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談談公式ΔT＇=ΔT／√1－V2／C2
Talk about Equation ΔT＇=ΔT／√1－V2／C2內(nèi)容提要：接觸過狹義相對論的人，一定知道這個公式ΔT＇=ΔT／√1－V2／C2。想必你對這個公式巧妙的數(shù)學推導也是充滿敬意的，我就有這樣的感覺。但隨著對狹義相對論理解的深入，我開始懷疑這個公式。狹義相對論的立論基礎光速不變和同時性的相對性觀點是正確的，但是這個公式的推導過程是值得商榷的。
首先讓我們回顧一下物理教科書中這一段的內(nèi)容。
假定一列以勻速V行駛的火車，在車廂側(cè)壁上裝有一個光源，（見圖一）。在車廂正對光源的另一側(cè)放置一面反射鏡，它的取向使得來自光源的光線垂直于火車的運動方向返回出發(fā)點。設車廂的寬度為L，在火車上的觀察者將光源射向?qū)γ婢嚯x為L的鏡面上，他測得光往返鏡面一次所需的時間間隔為ΔT。因總距離為2L，所以時間間隔為
ΔT=2L／C （1）
這是列車參考系中的情形。
在路基上的觀察者測得光往返一次的時間間隔為另一值ΔT＇在這個時間間隔內(nèi)，光源相對于路基移動了一段距離V×ΔT＇，光往返一次所經(jīng)過的距離不是2L而是2L＇，這里
L＇=√L2+（V×ΔT＇／2）2
對車上和路基上的觀察者來說，光速是相同的。因此對路基上的觀察者來說有下面的關(guān)系式
ΔT＇=2L＇／C=［2×√L2+（VΔT／2）2］／C （2）
為了求出ΔT＇和ΔT的關(guān)系，關(guān)系式中不含L，我們由式（1）解出L，再把結(jié)果代入（2）式經(jīng)過整理就得到
ΔT＇=ΔT／√1－V2／C2
因為√1－V2／C2＜1故ΔT＇＞ΔT。這表明，在光“往返”過程中，當車上的時鐘走過一段時間ΔT時，路基上的鐘已經(jīng)走過了一段比ΔT長的時間ΔT＇。用日常的語言來說，就是車上的鐘比路基上的鐘慢。
L ΔT L＇
L
θ
0 ΔT＇
V ΔX
圖一 圖二
在當今大多數(shù)介紹相對論的教科書中，基本上都是采用上述例子來定量地證明兩個相對運動參照系中時間關(guān)系的。我認為在這個例子里，有兩個問題是值得討論的。第一個問題是：“從光源發(fā)出的光”這樣的描述是不精確的。我們知道光是由一系列離散的光子所組成的，所以研究光的運動規(guī)律實質(zhì)上就是研究每一個光子的運動規(guī)律，這好比說從槍管里連續(xù)發(fā)射的子彈，我們要確切地知道是哪發(fā)子彈命中靶心一樣。所以為使問題簡化，我們可以將上面“從光源發(fā)出的光”改為從光源發(fā)出的一個光子，我們只考察這一個光子的情況。第二個問題是：當火車在運動過程中，從光源發(fā)射的垂直于火車運動方向的這個光子能否被火車上的觀察者接收到，在路基上的觀察者是否真的能觀察到這個光子走了鋸齒形的路線呢？我個人認為，不管是車上的觀察者還是路基上的觀察者都不可能觀察到例子中所描述的現(xiàn)象，所以例子中給出的這個前提條件本身就是錯誤的。從邁克爾遜和莫雷的實驗中，我們知道光速與光源的運動是無關(guān)的。所以當垂直發(fā)射的光子離開光源時，光子將仍然保持垂直于火車運動方向的運動，由于光子是垂直于鏡面發(fā)射的，所以當光子遇鏡面返回時要按原路回到它出發(fā)的空間位置，這時候火車或光源已經(jīng)移動到另一個地方了，隨火車運動的觀察者是不可能接收到從光源垂直發(fā)射出的光子的。那么在運動的火車上能否接收到從一個隨火車運動的光源發(fā)射的光子呢？答案是肯定的，如果從光源發(fā)射的光子與運動的火車存在一個小于900角度夾角的話，火車的速度與夾角之間的關(guān)系是：
V=C×cosθ
這里V是火車的速度，C是光速，θ為發(fā)射的光子運動方向與火車運動方向之間的夾角。在這個等式中，當θ等于900時，cosθ等于零即要求火車的速度V等于零才能接收到光源發(fā)射的光子。當θ等于00時，cosθ等于1即V要等于C才行。
如果光源只能發(fā)射垂直于運動方向的光子的話，那么隨火車運動方向上的觀察者永遠也接收不到返回的光子，路基上的觀察者也不會看到鋸齒形的光線。之所以會發(fā)生這樣的錯誤，原因是由于把從光源發(fā)出的（垂直和具有夾角）兩個光子的行為當成是一個光子的行為所致。
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