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不確定理論教學(xué)中學(xué)生科研能力的培養(yǎng)論文
【摘要】如何培養(yǎng)學(xué)生的科研能力，是當(dāng)前高校教學(xué)改革所面臨的重要問題。本文基于不確定理論教學(xué)和科研的實踐，闡述了課堂教學(xué)過程中，如何結(jié)合講授的基本內(nèi)容，逐步讓學(xué)生了解科學(xué)研究過程中的基本方法，以達(dá)到提高科研能力的目的。
【關(guān)鍵詞】不確定理論概率論可信性理論公理化方法類比方法
一、不確定理論簡介
在運(yùn)籌學(xué)、管理科學(xué)、信息科學(xué)、計算機(jī)科學(xué)及工程等領(lǐng)域存在諸多客觀或人為的不確定性，如隨機(jī)性、模糊性等。隨著社會的發(fā)展和人們對改造自然要求的提高，在處理實際問題時，必然也會遇到某些不確定因素的出現(xiàn)。人們用科學(xué)的方法研究不確定信息是從研究隨機(jī)現(xiàn)象開始的。到現(xiàn)在為止，研究隨機(jī)現(xiàn)象的理論，即概率論已經(jīng)發(fā)展為處理此類不確定性的強(qiáng)大理論工具，并在許多問題的解決過程中發(fā)揮著重要的作用。
模糊集的概念是上世紀(jì)六十年代由Zadeh［4］首次提出的，到現(xiàn)在為止，模糊集理論已經(jīng)發(fā)展成處理模糊信息的重要方法，它的理論也越來越受到人們的青睞。長期以來，由于人們應(yīng)用隸屬度函數(shù)描述模糊集合，而隸屬度函數(shù)的選取具有很大的主觀性，故大部分學(xué)者認(rèn)為模糊集是經(jīng)驗的集合，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性。實際上，人們之所以對模糊集理論存在片面的理解，主要原因是模糊集理論本身沒有形成一個完整的理論體系。盡管Nahmias［3］定義了可能性空間和模糊變量的概念，并試圖建立模糊集理論的公理體系，但由于公理基礎(chǔ)不完善，以致于隨后的理論框架一直沒有很好的搭建起來。直到最近Liu［1］［2］在Nahmias可能性空間的三條公理的基礎(chǔ)上，又提出了可能性空間的第四條公理，并成功的建立了模糊集的公理體系：可信性理論。
我們知道，現(xiàn)實世界是不確定的，而不確定現(xiàn)象的發(fā)生也具有不確定性。某些時候會出現(xiàn)雙重或多重不確定性同時發(fā)生的現(xiàn)象，一種典型的情況就是隨機(jī)性和模糊性同時發(fā)生。例如，在測量湖水深度時，一般的測量方法是隨機(jī)的在湖中選取一點(diǎn)，測量的結(jié)果可能為“很深”、“較深”、“大約5米”等比較模糊的數(shù)據(jù)。實際上，這些數(shù)據(jù)的產(chǎn)生既涉及隨機(jī)性，也伴有模糊性，顯然若想單獨(dú)用概率論或模糊集理論來處理這個問題就顯得力不從心。雙重不確定性問題的出現(xiàn)，促使了模糊隨機(jī)理論和隨機(jī)模糊理論的發(fā)展。［1］［2］
總的來說，作為數(shù)學(xué)科學(xué)的一個分支，不確定理論是研究不確定現(xiàn)象及其內(nèi)在規(guī)律的學(xué)科，是概率論、可信性理論、隨機(jī)模糊理論和模糊隨機(jī)理論的統(tǒng)稱。
二、不確定理論教學(xué)中學(xué)生科研能力培養(yǎng)的必要性
近年來，隨著不確定理論的逐步發(fā)展及其應(yīng)用領(lǐng)域的不斷擴(kuò)大，很多高校逐漸意識到為高年級學(xué)生和研究生開設(shè)該類課程的必要性。一些關(guān)于不確定理論的課程，如概率論、模糊集理論、可信性理論的課程相繼開設(shè)。但在教學(xué)的過程中，由于一些教師對不確定理論的了解和研究不夠深入，因此往往忽略了對不確定理論發(fā)展和研究方法的介紹，不能有效的培養(yǎng)學(xué)生的科研能力和創(chuàng)新思想。雖然學(xué)生通過系統(tǒng)學(xué)習(xí)能夠掌握教科書上相關(guān)的理論知識和應(yīng)用方法，但書本知識畢竟是過去研究結(jié)果的總結(jié)，對學(xué)科的前沿不能有系統(tǒng)的掌握。
實際上，不確定理論課程中的一些學(xué)科，如可信性理論、模糊隨機(jī)理論，都是近年來才開始逐步發(fā)展完善的，因此在充分了解發(fā)展過程和領(lǐng)域前沿的基礎(chǔ)上，向?qū)W生介紹重要結(jié)論的由來和科研方法是十分必要的。這對于擴(kuò)展學(xué)生的知識面，增加其學(xué)習(xí)積累，培養(yǎng)其學(xué)術(shù)思維具有重要的作用。鑒于此，我們通過多年的教學(xué)和科研實踐，逐步探索將學(xué)生科研能力的培養(yǎng)納入課堂教學(xué)中，使學(xué)生通過對不確定理論的學(xué)習(xí)逐步掌握一般的科研方法和技巧，為將來的進(jìn)一步學(xué)習(xí)和深造打下良好的基礎(chǔ)。
三、不確定理論課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生科研方法的嘗試
對于高年級的學(xué)生來說，在課堂教學(xué)中講授相關(guān)知識的同時，最重要的是向他們傳授相關(guān)的科研方法，以打破科研神秘感，培養(yǎng)他們的科研興趣。在不確定理論實際教學(xué)的過程中，可以向?qū)W生介紹兩類科研方法的應(yīng)用，即公理化方法和類比方法。
1．公理化方法：公理化方法是建立數(shù)學(xué)體系的主要方法之一。它對現(xiàn)代數(shù)學(xué)和某些自然科學(xué)產(chǎn)生了重要的影響。公理化的趨勢是現(xiàn)代數(shù)學(xué)區(qū)別于以往數(shù)學(xué)的重要特征之一。它在公理基礎(chǔ)上將其它所有概念、命題組成嚴(yán)密的邏輯體系，從而條理清楚、簡明扼要，使人們便于學(xué)習(xí)、繼承和應(yīng)用。［5］［6］所以，一門數(shù)學(xué)如果公理化了，則被認(rèn)為是成熟的學(xué)科。建立在公理基礎(chǔ)上的學(xué)科一定是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，在發(fā)展過程中不會出現(xiàn)悖論。在介紹公理化方法的時候，一定要先以淺顯易懂的實例告訴學(xué)生什么是公理基礎(chǔ)及其作用。例如，初中學(xué)習(xí)的平面幾何就是建立在公理基礎(chǔ)上的，其中涉及的公理包括平行直線永不相交、同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)等。通過這樣的介紹，學(xué)生首先會對公理基礎(chǔ)有一個較清楚的認(rèn)識，之后對不確定理論中公理基礎(chǔ)的理解有一個較好的開端。
現(xiàn)代概率論完全是在公理化體系的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，其公理基礎(chǔ)包含三個方面的內(nèi)容：設(shè)Ω為非空集合，A是由Ω的一些子集構(gòu)成的代數(shù)，若非負(fù)集函數(shù)Pr滿足：
公理1：Pr｛Ω｝＝1；
公理2：對任意B∈A，有Pr｛B｝≥0；
公理3：對任意可列互不相交的集合列A，有，則集函數(shù)Pr稱為概率測度，（Ω，A，
Pr）稱為概率空間。隨機(jī)變量是定義為從概率空間（Ω，A，Pr）到實數(shù)集合的一個可測映射。
在介紹上面公理時，一定要向?qū)W生介紹概率測度是測度的一種特殊形式，因此，在概率空間和隨機(jī)變量的概念提出后，人們就可以從測度論的角度來研究概率論，從而有力地推動了概率論的公理化理論體系的形成。概率論中相關(guān)定理的推導(dǎo)都是基于公理基礎(chǔ)上的，故不會出現(xiàn)悖論，缺乏了公理基礎(chǔ)，悖論不可避免。在概率論的講授過程中，一定要時刻以公理為主線，讓學(xué)生體會到公理化方法在概率論發(fā)展中的重要地位和作用�？尚判岳碚摰陌l(fā)展也是基于公理基礎(chǔ)的。它包括如下四條公理：即設(shè)Θ為非空集合，P（Θ）是由Θ的所有子集構(gòu)成集合。若非負(fù)集函數(shù)Pos滿足：
公理1：Pos｛Θ｝＝1；
公理2：Pos｛｝＝0；
公理3：對任意的集合列｛Bi｝，有Pos｛UiBi｝＝ViPos｛Bi｝，則集函數(shù)Pos稱為可能性測度，（Θ，P（Θ），Pos）稱為是一個可能性空間。模糊變量是定義為從可能性空間到實數(shù)集合的映射。
此外，為了定義乘積可能性空間和乘積可能性測度，Liu［1］［2］提出了可能性理論的第四條公理。設(shè)（Θi，P（Θi），Posi），i＝1，2，…n是可能性空間，而Θ＝Θ1×Θ2×…×Θn。設(shè)集函數(shù)Pos滿足：
公理4：對任意B∈P（Θ），有：
此時，記Pos＝Pos1∧Pos2∧…∧Posn，則Pos是一個可能性測度，從而（Θ，P（Θ），Pos）是一個可能性空間，稱為是（Θi，P（Θi），Posi），i＝1，2，…n的乘積可能性空間。
可信性測度（Cr）是基于可能性測度而定義的，即對任意B∈P（Θ），有Cr｛B｝＝Pos｛B｝＋1－Pos｛Bc｝。三元組（Θ，P（Θ），Cr）稱為可信性空間。可信性理論是基于上述公理和可信性側(cè)度的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的。它與傳統(tǒng)模糊集理論相比，其優(yōu)勢在于它是建立在公理化體系基礎(chǔ)之上的，從而可以消除模糊集中的主觀因素，而且不會出現(xiàn)悖論。
通過對不確定理論公理基礎(chǔ)的介紹，不僅可以使學(xué)生了解公理基礎(chǔ)在學(xué)科發(fā)展中的地位和作用，也使他們掌握一項重要的科研方法——公理化方法。
2．類比的方法：類比法是數(shù)學(xué)方法論的基本方法之一，它根據(jù)兩種數(shù)學(xué)對象之間在某些方面相似或相同，從而推出它們在其他方面也可能相似或相同的推理方法。它是以比較為基礎(chǔ)的一種從特殊到特殊的推理方法，它在數(shù)學(xué)的發(fā)展中起著非常重要的作用。［5、6］從整體而言，可信性理論的迅速發(fā)展得益于類比了概率論的知識。事實上，模糊變量、可信性測度，以及期望值算子的概念都能夠在概率論中找到原型，它們分別對應(yīng)于隨機(jī)變量、概率測度，以及隨機(jī)變量的期望值算子。在不確定理論的其他學(xué)科，如模糊隨機(jī)理論和隨機(jī)模糊理論的豐富過程中，類比的方法仍然起著非常重要的作用。
在教學(xué)過程中，教師一定要介紹類比方法如何應(yīng)用的。就概率論而言，對概率測度的研究極大豐富和發(fā)展了概率論的理論體系。同樣的，要發(fā)展模糊集理論，就必須要研究可能性測度、必要性測度和可信性測度的數(shù)學(xué)性質(zhì)。具體來說，如何研究這些測度的數(shù)學(xué)性質(zhì)呢？要解決這個問題，我們必須要回到概率論，對照概率測度的研究方法，研究可能性測度、必要性測度以及可信性測度的數(shù)學(xué)性質(zhì)。這就是類比方法的應(yīng)用。所謂“站在巨人的肩膀上”也就是這個道理。對模糊集理論來講，它的巨人就是概率論，它的發(fā)展也必須參考概率論。例如，概率測度有一些數(shù)學(xué)性質(zhì)：設(shè)（Ω，A，Pr）為一個概率空間，則有
（1）（自對偶）對任意的B∈A，有Pr｛B｝＋Pr｛Bc｝＝1；
�。�2）（有界性）對任意的B∈A，有0≤Pr｛B｝≤1；
�。�3）（單調(diào)性）對任意的B
C，有Pr｛B｝≤Pr｛C｝。
在可信性理論中，由于可信性測度對應(yīng)于概率論中的概率側(cè)度，在研究可信性側(cè)度性質(zhì)時，我們應(yīng)該首先考慮它是否具有與概率側(cè)度相似的性質(zhì)。有了這種想法，經(jīng)過嚴(yán)格的理論推導(dǎo)也可證明可信性側(cè)度具有自對偶性、有界性和單調(diào)性。設(shè)（Θ，P（Θ），Cr）是一個可信性空間，則：
�。�1）（自對偶）對任意的B∈P（Θ），有Cr｛B｝＋Cr｛Bc｝＝1。
�。�2）（有界性）對任意的B∈P（Θ），有0≤Cr｛B｝≤1。
�。�3）（單調(diào)性）對任意的B C，有Cr｛B｝≤Cr｛C｝。
實際上，可信性理論的很多結(jié)論都是類比了概率論中的結(jié)論而得到的，再如，概率期望值算子具有線性性質(zhì)，我們同樣也可以證明，在某些條件下可信性期望值算子也具有線性性質(zhì)。
在課堂教學(xué)的過程中，教師一定要注意介紹類比方法的應(yīng)用，它是科學(xué)研究方法論中的一項重要方法。這樣的授課方式不僅能讓學(xué)生在理解概率論的基礎(chǔ)上更加容易理解其他理論，還能讓學(xué)生掌握科研過程的另一基本方法——類比法。
四、結(jié)束語
在教學(xué)過程中，除了講授課本上基本理論和基礎(chǔ)知識外，還應(yīng)逐步培養(yǎng)學(xué)生的科研能力和科研方法。具體來說，就是在課堂教學(xué)過程中注意用實例的方式注重科研方法的灌輸，這樣不僅有利于學(xué)生對課本知識的理解，對于提高他們科研能力和擴(kuò)充知識面都有很大的幫助，從而達(dá)到教學(xué)的目的。
參考文獻(xiàn)
1 Liu B.Uncertainty Theory: An Introduction to its Axiomatic Foundations. Berlin: Springer-Verlag，2004
2 Liu B. Theory and Practice of Uncertain Programming. Heidelberg: Physica-Verlag，2002
3 Nahmias S. Fuzzy variables. Fuzzy Sets and Systems，1978.1：97～110
4 Zadeh L A. Fuzzy sets. Information and Control，1965.8：338～353
5 周述歧.數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)哲學(xué).中國人民大學(xué)出版社，1993
6 吳炯圻、林培榕.數(shù)學(xué)思想方法.廈門大學(xué)出版社，2001
7 鄭毓信.數(shù)學(xué)哲學(xué)新論.江蘇教育出版社，1990
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