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淺說解決問題的策略與教學(xué)(沈重予)
《數(shù)學(xué)課程標準(實驗稿)》在課程總體目標的“解決問題”方面指出：(學(xué)生)形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題策略的多樣性。課程標準解讀中只闡述策略的重要性，沒有說明什么是策略。在一些數(shù)學(xué)教學(xué)專著里，雖然專家們談了解決問題的策略，但也不是共識的界說。這一問題可以追溯到20世紀80年代世界性的數(shù)學(xué)課程改革，許多國家和地區(qū)紛紛把“問題解決”作為學(xué)校數(shù)學(xué)教育的核心�！皢栴}解決”主要有二方面的含義：(1)問題解決是重要的社會活動。在日常生活、生產(chǎn)勞動、科學(xué)研究等各個領(lǐng)域，人們都要解決問題。遇到的問題，有些是熟悉的，已經(jīng)有解決的方法；有些是新穎的，暫時沒有現(xiàn)成的方法。因此，人們一方面要積累一些模式用于前一類問題的解決，另一方面還要形成一些策略來解決后一類問題。(2)問題解決是學(xué)校教育的一項任務(wù)。學(xué)校教育是為了培養(yǎng)能適應(yīng)當今和未來社會需要的人。數(shù)學(xué)課程作為一門基礎(chǔ)課程，應(yīng)該具有前瞻性，要把善于提出問題、樂于解決問題列為課程目標，大力培養(yǎng)學(xué)生解決問題的意識和能力。(3)問題解決是數(shù)學(xué)教學(xué)的一種方式。如果數(shù)學(xué)教學(xué)把一部分內(nèi)容用問題解決的方式進行，學(xué)生就有機會提出問題和解決問題，就能經(jīng)常開展解決問題的活動，久而久之，就會逐漸習(xí)慣客觀理性地面對問題，獲得解決問題的方法、技巧及體驗，形成解決問題的策略。
我國數(shù)學(xué)課程改革把解決問題作為課程目標的一個方面，在課程標準里提出解決問題的策略，順應(yīng)了先進的課程發(fā)展方向。其實，大多數(shù)教師憑自己的知識經(jīng)驗，都能夠體會課程標準里的“策略”指的是什么，都能夠理解“策略”的教學(xué)價值，都能夠接受關(guān)于“策略”的教學(xué)內(nèi)容和任務(wù)，沒有必要糾纏于“策略”的嚴密定義。同樣，課堂教學(xué)幫助學(xué)生體驗策略、形成策略，也不需要對“策略”是什么意思進行過多的說明或解釋，學(xué)生能夠在解決問題時感受“策略”的含義。
二、教學(xué)哪些策略
人類在大量解決問題的實踐中，總結(jié)了解決數(shù)學(xué)問題的一般過程，主要分“提出和理解問題、擬訂方案、執(zhí)行計劃、評價反思”四個階段。解決問題的一般步驟是比較概括的上位觀念，可操作性并不強，必須落實于具體的方法、手段上。如，理解問題是在頭腦里構(gòu)造問題的表征，這一構(gòu)造活動總是圍繞已知條件與未知問題進行的。如果借助一些有效的形式和技術(shù)，效果會很好。再如，解決以前曾經(jīng)見過的問題，要選擇可以利用的模型；解決首次遇到的問題，擬訂計劃需要數(shù)學(xué)思想統(tǒng)領(lǐng)，需要數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗支持。又如，執(zhí)行計劃是既嚴格又靈活的過程，有時會調(diào)整原來的方案，甚至推翻并重新設(shè)計方案，有時還會跳過原先方案中的某些程序，加速求解的進程。還有反思什么、積累什么……都涉及了解決問題的策略。
解決問題的策略有很多，教材兼顧策略的可接受性和策略本身的實際價值，主要編排了以下策略： 第—學(xué)段 綜合與分析 四年級 整理、畫圖 五年級 枚舉、倒推 六年級 嘗試、轉(zhuǎn)化 綜合與分析是對問題里的信息進行加工，形成解決問題的思路、計劃�！熬C合”著重研究已知條件之間的聯(lián)系，派生出新的數(shù)據(jù)條件，為解決問題增添新的資源�！胺治觥敝販贤l件與問題之間的聯(lián)系，在聯(lián)結(jié)點上把復(fù)雜的問題分解成連續(xù)的簡單問題。綜合與分析是基本的思維方法，并且總是結(jié)伴而行、相輔相成的。教材在一、二年級解決一步計算的實際問題，孕育著綜合、分析的思想。三年級通過兩步計算實際問題的教學(xué)，初步學(xué)會綜合與分析的思考方法。
整理、畫圖是加工信息的表現(xiàn)形式。小學(xué)數(shù)學(xué) 讓學(xué)生解決的問題，大多以圖畫情境或文字講述的方式呈現(xiàn)，在頭腦里表征數(shù)學(xué)問題，要排除(或淡化)非數(shù)學(xué)的內(nèi)容和無關(guān)的數(shù)據(jù)，保留有價值的數(shù)學(xué)信息；要把分散、零星的重要數(shù)據(jù)組織起來，暴露蘊含的某些關(guān)系。另外，圖形直觀能把一些較難理解的問題，一些較難發(fā)現(xiàn)的關(guān)系變得易懂明朗。所以，整理與畫圖有益于理解題意，有助于分析、綜合，是解決問題的策略。第一學(xué)段的教材中出現(xiàn)了示意圖、線條圖、線段圖……利用圖畫表達數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系，是以后學(xué)習(xí)畫圖的基礎(chǔ)。四年級把整理、畫圖作為策略教學(xué)，讓學(xué)生體驗整理、畫圖對解決問題的積極意義，學(xué)會一些整理、畫圖的方法，主動應(yīng)用到解決問題的過程中。
化歸是解決問題的重要策略，在解決新穎的、復(fù)雜的問題時十分有用，化歸有很多具體情況和方法，如特殊與一般的轉(zhuǎn)化、動與靜的轉(zhuǎn)化、順與逆的轉(zhuǎn)化、正與反的轉(zhuǎn)化……教材聯(lián)系小學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，以及思維、能力的發(fā)展水平，著重教學(xué)將新知轉(zhuǎn)化為舊知，并少量安排了把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題。
嘗試是解決問題時經(jīng)�？紤]采用的一種方法。解決一個從未見過的問題，經(jīng)驗系統(tǒng)里沒有現(xiàn)成的模式可直接利用。這時，猜一猜、估一估往往是解決問題的突破口，猜與估把新的問題情境與一些已有的圖式聯(lián)系起來了。當然，猜想與估計不一定就是問題的答案，有可能是，也可能不是，這就需要通過驗證來確認或排除。當今和未來社會里，人們解決新穎問題的幾率越來越高，嘗試作為一種方法，驗證作為一種科學(xué)態(tài)度，兩者有機配合，是非常有效的策略。教材編排嘗試策略，也符合課程標準“經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動過程，發(fā)展合情推理和初步演繹推理能力”的精神。
三、怎樣教學(xué)“策略”
“策略”作為解決問題的計策、謀略，與“方法”有區(qū)別，也有聯(lián)系。“方法”一般具有行為特征，有操作的成分，而“策略”比方法上位，是組織和開展行動的方針，能指導(dǎo)有效地使用方法�！胺椒ā笨梢詮耐獠枯斎�，而“策略”只能在內(nèi)部滋生，我們可以通過講解、示范、模仿，把方法教給學(xué)生，但無法代替他們形成策略。正如下棋、打牌，要學(xué)會走棋、出牌，可以拜會下棋、會打牌的人為師，從他那里學(xué)到方法。如果希望走出妙棋、打出好牌，則必須經(jīng)常下棋、打牌，積累經(jīng)驗，形成策略，即使有高手指點，也要自己領(lǐng)悟。
在教學(xué)解決問題的策略之前，學(xué)生已經(jīng)解決過許多問題，初步積累了一些解決問題的知識和方法，但都是就事論事的，對生活經(jīng)驗的依賴比較明顯。解決問題的教學(xué)，其目的不僅僅滿足于找到問題的答案，而在于形成解決問題的策略與能力。過去的解題經(jīng)歷，是形成策略的寶貴資源，形成策略需要自主“體驗”。首先要體驗方法的具體內(nèi)容和使用要領(lǐng)，學(xué)會方法；然后在廣泛、靈活地應(yīng)用方法解決問題的過程中，體驗方法的價值。所以說，教學(xué)策略既不能離開方法說空話，也不能拘泥于方法犯教條主義。
教學(xué)策略，要在問題情境里激活相關(guān)的方法。三年級(上冊)第四單元“加和減”里的兩步汁算應(yīng)用題，要初步形成分析法思路。例題用一條線段表示褲子的價錢，讓學(xué)生畫出表示上衣價錢的線段，計算買1套衣服要用的錢。畫表示上衣價錢的線段，能感受已知條件“褲子單價28元”與“上衣價錢是褲子的3倍”的聯(lián)系，感受所求問題“一套衣服的價錢”與已知條件“褲子的價錢”的關(guān)系，產(chǎn)生解決問題的思路�！霸囈辉嚒崩^續(xù)求上衣比褲子貴多少元，“想想做做”里解決“已知兩個數(shù)相差幾，求這兩個數(shù)的和”的問題，把解答例題的經(jīng)驗向新的問題情境擴展。縱觀例題、“試一試”“想想做做”里的實際問題，反思“求總和”與“求相差數(shù)”的方法，就能初步形成從問題出發(fā)，向條件推理的分析法思路。前幾年有些課上，教師沒有引導(dǎo)學(xué)生對解決問題的過程與方法再認反思，甚至沒有意識到解題思路，影響了學(xué)生解題策略的形成。
教學(xué)策略時，如果相關(guān)的經(jīng)驗不夠豐富，那就需要講一些方法，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)方法的同時體驗方法，形成解決問題的策略。四年級(上冊)的“整理”策略，就是這樣教學(xué)的。例1利用歸一問題講整理，先把小明和小華買練習(xí)本的本數(shù)與用去的錢數(shù)填在表格里，示范了整理條件、問題的方法，以及通過整理形成的解題思路。接著讓學(xué)生解答小軍42元買了多少本，模仿著在表格里整理信息，體會整理對解決問題的積極作用。然后用連線形式表現(xiàn)小明、小華，小軍各人買的本數(shù)與用去錢數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，凸現(xiàn)了整理是溝通數(shù)量之間的聯(lián)系，使學(xué)生深刻地感受整理的方法和意義�！跋胂胱鲎觥钡�2題用整理策略解決歸總問題，學(xué)生首次解決歸總問題，沒有現(xiàn)成方法可以使用，甚至理解題意都會有閑難。教材指點學(xué)生把條件與問題表示在表格中，弄明白這個實際問題里有三種球 的價錢與買的個數(shù)，通過整理弄懂題意，形成解法，充分體現(xiàn)整理是一種有效的策略，尤其是面臨新穎的問題，或在不理解問題、想不到解法時，整理對解決問題是十分必要的。整理信息的形式是多樣的，畫表格整理雖然中規(guī)中矩，卻有點麻煩，麻煩往往降低可行性。摘錄相關(guān)信息，或者用線連一連，比較寬松、靈活，可行性強得多。另外，整理既可以借助外顯的形式進行，還可以在頭腦里進行，具有在頭腦里整理的習(xí)慣與能力，是策略教學(xué)的目標追求。教材充分體現(xiàn)了這樣的意圖，“想想做做”的前兩題給出了表格，要求填表整理。后兩題沒有給出表格，讓學(xué)生用自己喜歡的形式進行整理，適當作些摘錄或者在題目上勾勾畫畫都可以，體現(xiàn)了具體運用策略的形式是多樣的。
五年級(上冊)編排枚舉策略主要有兩點原因：一是有些實際問題里，條件與問題的關(guān)系不能歸結(jié)為常見數(shù)量關(guān)系，因而很難列式計算出答案。正如例1圍羊圈，幾乎每個學(xué)生都能說出一兩種圍法，但不容易說出一共有幾種圍法，更列不出算式。如果從能夠說出的圍法切入，依次把其他各種圍法都排列出來，問題自然就解決了。二是不重復(fù)、不遺漏地枚舉，需要有條理的細致思考，對思維品質(zhì)有很好的作用，是數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)。如例2里訂雜志，先考慮訂l本，再考慮訂2本，最后考慮訂3本，這已經(jīng)是有序思考。在只訂l本和訂2本里，還要列舉出各種可能，又有助于培養(yǎng)思維的條理性。教學(xué)枚舉策略和教學(xué)其他策略一樣，仍然要注重學(xué)會方法、體驗方法，讓枚舉的形式靈活多樣，富有個性。例3的教學(xué)，首先要理解問題情境，營造枚舉氛圍，找到枚舉的切入口。23人到旅館住宿，住的房間有3人間和2人間，3人間的間數(shù)沒有規(guī)定，可能是1間、2間……住的2人間也可能是1間、2間……由此，解決這個問題可以用一一列舉的方法，從3人間住1間開始列舉，或者從2人間住1間開始列舉。其次要隨時檢驗每次列舉的情況，判斷是否符合題意。問題情境規(guī)定每個房間不能有空床位，這就是說，3人間按1間、2間……依次列舉，必須相應(yīng)的2人間沒有空床位，才是合適的安排，可以保留。同樣，2人間按1間、2間……列舉，相應(yīng)的3人間有空床位，屬不合適的安排，必須放棄。然后要體會這個問題用枚舉方法解答的好處，體會枚舉的起點和有序枚舉的過程，比較從3人間開始枚舉和從2人間開始枚舉哪一種優(yōu)點明顯。最后還要體會檢驗的重要性，這在前面的問題中是沒有的，在六年級運用嘗試的策略解決問題時，也需要類似的經(jīng)驗。
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