們注意：
矩陣的秩為1等價(jià)于矩陣中存在1階非零子式，且不存在2階非零子式。思考：什么是1階子式?不就是矩陣的元素嗎?那么1階非零子式就是非零元素了。進(jìn)一步，矩陣中存在1階非零子式也即矩陣中存在非零元素。這有說明了什么呢?這說明矩陣不是零矩陣。再分析后半句話，2階子式為零意味著什么?大家可以自己舉個例子，是不是說明二階行列式的元素按行按列成比例(這里的成比例是廣義的，比如二階行列式有一行元素為零，那0除0理解成可以等于任何數(shù))。進(jìn)一步所有二階子式全為零說明什么，是不是說明整個矩陣是按行按列成比例的?分析至此，秩為1的矩陣長什么樣子大家應(yīng)該有個印象了：存在非零元素，且按行按列成比例。
n階方陣的秩為n等價(jià)于其自身取行列式后不為零。這個大家自己分析，應(yīng)該不困難。這種情況矩陣的秩達(dá)到了最大值，秩是滿的，我們稱該矩陣滿秩。
二、向量組的秩
要討論向量組的秩，先要搞清楚什么是向量。其實(shí)咱們在中學(xué)就討論過向量。中學(xué)數(shù)學(xué)對向量的定義是既有大小又有方向的量。中學(xué)物理中把向量稱為矢量。那么線性代數(shù)中討論的向量與中學(xué)接觸過的向量是什么關(guān)系?
首先回顧一下，在中學(xué)我們是如何表示向量的。中學(xué)數(shù)學(xué)中主要討論平面上的向量。平面上的向量是可以平行移動的。兩個相互平行且長度相等的向量我們認(rèn)為是相等的。好，假設(shè)在平面直角坐標(biāo)系中，對于平面上的任何一個向量，我們總是可以將其平移至起點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)重合。這時向量終點(diǎn)的坐標(biāo)同時也是向量的坐標(biāo)。這樣，我們就可以用一個實(shí)數(shù)對表示一個平面向量了。
一個實(shí)數(shù)對實(shí)際是我們線性代數(shù)中的一個二維行向量。而線代中討論的向量是任意n維的。所以線性代數(shù)中的向量可視為中學(xué)向量的推廣。
下面是向量的數(shù)學(xué)定義：
由n個實(shí)數(shù)a1，a2，…，an構(gòu)成的有序?qū)崝?shù)組(a1，a2，…，an)稱為一個n維行向量。類似可定義列向量。
問個問題：向量和矩陣是什么關(guān)系?向量可視為特殊的矩陣(行數(shù)或列數(shù)為1的矩陣)。這是理解向量的一個很好的角度。因?yàn)閷W(xué)習(xí)向量時，我們已把矩陣討論得很清楚了，所以通過矩陣?yán)斫庀蛄烤湍苁〔簧偈隆?/p>
知道了什么是向量，那什么是向量組呢?向量一般來說不是單獨(dú)出現(xiàn)，而是成組出現(xiàn)的。我們把多個向量放在一起考慮，就構(gòu)成了向量組。
當(dāng)然向量組的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義也不難理解：由若干個同型向量構(gòu)成的集合稱為一個向量組。這里的“同型”可以理解成矩陣同型，也可以用向量的語言描述成：同為行向量或列向量且維數(shù)相同。
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