等差數(shù)列專題訓練及答案

　　一、填空題

　　1.(2013重慶高考)若2，a，b，c,9成等差數(shù)列，則c-a=________.

　　[解析] 由題意得該等差數(shù)列的公差d==，

　　所以c-a=2d=.

　　[答案]

　　2.在等差數(shù)列{an}中，d=2，a15=-10，則S15=________.

　　[解析] 由a15=a1+142=-10得a1=-38，

　　所以S15===-360.

　　[答案] -360

　　3.等差數(shù)列{an}前9項的和等于前4項的和，若a1=1，ak+a4=0，則k=________.

　　[解析] 由S9-S4=0，即a5+a6+a7+a8+a9=0，即a7=0.

　　又ak+a4=0=2a7，故k=10.

　　[答案] 10

　　4.(2012福建高考改編)等差數(shù)列{an}中，a1+a5=10，a4=7，則數(shù)列{an}的公差為________.

　　[解析] 法一：設等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意得

　　解得d=2.

　　法二：在等差數(shù)列{an}中，a1+a5=2a3=10，a3=5.

　　又a4=7，公差d=7-5=2.

　　[答案] 2

　　5.如果等差數(shù)列{an}中，a5+a6+a7=15，那么a3+a4++a9=________.

　　[解析] 等差數(shù)列{an}中，a5+a6+a7=15，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得3a6=15，解得a6=5.

　　那么a3+a4++a9=7a6=35.

　　[答案] 35

　　6.《九章算術(shù)》竹九節(jié)問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為________升.

　　[解析] 設自上第一節(jié)竹子容量為a1，則第9節(jié)容量為a9，且數(shù)列{an}為等差數(shù)列.

　　則

　　解之得a1=，d=，

　　故a5=a1+4d=.

　　[答案]

　　7.(2012遼寧高考改編)在等差數(shù)列{an}中，已知a4+a8=16，則該數(shù)列前11項和S11=________.

　　[解析] S11===88.

　　[答案] 88

　　8.(2013重慶高考)已知{an}是等差數(shù)列，a1=1，公差d0，Sn為其前n項和，若a1，a2，a5成等比數(shù)列，則S8=________.

　　[解析] a1，a2，a5成等比數(shù)列，a=a1a5，

　　(1+d)2=1(4d+1)，d2-2d=0.

　　d0，d=2.

　　S8=81+2=64.

　　[答案] 64

　　二、解答題

　　9.(2014湖北高考)已知等差數(shù)列{an}滿足：a1=2，且a1，a2，a5成等比數(shù)列.

　　(1)求數(shù)列{an}的通項公式;

　　(2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，是否存在正整數(shù)n，使得Sn60n+800?若存在，求n的最小值;若不存在，說明理由.

　　[解] (1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，依題意，2,2+d,2+4d成等比數(shù)列，故有(2+d)2=2(2+4d)，

　　化簡得d2-4d=0，解得d=0或d=4.

　　當d=0時，an=2;

　　當d=4時，an=2+(n-1)4=4n-2，

　　從而得數(shù)列{an}的通項公式為an=2或an=4n-2.

　　(2)當an=2時，Sn=2n.顯然2n60n+800，

　　此時不存在正整數(shù)n，使得Sn60n+800成立.

　　當an=4n-2時，Sn==2n2.

　　令2n260n+800，即n2-30n-4000，

　　解得n40或n-10(舍去)，

　　此時存在正整數(shù)n，使得Sn60n+800成立，n的最小值為41.

　　綜上，當an=2時，不存在滿足題意的n;

　　當an=4n-2時，存在滿足題意的n，其最小值為41.

　　10.(2013福建高考)已知等差數(shù)列{an}的公差d=1，前n項和為Sn.

　　(1)若1，a1，a3成等比數(shù)列，求a1;

　　(2)若S5a1a9，求a1的取值范圍.

　　[解] (1)因為數(shù)列{an}的公差d=1，且1，a1，a3成等比數(shù)列，所以a=1(a1+2)，

　　即a-a1-2=0，解得a1=-1或a1=2.

　　(2)因為數(shù)列{an}的公差d=1，且S5a1a9，

　　所以5a1+10a+8a1，

　　即a+3a1-100，解得-5

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