歐幾里得

歐幾里德、

歐幾里得(歐幾里德、)

歐幾里得（希臘文：Ευκλειδη? ，公元前325年—公元前265年），古希臘數(shù)學(xué)家，被稱為“幾何之父”。他活躍于托勒密一世（公元前323年－公元前283年）時(shí)期的亞歷山大里亞，他最著名的著作《幾何原本》是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛的認(rèn)為是歷史上最成功的教科書。歐幾里得也寫了一些關(guān)于透視、圓錐曲線、球面幾何學(xué)及數(shù)論的作品。

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學(xué)院教授 歐幾里得(Euclid)是古希臘著名數(shù)學(xué)家、歐氏幾何學(xué)開創(chuàng)者。歐幾里得生于雅典，當(dāng)時(shí)雅典就是古希臘文明的中心。濃郁的文化氣氛深深地感染了歐幾里得，當(dāng)他還是個(gè)十幾歲的少年時(shí)，就迫不及待地想進(jìn)入“柏拉圖學(xué)園”學(xué)習(xí)。 一天，一群年輕人來(lái)到位于雅典城郊外林蔭中的“柏拉圖學(xué)園”。只見學(xué)園的大門緊閉著，門口掛著一塊木牌，上面寫著：“不懂幾何者，不得入內(nèi)! ”這是當(dāng)年柏拉圖親自立下的規(guī)矩，為的是讓學(xué)生們知道他對(duì)數(shù)學(xué)的重視，然而卻把前來(lái)求教的年輕人給鬧糊涂了。有人在想，正是因?yàn)槲也欢當(dāng)?shù)學(xué)，才要來(lái)這兒求教的呀，如果懂了，還來(lái)這兒做什么?正在人們面面相覷，不知是退、是進(jìn)的時(shí)候，歐幾里得從人群中走了出來(lái)，只見他整了整衣冠，看了看那塊牌子，然后果斷地推開了學(xué)園大門，頭也沒(méi)有回地走了進(jìn)去。 “柏拉圖學(xué)園”是柏拉圖40歲時(shí)創(chuàng)辦的一所以講授數(shù)學(xué)為主要內(nèi)容的學(xué)校。在學(xué)園里，師生之間的教學(xué)完全通過(guò)對(duì)話的形式進(jìn)行，因此要求學(xué)生具有高度的抽象思維能力。數(shù)學(xué)，尤其是幾何學(xué)，所涉及對(duì)象就是普遍而抽象的東西。它們同生活中的實(shí)物有關(guān)，但是又不來(lái)自于這些具體的事物，因此學(xué)習(xí)幾何被認(rèn)為是尋求真理的最有效的途徑。柏拉圖甚至聲稱：“上帝就是幾何學(xué)家�！边@一觀點(diǎn)不僅成為學(xué)園的主導(dǎo)思想，而且也為越來(lái)越多的希臘民眾所接受。人們都逐漸地喜歡上了數(shù)學(xué)，歐幾里得也不例外。他在有幸進(jìn)入學(xué)園之后，便全身心地沉潛在數(shù)學(xué)王國(guó)里。他潛心求索，以繼承柏拉圖的學(xué)術(shù)為奮斗目標(biāo)，除此之外，他哪兒也不去，什么也不干，熬夜翻閱和研究了柏拉圖的所有著作和手稿，可以說(shuō)，連柏拉圖的親傳弟子也沒(méi)有誰(shuí)能像他那樣熟悉柏拉圖的學(xué)術(shù)思想、數(shù)學(xué)理論。經(jīng)過(guò)對(duì)柏拉圖思想的深入探究，他得出結(jié)論：圖形是神繪制的，所有一切現(xiàn)象的邏輯規(guī)律都體現(xiàn)在圖形之中。因此，對(duì)智慧訓(xùn)練，就應(yīng)該從圖形為主要研究對(duì)象的幾何學(xué)開始。他確實(shí)領(lǐng)悟到了柏拉圖思想的要旨，并開始沿著柏拉圖當(dāng)年走過(guò)的道路，把幾何學(xué)的研究作為自己的主要任務(wù)，并最終取得了世人敬仰的成就。

學(xué)科貢獻(xiàn)

幾何學(xué)貢獻(xiàn)

最早的幾何學(xué)興起于公元前7世紀(jì)的古埃及，后經(jīng)古希臘等人傳到古希臘的都城，又借畢達(dá)哥拉斯學(xué)派系統(tǒng)奠基。在歐幾里得以前，人們已經(jīng)積累了許多幾何學(xué)的知識(shí)，然而這些知識(shí)當(dāng)中，存在一個(gè)很大的缺點(diǎn)和不足，就是缺乏系統(tǒng)性。大多數(shù)是片斷、零碎的知識(shí)，公理與公理之間、證明與證明之間并沒(méi)有什么很強(qiáng)的聯(lián)系性，更不要說(shuō)對(duì)公式和定理進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯論證和說(shuō)明。因此，隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的繁榮和發(fā)展，特別是隨著農(nóng)林畜牧業(yè)的發(fā)展、土地開發(fā)和利用的增多，把這些幾何學(xué)知識(shí)加以條理化和系統(tǒng)化，成為一整套可以自圓其說(shuō)、前后貫通的知識(shí)體系，已經(jīng)是刻不容緩，成為科學(xué)進(jìn)步的大勢(shì)所趨。歐幾里得通過(guò)早期對(duì)柏拉圖數(shù)學(xué)思想，尤其是幾何學(xué)理論系統(tǒng)而周詳?shù)难芯�，已敏銳地察覺(jué)到了幾何學(xué)理論的發(fā)展趨勢(shì)。他下定決心，要在有生之年完成這一工作。為了完成這一重任，歐幾里得不辭辛苦，長(zhǎng)途跋涉，從愛(ài)琴海邊的雅典古城，來(lái)到尼羅河流域的埃及新埠—亞歷山大城，為的就是在這座新興的，但文化蘊(yùn)藏豐富的異域城市實(shí)現(xiàn)自己的初衷。在此地的無(wú)數(shù)個(gè)日日夜夜里，他一邊收集以往的數(shù)學(xué)專著和手稿，向有關(guān)學(xué)者請(qǐng)教，一邊試著著書立說(shuō)，闡明自己對(duì)幾何學(xué)的理解，哪怕是尚膚淺的理解。經(jīng)過(guò)歐幾里得忘我的勞動(dòng)，終于在公元前300年結(jié)出豐碩的果實(shí)，這就是幾經(jīng)易稿而最終定形的《幾何原本》一書。這是一部傳世之作，幾何學(xué)正是有了它，不僅第一次實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)化、條理化，而且又孕育出一個(gè)全新的研究領(lǐng)域——?dú)W幾里得幾何學(xué)，簡(jiǎn)稱歐氏幾何。

幾何學(xué)著作

《幾何原本》是一部集前人思想和歐幾里得個(gè)人創(chuàng)造性于一體的不朽之作。傳到今天的歐幾里得著作并不多，然而我們卻可以從這部書詳細(xì)的寫作筆調(diào)中，看出他真實(shí)的思想底蘊(yùn)。 全書共分13卷。書中包含了5條“公理”、5條“公設(shè)”、23個(gè)定義和467個(gè)命題。在每一卷內(nèi)容當(dāng)中，歐幾里得都采用了與前人完全不同的敘述方式，即先提出公理、公設(shè)和定義，然后再由簡(jiǎn)到繁地證明它們。這使得全書的論述更加緊湊和明快。而在整部書的內(nèi)容安排上，也同樣貫徹了他的這種獨(dú)具匠心的安排。它由淺到深，從簡(jiǎn)至繁，先后論述了直邊形、圓、比例論、相似形、數(shù)、立體幾何以及窮竭法等內(nèi)容。其中有關(guān)窮竭法的討論，成為近代微積分思想的來(lái)源。僅僅從這些卷帙的內(nèi)容安排上，我們就不難發(fā)現(xiàn)，這部書已經(jīng)基本囊括了幾何學(xué)從公元前7世紀(jì)的古埃及，一直到公元前4世紀(jì)——?dú)W幾里得生活時(shí)期——前后總共400多年的數(shù)學(xué)發(fā)展歷史。這其中，頗有代表性的便是在第1卷到第4卷中，歐幾里得對(duì)直邊形和圓的論述。正是在這幾卷中，他總結(jié)和發(fā)揮了前人的思維成果，巧妙地論證了畢達(dá)哥拉斯定理，也稱“勾股定理”。即在一直角三角形中，斜邊上的正方形的面積等于兩條直角邊上的兩個(gè)正方形的面積之和。他的這一證明，從此確定了勾股定理的正確性并延續(xù)了2000多年。《幾何原本》是一部在科學(xué)史上千古流芳的巨著。它不僅保存了許多古希臘早期的幾何學(xué)理論，而且通過(guò)歐幾里得開創(chuàng)性的系統(tǒng)整理和完整闡述，使這些遠(yuǎn)古的數(shù)學(xué)思想發(fā)揚(yáng)光大。它開創(chuàng)了古典數(shù)論的研究，在一系列公理、定義、公設(shè)的`基礎(chǔ)上，創(chuàng)立了歐幾里得幾何學(xué)體系，成為用公理化方法建立起來(lái)的數(shù)學(xué)演繹體系的最早典范。照歐氏幾何學(xué)的體系，所有的定理都是從一些確定的、不需證明而礴然為真的基本命題即公理演繹出來(lái)的。在這種演繹推理中，對(duì)定理的每個(gè)證明必須或者以公理為前提，或者以先前就已被證明了的定理為前提，最后做出結(jié)論。這一方法后來(lái)成了用以建立任何知識(shí)體系的嚴(yán)格方式，人們不僅把它應(yīng)用于數(shù)學(xué)中，也把它應(yīng)用于科學(xué)，而且也應(yīng)用于神學(xué)甚至哲學(xué)和倫理學(xué)中，對(duì)后世產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。盡管歐幾里得的幾何學(xué)在差不多2000年間，被奉為嚴(yán)格思維的范例，但實(shí)際上它并非那么完美。人們發(fā)現(xiàn)，一些被歐幾里得作為不證自明的公理，卻難以自明，越來(lái)越遭到懷疑。比如“第五平行公設(shè)”，歐幾里得在《幾何原本》一書中斷言：“通過(guò)已知外一已知點(diǎn)，能作且僅能作一條直線與已知直線平行。 ”這個(gè)結(jié)果在普通平面當(dāng)中尚能夠得到經(jīng)驗(yàn)的印證，那么在無(wú)處不在的閉合球面之中(地球就是個(gè)大曲面)這個(gè)平行公理卻是不成立的。俄國(guó)人羅伯切夫斯基和德國(guó)人黎曼由此創(chuàng)立了非歐幾何學(xué)。 此外，歐幾里得在《幾何原本》中還對(duì)完全數(shù)做了探究，他通過(guò) 2^(n-1)·(2^n-1) 的表達(dá)式發(fā)現(xiàn)頭四個(gè)完全數(shù)的。 當(dāng) n= 2: 2^1(2^2 ? 1) = 6 當(dāng) n= 3: 2^2(2^3 ? 1) = 28 當(dāng) n= 5: 2^4(2^5 ? 1) = 496 當(dāng) n= 7: 2^6(2^7 ? 1) = 8128 一個(gè)偶數(shù)是完全數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它具有如下形式：2^(n ? 1).(2^n ? 1)，此事實(shí)的充分性由歐幾里得證明，而必要性則由歐拉所證明。 其中2^n? 1是素?cái)?shù)，上面的6和28對(duì)應(yīng)著n=2和3的情況。我們只要找到了一個(gè)形如2^n? 1的素?cái)?shù)（即梅森素?cái)?shù)），也就知道了一個(gè)偶完全數(shù)。 盡管沒(méi)有發(fā)現(xiàn)奇完全數(shù)，但是當(dāng)代數(shù)學(xué)家奧斯丁·歐爾證明，若有奇完全數(shù)，則其形式必然是12p+ 1或36p+ 9的形式，其中p是素?cái)?shù)。在10^18以下的自然數(shù)中奇完全數(shù)是不存在的。 首五個(gè)完全數(shù)是： 6 28 496 8128 33550336(8位)

歐幾里得算法

歐幾里得算法歐幾里德算法又稱輾轉(zhuǎn)相除法，用于計(jì)算兩個(gè)整數(shù)a,b的最大公約數(shù)。

軼事

歐幾里得是希臘亞歷山大的數(shù)學(xué)教師。著名的古希臘學(xué)者阿基米德，是他“學(xué)生的學(xué)生”——卡農(nóng)是阿基米德的老師，而歐幾里得是卡農(nóng)的老師。 歐幾里得不僅是一位學(xué)識(shí)淵博的數(shù)學(xué)家，同時(shí)還是一位有“溫和仁慈的藹然長(zhǎng)者 ”之稱的教育家。在著書育人過(guò)程中，他始終沒(méi)有忘記當(dāng)年掛在“柏拉圖學(xué)園”門口的那塊警示牌，牢記著柏拉圖學(xué)派自古承襲的嚴(yán)謹(jǐn)、求實(shí)的傳統(tǒng)學(xué)風(fēng)。他對(duì)待學(xué)生既和藹又嚴(yán)格，自己卻從來(lái)不宣揚(yáng)有什么貢獻(xiàn)。對(duì)于那些有志于窮盡數(shù)學(xué)奧秘的學(xué)生，他總是循循善誘地予以啟發(fā)和教育，而對(duì)于那些急功近利、在學(xué)習(xí)上不肯刻苦鉆研的人，則毫不客氣地予以批評(píng)。 在柏拉圖學(xué)派晚期導(dǎo)師普羅克洛斯（約410～485）的《幾何學(xué)發(fā)展概要》中，就記載著這樣一則故事，說(shuō)的是數(shù)學(xué)在歐幾里得的推動(dòng)下，逐漸成為人們生活中的一個(gè)時(shí)髦話題(這與當(dāng)今社會(huì)截然相反)，以至于當(dāng)時(shí)亞里山大國(guó)王托勒密一世也想趕這一時(shí)髦，學(xué)點(diǎn)兒幾何學(xué)。雖然這位國(guó)王見多識(shí)廣，但歐氏幾何卻令他學(xué)的很吃力。于是，他問(wèn)歐幾里得“學(xué)習(xí)幾何學(xué)有沒(méi)有什么捷徑可走？”，歐幾里得笑到：“抱歉，陛下!學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和學(xué)習(xí)一切科學(xué)一樣，是沒(méi)有什么捷徑可走的。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，人人都得獨(dú)立思考，就像種莊稼一樣，不耕耘是不會(huì)有收獲的。在這一方面，國(guó)王和普通老百姓是一樣的�！� 從此,“在幾何學(xué)里,沒(méi)有專為國(guó)王鋪設(shè)的大道�！边@句話成為千古傳誦的學(xué)習(xí)箴言。 又有則故事。那時(shí)候，人們建造了高大的金字塔，可是誰(shuí)也不知道金字塔究竟有多高。有人這么說(shuō)：“要想測(cè)量金字塔的高度，比登天還難！”這話傳到歐幾里得耳朵里。他笑著告訴別人：“這有什么難的呢？當(dāng)你的影子跟你的身體一樣長(zhǎng)的時(shí)候，你去量一下金字塔的影子有多長(zhǎng)，那長(zhǎng)度便等于金字塔的高度！” 來(lái)拜歐幾里得為師，學(xué)習(xí)幾何的人，越來(lái)越多。有的人是來(lái)湊熱鬧的，看到別人學(xué)幾何，他也學(xué)幾何。斯托貝烏斯（約500）記述了另一則故事,一位學(xué)生曾這樣問(wèn)歐幾里得：“老師，學(xué)習(xí)幾何會(huì)使我得到什么好處？”歐幾里得思索了一下，請(qǐng)仆人拿點(diǎn)錢給這位學(xué)生。歐幾里得說(shuō)：給他三個(gè)錢幣，因?yàn)樗�想在學(xué)習(xí)中獲取實(shí)利。 一天一群年輕人來(lái)到位于雅典城郊外的林蔭中的“柏拉圖學(xué)院”。只見大門緊閉著，門口掛著一塊木塊，上面寫著：“不懂?dāng)?shù)學(xué)者，不得入內(nèi)！”這是柏拉圖親自立下的規(guī)矩，為的是讓學(xué)生們知道他重視數(shù)學(xué)，然而卻把前來(lái)求教的年輕人們給鬧糊涂了。有人在想正是因?yàn)槲也欢當(dāng)?shù)學(xué)才前來(lái)求教的啊，如果懂了，還來(lái)這兒干什么？正當(dāng)人們面面相覷，不只是退還是進(jìn)的時(shí)候，歐幾里得從人群中走了出來(lái)，只見他整了整衣冠，看了看那塊牌子，然后果斷的推開了學(xué)院大門，頭也沒(méi)回就走了進(jìn)去。

著作

歐幾里得將公元前7世紀(jì)以來(lái)希臘幾何積累起來(lái)的豐富成果整理在嚴(yán)密的邏輯系統(tǒng)之中，使幾何學(xué)成為一門獨(dú)立的、演繹的科學(xué)。除了《幾何原本》之外，他還有不少著作，可惜大都失傳�！兑阎獢�(shù)》是除《原本》之外惟一保存下來(lái)的他的希臘文純粹幾何著作，體例和《原本》前6卷相近，包括94個(gè)命題,指出若圖形中某些元素已知,則另外一些元素也可以確定�！秷D形的分割》現(xiàn)存拉丁文本與阿拉伯文本，論述用直線將已知圖形分為相等的部分或成比例的部分。《光學(xué)》是早期幾何光學(xué)著作之一，研究透視問(wèn)題，敘述光的入射角等于反射角，認(rèn)為視覺(jué)是眼睛發(fā)出光線到達(dá)物體的結(jié)果。還有一些著作未能確定是否屬于歐幾里得，而且已經(jīng)散失。 除了《幾何原本》之外，歐幾里得還有另外五本著作流傳至今。它們與《幾何原本》一樣，內(nèi)容都包含定義及證明。 《已知數(shù)》（Data）指出若幾何難題圖形中的已知元素，內(nèi)容與《幾何原本》的前四卷有密切關(guān)系。 《圓形的分割》（On divisions of figures）現(xiàn)存拉丁文本，論述用直線將已知圖形分為相等的部分或成比例的部分，內(nèi)容與希羅（Heron of Alexandria）的作品相似。 《反射光學(xué)》（Catoptrics）論述反射光在數(shù)學(xué)上的理論，尤其論述形在平面及凹鏡上的圖像。可是有人置疑這本書是否真正出自歐幾里得之手，它的作者可能是提奧（Theon of Alexandria）。 《現(xiàn)象》（Phenomena）是一本關(guān)于球面天文學(xué)的論文，現(xiàn)存希臘文本。這本書與奧托呂科斯（Autolycus of Pitane）所寫的 On the Moving Sphere相似。 《光學(xué)》（Optics）早期幾何光學(xué)著作之一，現(xiàn)存希臘文本。這本書主要研究透視問(wèn)題，敘述光的入射角等于反射角等。

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