淺析高等數(shù)學與初等數(shù)學相關(guān)內(nèi)容的比對論文

　　論文關(guān)鍵詞高等數(shù)學 初等數(shù)學 教材內(nèi)容 比對 銜接

　　論文摘要高等數(shù)學與初等數(shù)學教材內(nèi)容的有效銜接問題，是切實提高高等院校高等數(shù)學課程教學質(zhì)量的關(guān)鍵問題之一。本文對高等數(shù)學與初等數(shù)學教材中有關(guān)“函數(shù)與極限”、“導數(shù)與微分”等內(nèi)容及教學要求進行了比對，并給出了解決這些問題的一些建議。

　　經(jīng)過調(diào)研了解到，2003年3月教育部頒發(fā)的《普通高級中學數(shù)學課程標準》出臺之后，新出版的高中教材與以前的教材相比，一個重要的特點是新教材進一步加強了高中數(shù)學與大學數(shù)學的聯(lián)系，高中教材中安排了大學數(shù)學課程里的一些基本概念、基礎(chǔ)知識和思維方法。試圖從教學內(nèi)容方面解決高中數(shù)學與大學數(shù)學的銜接問題。但是，大學數(shù)學與高中數(shù)學教材內(nèi)容的銜接上還存在不少問題。這些問題影響了大學數(shù)學課程的教學質(zhì)量，對大學新生盡快適應(yīng)大學數(shù)學學習形成了障礙。高等數(shù)學與初等數(shù)學教材內(nèi)容的有效銜接亟待解決。

　　1“函數(shù)與極限”的銜接

　　函數(shù)，是高中數(shù)學的重點內(nèi)容，高考要求較高，學生掌握也比較牢固。高等數(shù)學教材中的這部分內(nèi)容基本相同，但內(nèi)涵更豐富，難度也提高了。

　�。�1）函數(shù)概念：在原有內(nèi)容中，增加了幾個在高等數(shù)學中經(jīng)常用到的實例，如取整函數(shù)、狄利克雷函數(shù)、黎曼函數(shù)、符號函數(shù)等。因此，在學習中，函數(shù)概念部分可以簡略，重點學習這幾個特殊函數(shù)即可。

　�。�2）初等函數(shù)：反三角函數(shù)要求提高，新增加了“雙曲函數(shù)”和“反雙曲函數(shù)”等內(nèi)容。反三角函數(shù)的概念在高中已學過，但高中對此內(nèi)容要求較低，只要求學生會用反三角函數(shù)表示“非特殊角”即可。而高等函數(shù)中要求較高，此處在學習中應(yīng)補充有關(guān)內(nèi)容：在復(fù)習概念的基礎(chǔ)上，要求學生熟悉其圖像和性質(zhì)，以達到靈活應(yīng)用的目的。新增加的“雙曲函數(shù)”和“反雙曲函數(shù)”在高等數(shù)學中經(jīng)常用到，故應(yīng)特別注意。

　　（3）函數(shù)極限：“數(shù)列極限的定義”，高中教材用的是描述性定義，而高等數(shù)學重用的是“”定義，此處是學生在高等數(shù)學的學習中遇到的第一個比較難理解的概念，因此在教學中應(yīng)注意加強引導，避免影響函數(shù)極限后面內(nèi)容的學習。新增內(nèi)容“收斂數(shù)列的性質(zhì)”雖是新增內(nèi)容，但比較容易理解和掌握，教學正常安排即可�！皹O限四則運算”處增加了“兩個重要極限”，要加強有關(guān)內(nèi)容的學習。

　　2“導數(shù)與微分”的銜接

　　高中新教材中的一元函數(shù)微積分的部分內(nèi)容，是根據(jù)高等數(shù)學內(nèi)容學習需要所添加，目的是加強高中數(shù)學與高等數(shù)學的聯(lián)系，讓中學生初步了解微積分的思想。

　　（1）導數(shù)的定義：高中數(shù)學和高等數(shù)學教材中，這一內(nèi)容是相同的，不同的是學習要求。高中數(shù)學要求：了解導數(shù)概念的某些實際背景（例如瞬時速度，加速度，光滑曲線的切線的斜率等）；掌握函數(shù)在一點處的導數(shù)的概念和導數(shù)的幾何意義；理解導函數(shù)的概念。也就是說，盡管極限與導數(shù)在高中已經(jīng)學過，但主要是介紹概念和求法,對概念的深入理解不作要求。到了大學，概念上似懂非懂、不會靈活運用，成了夾生飯。但高等數(shù)學要求學生掌握并熟練應(yīng)用，這是高等數(shù)學的一個重要內(nèi)容，在此處應(yīng)用舉例增加了利用“兩個重要極限”解題的例題，在教學中應(yīng)給與足夠的重視。   （2）導數(shù)的運算：高中新課標教材要求較低：根據(jù)導數(shù)的定義會求簡單函數(shù)的導數(shù)；能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)，會求簡單的復(fù)合函數(shù)導數(shù)。重點考察利用導數(shù)的幾何意義分析問題、解決問題的綜合能力。

　　高等數(shù)學教學大綱對這部分內(nèi)容要求：掌握導數(shù)的四則運算法則和復(fù)合函數(shù)的求導法；掌握初等函數(shù)的一、二階導數(shù)的求法，會求分段函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階、二階導數(shù)；了解高階導數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的n階導數(shù)；了解微分的概念與四則運算。

　　建議：高中學過的僅僅是該內(nèi)容的基礎(chǔ)，因此需重新學習已學過的內(nèi)容，為本節(jié)后面更深更難的內(nèi)容打好基礎(chǔ)。

　�。�3）導數(shù)的應(yīng)用：高中新教材中僅是借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系，并通過實際的背景和具體應(yīng)用事例引導學生經(jīng)歷由函數(shù)增長到函數(shù)減少的過程，使學生了解函數(shù)的單調(diào)性，極值與導數(shù)的關(guān)系，要求結(jié)合函數(shù)圖像，知道函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件，會用導數(shù)求不超過三次的多項式函數(shù)的最大最小值；體會導數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性；通過使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導數(shù)在解決實際問題中的應(yīng)用。

　　高等數(shù)學對這部分內(nèi)容的處理是：先介紹三個微分中值定理、洛必達法則、泰勒公式，然后嚴格證明函數(shù)的單調(diào)性和曲線的凹凸性，給出函數(shù)的極值、最值的嚴格定義，及函數(shù)在一點取得極值的必要條件和充分條件。在此基礎(chǔ)上，討論求最大最小值的應(yīng)用問題，以及用導數(shù)描繪函數(shù)圖形的方法步驟。

　　建議：由以上分析比較可知，高中數(shù)學所涉及的一元微分學雖然內(nèi)容差別不大，但內(nèi)容體系框架有很大差異，高等數(shù)學知識更系統(tǒng)，邏輯更嚴謹。學習要求上，對于導數(shù)的幾何意義，導數(shù)的四則運算法則及簡單函數(shù)的一階導數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性和求函數(shù)極值都是高中數(shù)學課程標準中要求的重點，是重點強化訓練的知識點。而在高等數(shù)學教學中建議一點而過，教學重點應(yīng)放在用微分中值定理證明函數(shù)單調(diào)性的判定定理、函數(shù)極值點的第一、二充分條件定理以及曲線的凹凸性、拐點等內(nèi)容上。

　　以上主要分析比較了高中數(shù)學與高等數(shù)學的重復(fù)知識點。除此之外，二者之間以及高等數(shù)學與后繼課程之間還存在著知識“斷裂帶”。

　　3高中數(shù)學與高等數(shù)學知識的“斷裂帶”

　　高考對平面解析幾何中的極坐標內(nèi)容不做要求，鑒于此這部分知識在高中大多是不講的；而在大學教材中，極坐標知識是作為已知知識直接應(yīng)用的，如在一元函數(shù)微分學的應(yīng)用中求曲率，以及定積分的應(yīng)用中求平面圖形的面積等。建議在相應(yīng)的地方補充講解極坐標知識。

　　初等數(shù)學與高等數(shù)學除了在教材內(nèi)容上的銜接外，在學習思想和方法等方面的銜接也都是值得研究的課題。學生剛開始學習高等數(shù)學，不能很好地銜接，教師在教學中要注意放慢速度，幫助學生熟悉高等數(shù)學教與學的方法，搞好接軌。首先要正確處理新與舊的關(guān)系，在備課時，了解中學有關(guān)知識的地位與作用及與高等數(shù)學知識內(nèi)在的密切聯(lián)系，對教材做恰當?shù)奶幚�；上課時教師要經(jīng)常注意聯(lián)舊引新，運用類比，使學生在舊知識的基礎(chǔ)上獲得新知識。

　　總之，努力探索搞好初等數(shù)學和高等數(shù)學學習銜接問題，是學好高等數(shù)學的關(guān)鍵之一。

　　參考文獻

　　[1]同濟大學應(yīng)用數(shù)學系主編.高等數(shù)學（第五版上冊）.北京:高等教育出版社,2005.

　　[2]人民教育出版社中學數(shù)學室編著.數(shù)學（全日制普通高級中學教科書）.北京:人民教育出版社,2006.

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