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高二數(shù)學(xué)期末考試題（含答案）
高二數(shù)學(xué)期末考試題
一.選擇題(共12題,每題5分)
1.復(fù)數(shù) (其中 為虛數(shù)單位)的虛部是( )
A. B. C. D.
2. 已知 , .若 是 的必要不充分條件,則實數(shù) 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
3. 某單位業(yè)務(wù)人員、管理人員、后勤服務(wù)人員人數(shù)之比依次為15:3:2.為了了解該單位職員的某種情況，采用分層抽樣方法抽出一個容量為 的樣本，樣本中業(yè)務(wù)人員人數(shù)為30，則此樣本的容量 為( )
A.20 B.30 C.40 D.80
4.已知直線 平面 ,直線 平面 ,給出下列命題：
�、� ∥ ; ② ∥ ; ③ ∥ ④ ∥ ;
其中正確命題的序號是( )
A.①②③ B.②③④ C.①③ D.②④
5. 下列說法正確的是( )
A. 命題“若 ，則 ”的逆否命題為真命題
B.“ ”是“ ”的必要不充分條件
C. 命題“ ”的否定是“ ”
D. 命題“若 ，則 ”的否命題為“若 ，則 ”
6.設(shè)隨機變量 服從正態(tài)分布 ，若 ，則
=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.如右圖，已知 為如圖所示的程序框圖輸出結(jié)果，二項式 的
展開式中含有非零常數(shù)項，則正整數(shù) 的最小值為( )
A.4 B.5 C.6 D.7
8.先后擲骰子(骰子的六個面分別標(biāo)有1、2、3、4、5、6個點)兩次落在水平桌面后，記正面朝上
的點數(shù)分別為 ，設(shè)事件 為“ 為偶數(shù)”，事件 為“ 中有偶數(shù)，且 ”，則概率
=( )
A. B. C. D.
9.已知 展開式的二項式系數(shù)的最大值為 ，系數(shù)的最大值為 ，則 =( )
A. B. C. D.
10.有5盆菊花，其中黃菊花2盆、白菊花2盆、紅菊花1盆，現(xiàn)把它們擺放成一排，要求2盆黃菊
花必須相鄰，2盆白菊花不能相鄰，則這5盆花不同的擺放種數(shù)是( )
A.1 2 B.24 C.36 D.48
甲 莖 乙
5 7 1 6 8
8 8 2 2 3 6 7
11. 甲、乙兩名運動員的5次測試成績?nèi)缬覉D所示. 設(shè) 分
別表示甲、乙兩名運動員測試成績的標(biāo)準(zhǔn)差, 分別
表示甲、乙兩名運動員測試成績的平均數(shù)，則有( )
A. , B. ，
C. ， D. ，
12.已知三棱錐 的所有頂點都在球 的球面上， ⊥平面 ， ， ，
， ，則球 的表面積為( )
A. B. C. D.
二.填空題(共4題,每題5分)
13.袋中有大小相同的紅色、白色球各一個，每次任取一個，有放回地摸3次，3次摸到的紅球比白球多1次的概率為___________________.
14. 設(shè) 為正整數(shù), ，經(jīng)計算得 ， ,
，……觀察上述結(jié)果，對任意正整數(shù) ，可推測出一般結(jié)論是____________ .
15. 向面積為 的 內(nèi)任投一點 ，則 的面積小于 的概率為 .
16.如圖，在直三棱柱 中， ，點
是線段 上的一點，且 ， ，則點 到平面
的距離為_______.
三.解答題(共6題,共70分)
17. (本小題滿分10分)
某個體服裝店經(jīng)營某種服裝，在某周內(nèi)獲純利潤 (元)與該周每天銷售這種服裝件數(shù)
之間有如下一組數(shù)據(jù)：
3 4 5 6 7 8 9
66 69 73 81 89 90 91
已知 .
(1)求 ; (2)求純利潤 與每天銷售件數(shù) 之間的回歸方程.
(參考公式： )
18.(本小題滿分12分)
我國新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》指出空氣質(zhì)量指數(shù)在0-50為優(yōu)秀，各類人群可正
常活動.環(huán)保局對我市2014年進行為期一年的空氣質(zhì)量監(jiān)測，得到每天的空氣質(zhì)量指數(shù)，從中隨機抽取50個作為樣本進行分析報告，樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為 ， ， ， ，由此得到本的空氣質(zhì)量指數(shù)頻率分布直方圖，如圖.
(1) 求 的值;
(2) 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計這一年度的空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值;
(3) 如果空氣質(zhì)量指數(shù)不超過 ，就認(rèn)定空氣質(zhì)量為“特優(yōu)等級”，則從這一年的監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機抽取 天的數(shù)值，其中達到“特優(yōu)等級”的天數(shù)為 ，求 的分布列和數(shù)學(xué)期望.
19.(本小題滿分12分)
如圖三棱柱 中，側(cè)面 為菱形， .
(1) 證明： ;
(2)若 ， ， ,
求二面角 的余弦值.
20.(本小題滿分12分)
某校的學(xué)生記者團由理科組和文科組構(gòu)成，具體數(shù)據(jù)如下表所示：
組別 理科 文科
性別 男生 女生 男生 女生
人數(shù) 4 4 3 1
學(xué)校準(zhǔn)備從中選出4人到社區(qū)舉行的大型公益活動進行采訪，每選出一名男生，給其所在小組記1分，每選出一名女生則給其所在小組記2分，若要求被選出的4人中理科組、文科組的學(xué)生都有.
(Ⅰ)求理科組恰好記4分的概率;
(Ⅱ)設(shè)文科男生被選出的人數(shù)為 ，求隨機變量 的分布列和數(shù)學(xué)期望 .
21.(本小題滿分12分)
如圖是某幾何體的直觀圖與三視圖的側(cè)視圖、俯視圖. 在直觀圖中， , 是
的中點. 側(cè)視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示.
(1)在答題紙上的虛線框內(nèi)畫出該幾何體的正視圖，并標(biāo)上數(shù)據(jù);
(2)求證： ∥平面 ;
(3)試問在邊 上是否存在點 ，使 ⊥平面 . 若存在，確定點 的位置;若不存在，
請說明理由.
22.(本小題滿分12分)
設(shè)直線 與橢圓 相交于 兩個不同的點，與 軸相交于點 ，記 為坐標(biāo)原點.
(1)證明： ;
(2)若 , 求△ 的面積取得最大值時的橢圓方程.
高二理科數(shù)學(xué)答案
一.選擇題
CACDD CBBAB BD
二.填空題
13. 14. 15. 16.3
三.解答題
17.(1)
(2)
18.(1) 解：由題意，得 ， ……………1分
解得 . ……………2分
(2)解： 個樣本中空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值為
……………3分
由樣本估計總體，可估計這一年度空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值約為 . …………4分
(3)解：利用樣本估計總體，該年度空氣質(zhì)量指數(shù)在 內(nèi)為“特優(yōu)等級”，
且指數(shù)達到“特優(yōu)等級”的概率為 ，則 ………5分
的取值為 ， ………6分
， ，
， . ……………10分
1 2
P
∴ 的分布列為：
……11分
∴ . ………12分
(或者 )
19. (Ⅰ)連結(jié) ，交 于 ，連結(jié) .因為側(cè)面 為菱形，所以 ，
且 為 與 的中點.又 ，所以 平面 ，故 又 ，故 ……… 4分
(Ⅱ)因為 且 為 的中點，所以
又因為 ，所以 .
故 ，從而 , 兩兩互相垂直.
以 為坐標(biāo)原點， 的方向為 軸正方向， 為單位長，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系 . 因為 ，所以 為等邊三角形.又 ，則
， ， ，
，
設(shè) 是平面的法向量，則
， 即 所以可取
設(shè) 是平面的法向量，則 ， 同理可取
則 ，所以二面角 的余弦值為 . 12分
20. 解：(Ⅰ) (4分)
(Ⅱ) 由題意得 ，于是 的分布列為
0 1 2 3
(只寫出正確分布列表格的扣4分) 的數(shù)學(xué)期望為 (12分)
21.(1)正視圖如圖所示.(注：不標(biāo)中間實線扣1分)………………2分
(2)證明：俯視圖和側(cè)視圖，得 ，
, ， ， ， 平面 ,
.取 的中點 ，連接 、 ，
則 ，且 …4分
∴ 平行且等于 , ∴四邊形EAFM是平行四邊形，
∴ ，又 平面 ，
∴ 平面 .…………………………7分
(3)解，以 為原點，以 的方向為 軸的正方向， 的方
向為 軸正方向， 的方向為 軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則有 (0，0，0)， (0，0，2)， (0，2，0)，
(-2，0，3)， (0，2，1)， (-2，0，0).
設(shè) (-2，-2，2)， (0，-2，1)，
(2，2，0)， (2，2，1).
假設(shè)在 邊上存在點 滿足題意，
∴邊 上存在點 ，滿足 時， ⊥平面 ………………12分
22. (I)解：依題意，直線 顯然不平行于坐標(biāo)軸，故
將 ，
得 ①
由直線l與橢圓相交于兩個不同的點
，即 … 5分
(II)解：設(shè) 由①，得
因為 ，代入上式，得 ……………8分
于是，△ 的面積
其中，上式取等號的條件是
由
將 這兩組值分別代入①，均可解出
所以，△OAB的面積取得最大值的橢圓方程是 ………12分
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