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數(shù)學(xué)課堂中的“數(shù)學(xué)化”
一、“數(shù)學(xué)化”的含義兒童如何建構(gòu)自己對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解？?jī)和g理解上的差異是如何產(chǎn)生的？如何促進(jìn)學(xué)生早期數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力的發(fā)展？為了解決這些問(wèn)題，我們需要引入一個(gè)新的概念——“數(shù)學(xué)化”。
“數(shù)學(xué)化”是西方學(xué)者近年來(lái)提出的一個(gè)概念，具體是指師生在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中共同努力、相互作用，使兒童準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)表達(dá)或運(yùn)算所需的規(guī)則和準(zhǔn)則，最終形成自己關(guān)于各種物體和情境的數(shù)學(xué)模式。“數(shù)學(xué)化”對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展和解決問(wèn)題能力的形成非常重……
二、“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程
研究?jī)和摹皵?shù)學(xué)化”，我們要追溯到兒童在學(xué)校的最早幾年。從數(shù)學(xué)問(wèn)題在課堂中出現(xiàn)開(kāi)始，兒童就開(kāi)始了數(shù)學(xué)化的過(guò)程。下面，我們從教師的解釋、學(xué)生的表征和早期的算式三個(gè)方面來(lái)分析兒童的數(shù)學(xué)化。
1.教師的解釋
黑板上畫了四只站在電線上的鳥(niǎo)，旁邊有三只正飛的鳥(niǎo)。教師的任務(wù)是讓孩子們把這樣一幅圖畫理解為像7-3=4這樣的“算式”。這是一個(gè)最初步的數(shù)學(xué)化問(wèn)題。在教學(xué)中，教師常常把這些復(fù)雜的關(guān)系分解為一系列的程序或更小的步驟，花費(fèi)大量的時(shí)間解說(shuō)、指導(dǎo)和糾誤，直到全班大多數(shù)學(xué)生理解了這些關(guān)系。下面的教學(xué)錄像片段典型地反映了這一過(guò)程。
師：在這個(gè)式子里，數(shù)字"4"的含義是什么？（手指數(shù)字"4"）
生：是不是因?yàn)橛兴闹圾B(niǎo)？（提高聲音問(wèn)）
師：這兒有許多鳥(niǎo)（多于四只），但這四只鳥(niǎo)有什么特別的地方？
生：（幾個(gè)學(xué)生立即討論起來(lái)）它們站著。它們先來(lái)。它們個(gè)頭比較小。它們睡著了。
師：那么，式子中數(shù)字"3"的含義是什么呢？（指著"3"）
生：（幾個(gè)學(xué)生）三只鳥(niǎo)在飛。它們剛到這兒。它們?nèi)セ丶摇２皇�，它們飛走了！
師：好，它們飛走了。那么，我們?yōu)槭裁从衷谶@里寫一個(gè)減號(hào)呢？（指著減號(hào)）
生：因?yàn)樗鼈冿w走了。
師：那么等號(hào)的意思是……？
生：（幾個(gè)學(xué)生一起說(shuō)）它們一共剩多少只？結(jié)果……總共剩下多少只？
師：對(duì)。結(jié)果總共剩下四只鳥(niǎo)。
很明顯，通過(guò)如此的反復(fù)問(wèn)答能夠促進(jìn)學(xué)生把圖形表達(dá)和數(shù)式表達(dá)聯(lián)系起來(lái)，形成解釋規(guī)則的能力，在一些學(xué)生的思維中完成了最為初步的數(shù)學(xué)化。為此，教材的編寫者也進(jìn)行了很多努力。他們通常用簡(jiǎn)潔易讀的方式組織圖片，把要數(shù)的物體排列好，避免干擾項(xiàng)，用最簡(jiǎn)單的和最顯眼的特征區(qū)別它們，并把相同任務(wù)的內(nèi)容分組。
2.學(xué)生的表征
實(shí)際上，師生的反復(fù)問(wèn)答常常只能使那些與教師思維方式相近的學(xué)生較好地完成數(shù)學(xué)化，最根本的原因是學(xué)生對(duì)圖片的不同表征。研究表明，學(xué)生實(shí)現(xiàn)圖片到算式的轉(zhuǎn)化是一個(gè)解釋的推理過(guò)程。在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)常要對(duì)圖畫中的數(shù)學(xué)關(guān)系進(jìn)行推斷，然后與教師及其它同學(xué)的判斷進(jìn)行比較性反思，最終形成自己的數(shù)學(xué)模式。比如，"1+1=2"表示一只鳥(niǎo)停留，一只鳥(niǎo)飛來(lái)。"4-3=1"表示留下的鳥(niǎo)比飛走的鳥(niǎo)少3只�！�7×2=14”表示7只鳥(niǎo)共有14條腿。飛走的鳥(niǎo)（離開(kāi)一個(gè)群體）可以形成減的模式，這些鳥(niǎo)加入另一個(gè)群體又形成了加的模式等。
兒童一旦完成了圖畫與數(shù)學(xué)符號(hào)關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化，并與“公認(rèn)”的關(guān)系一致，就完成了這方面的數(shù)學(xué)化。但這一過(guò)程是緩慢而且復(fù)雜的。對(duì)于不同的學(xué)生而言，沒(méi)有一對(duì)一的現(xiàn)實(shí)圖片與數(shù)學(xué)表達(dá)符號(hào)之間的轉(zhuǎn)向，同一幅圖畫可以被不同的學(xué)生理解成多種不同的解釋。值得注意的是，一些教師把這些早期的表征和圖畫看作是不言自明的，用許多武斷的指令——“就看這兒”“你只需看這兒”引導(dǎo)學(xué)生。這種模糊的解釋超越了學(xué)生的接受力而成為一種
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