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數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的應(yīng)用論文
《新課標(biāo)》明確規(guī)定“初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)主要指代數(shù)、幾何中的概念、法則性質(zhì)、公理、定理以及由此內(nèi)容反映出來(lái)的數(shù)學(xué)思想和方法”�？梢钥闯�，把數(shù)學(xué)思想作為基礎(chǔ)知識(shí)的范疇是過(guò)去大綱所沒(méi)有的，它既是我國(guó)數(shù)學(xué)教育多年研究的成果，也充分反映了數(shù)學(xué)思想的重要性。數(shù)學(xué)是一門思維的科學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力是數(shù)學(xué)科學(xué)的核心，而數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容及其所使用方法本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，在培養(yǎng)能力方面起著不可替代的作用，可以說(shuō)是提高學(xué)生思維品質(zhì)和能力最重要的途徑。若學(xué)生在學(xué)習(xí)中能將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形符號(hào)結(jié)合起來(lái)，把抽象思維與形象思維結(jié)合起來(lái)，能用代數(shù)的方法去研究幾何問(wèn)題，會(huì)根據(jù)圖形的性質(zhì)及幾何知識(shí)去處理代數(shù)問(wèn)題，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想和方法，對(duì)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題有很重要的作用。
１ 對(duì)“數(shù)形結(jié)合”概念的理解
初中北師大版教材中數(shù)形結(jié)合的內(nèi)容，不完全統(tǒng)計(jì)達(dá)到214處，可以看出數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)的地位，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，到高中將是不自覺(jué)的應(yīng)用過(guò)程，數(shù)學(xué)中大量數(shù)的問(wèn)題后面隱含著形的信息，圖形的特征也體現(xiàn)著數(shù)的關(guān)系，我們將抽象復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系通過(guò)形的形象直接揭示出來(lái)，以達(dá)到“形幫數(shù)”的目的，同時(shí)我們又要運(yùn)用數(shù)的規(guī)律，數(shù)值的計(jì)算來(lái)尋找處理性的方法，達(dá)到“數(shù)促形”的目的。
在數(shù)學(xué)思維過(guò)程中，邏輯思維是核心，形象思維是先導(dǎo)，但具體的數(shù)學(xué)思維過(guò)程往往是兩者交叉運(yùn)用，濃縮升華的過(guò)程。這就要求我們?cè)诮虒W(xué)中重視數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想滲透的目的，讓學(xué)生邏輯思維和形象都得到提高。
２ 利用“形解數(shù)”的數(shù)形結(jié)合
2.1 數(shù)形結(jié)合在解不等式中的應(yīng)用。在七年級(jí)教材（北師大版）第二章講有理數(shù)及其運(yùn)算時(shí)，引入數(shù)軸，這是點(diǎn)和數(shù)的一種對(duì)應(yīng)，就是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，“數(shù)軸上的點(diǎn)”和“點(diǎn)所表示的數(shù)”是兩個(gè)不同的概念，前者是圖，后者是數(shù)，不等式解集可在數(shù)軸上表示出來(lái)，用數(shù)形結(jié)合比較形象直觀，尤其是在解不等式組時(shí)，可將幾個(gè)不等式解集表示在同一數(shù)軸上，這樣就容易求出解集的公共部分，即不等式組的解集，舉例如下：
例1：解不等式組
解：由（1）得x>1/3，解（2）得ｘ＜６，在同一數(shù)軸上表示（１）、（２）的解集 ∴原不等式組的解集為：1/3<ｘ<６
2.2 數(shù)形結(jié)合在方程中的應(yīng)用。二元一次方程圖像解中也滲透了有關(guān)數(shù)形結(jié)合的思想，利用它可以使我們解題時(shí)直觀明了。
例2：解方程組x-ｙ＝５ （１）ｙ＝3－x （２）
分析與解：由（１）得ｙ＝ｘ－５在同一坐標(biāo)系中作直線ｙ１＝ｘ－５及直線ｙ２＝３－ｘ的圖像，有圖像很直觀，可得直線ｙ１與直線ｙ２交點(diǎn)Ｐ（４，-１）的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別為ｘ、ｙ的值，所以方程的解為x＝4ｙ＝-1，當(dāng)然這種做法的準(zhǔn)確性依賴于作圖的準(zhǔn)確性，一般情況不太用。一元二次方程中有關(guān)根的問(wèn)題同樣與圖像有密切關(guān)系。
例3：如果方程ｘ２＋２ａｘ＋ａ２－ａ＋５＝０兩實(shí)根的大小在方程ｘ２＋２ａｘ＋ａ２＋ａ－７＝０兩實(shí)根之間，試求ａ的取值范圍。
分析：如果聯(lián)想到一元二次方程與二次函數(shù)之間的關(guān)系，有函數(shù)ｙ１＝ｘ２＋２ａｘ＋ａ２－ａ＋５與ｙ２＝ｘ２＋２ａｘ＋ａ２＋ａ－７的圖像開(kāi)口向上，且形狀相同，又有公共對(duì)稱軸的兩條拋物線。做草圖如下：
這樣把問(wèn)題歸結(jié)為兩條拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)間關(guān)系問(wèn)題，圖像已清楚反映出來(lái)。同時(shí)要考慮頂點(diǎn)與ｘ軸的位置關(guān)系，滿足題設(shè)條件是拋物線ｙ１的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)不小于等于零且大于拋物線ｙ２的頂點(diǎn)坐標(biāo)。即-ａ+5≤０－ａ＋５>ａ-7解得５a＜６
３ 數(shù)形結(jié)合在函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用
函數(shù)與平面圖形的對(duì)應(yīng)，建立一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠0）中ｋ、ｂ的值與圖像的相互對(duì)應(yīng)關(guān)系，即ｋ＞０、ｂ＞０或ｋ＞０、ｂ＜０或ｋ＜０、ｂ＞０或ｋ＜０、ｂ＜０分別與圖像的對(duì)應(yīng)關(guān)系，二次函數(shù)ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠0），ａ、ｂ、ｃ與圖像的相互對(duì)應(yīng)關(guān)系，即ａ、ｂ、ｃ的正負(fù)分別與圖像的對(duì)應(yīng)關(guān)系，都是數(shù)形結(jié)合的具體化。 例4：已知拋物線ｙ＝１２ｘ２＋pｘ＋q（ｐ≠0）與直線ｙ＝ｘ交于兩點(diǎn)Ａ、Ｂ，與ｙ軸交于點(diǎn)Ｃ且ＯＡ＝ＯＢ，ＢＣ//x軸，求p、q的值。
分析：我們可依已知條件作草圖，由直線的解析式y(tǒng)=x得出A、B兩點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)相等，由此可以先設(shè)：點(diǎn)A坐標(biāo)（t、t），點(diǎn)A與點(diǎn)B是否在一個(gè)象限呢？它們之間又有什么關(guān)系呢？再看條件“OA=OB”說(shuō)明是兩條線段的長(zhǎng)度相等。但我們結(jié)合圖形轉(zhuǎn)化成幾何語(yǔ)言，就是“點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”，那么剛才的一個(gè)小問(wèn)題解決了，可以得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-t、-t），但現(xiàn)在C點(diǎn)坐標(biāo)還沒(méi)有用t表示出來(lái)，能否找到相互的關(guān)系，“BC//x軸”迫使我們?nèi)ソY(jié)合圖形來(lái)觀察“B點(diǎn)、C點(diǎn)縱坐標(biāo)相等”，那么點(diǎn)C坐標(biāo)為（0、-t），有了A點(diǎn)、B點(diǎn)、C點(diǎn)的坐標(biāo)，必然可以求出p、q的值。
已知條件盡管較多，卻無(wú)從下手，這就迫使我們?nèi)ビ^察所作的圖形，可圖形中又只有拋物線、直線一些線段等，令人感到山窮水盡，現(xiàn)在如果我們把已知條件和圖形結(jié)合起來(lái)挖掘了一些隱藏在已知條件背后的圖形特征，必然是柳暗花明又一村。
４ 利用“數(shù)解形”的數(shù)形結(jié)合
數(shù)形結(jié)合中的數(shù)，除了指實(shí)數(shù)外，還泛指代數(shù)式、等式、不等式、方程、函數(shù)及運(yùn)算等，借助運(yùn)算也可把復(fù)雜幾何問(wèn)題代數(shù)化，輕易解決它。
例5：如過(guò)等腰三角形一個(gè)頂點(diǎn)做一條直線，將它分成兩個(gè)小的等腰三角形，求這個(gè)等腰三角形的各內(nèi)角。
分析：在這里沒(méi)有明確這個(gè)等腰三角形是銳角、鈍角還是直角，所以我們要把各種情況都考慮進(jìn)去，這樣又用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想，但每一步總是以圖形為依托用代數(shù)求解幾何問(wèn)題。
如圖（1）分別為90°、45°、45°
如圖（2）AB=BD、AD=CD，設(shè)∠Ａ＝a、∠B=∠C=β∴∠BDA=2β∴a+2β=180°∴a=180°、β=36°
如圖（3）AD=CD=BC、∠Ａ＝a、∠B=∠C=β、a+2β=180°、2a=β∴a=36°、β=72°
例6：如圖，過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)C任做一條直線與AB、AD的延長(zhǎng)線分別交于E、F。求證：AE+AF≥4AB
分析：這是“形”的問(wèn)題，但要直接從形入手較難，引導(dǎo)學(xué)生將結(jié)論變?yōu)椋海ˋE+AF）2-4AB（AE+AF）≥０從形式上看，聯(lián)想一元二次方程的判別式，從而把“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的問(wèn)題來(lái)解決就容易了。
證明：設(shè)AB=a，AE=m，AF=n，連接AC
則S△AEF=S△AFC+S△AEC即1/2mn=1/2am+1/2an∴mn=a（m＋n），設(shè)m+n=p則mn=ap這時(shí)又可以聯(lián)想一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，可以把m、n看作是方程x2-px+ap=0的兩根，而m、n為兩線斷的長(zhǎng)，應(yīng)為實(shí)數(shù)，故此一元二次方程有實(shí)數(shù)根。即△=p2-4ap≥0，又∵p>0（m、n為線段長(zhǎng)度）∴p>4a∴m+n>4a即AE+AF≥4AB。這道題完全體現(xiàn)了“數(shù)幫形”的作用，給學(xué)生有耳目一新的作用。
總之，揭示問(wèn)題的本質(zhì)，用“數(shù)”準(zhǔn)確澄清“形”的模糊，用“形”直觀啟迪“數(shù)”的運(yùn)算，解題過(guò)程使形和數(shù)各展其長(zhǎng)，相輔相成，達(dá)到完美的統(tǒng)一。
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