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如何證明等差數(shù)列
如何證明等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列 an=a1+(n-1)d
最大數(shù)加最小數(shù)除以二即
[a1+a1+(n-1)d]/2=a1+(n-1)d/2
{an}的平均數(shù)為
Sn/n=[na1+n(n-1)d/2]/n=a1+(n-1)d/2
得證
1 三個(gè)數(shù)abc成等差數(shù)列，則c-b=b-a
c^2(a+b)-b^2(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab)
b^2(c+a)-a^2(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab)
因c-b=b-a，則(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)
即c^2(a+b)-b^2(c+a)=b^2(c+a)-a^2(b+c)
所以a^2(b+c), b^2(c+a), c^2(a+b) 成等差數(shù)列
等差：an-(an-1)=常數(shù) (n≥2)
等比：an/(an-1=常數(shù) (n≥2)
等差：an-(an-1)=d或2an=(an- 1)+(an+1),(n≥2)
等比：an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an+1)(n≥2).
2
我們推測(cè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=5n-4
下面用數(shù)學(xué)規(guī)納法來證明：
1)容易驗(yàn)證a1=5*1-4=4，a2=5*2-4=6，a3=5*3-4=11，推測(cè)均成立
2)假設(shè)當(dāng)n≤k時(shí)，推測(cè)是成立的，即有aj=5(j-1)-4，(j≤k)
則Sk=a1+a2+…ak=5*(1+2+…+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2
于是S(k+1)=a(k+1)+Sk
而由題意知：(5k-8)S(k+1)-(5k+2)Sk=-20k-8
即：(5k-8)*[a(k+1)+Sk]-(5k+2)Sk=-20k-8
所以(5k-8)a(k+1)-10Sk=-20k-8
即：(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k^2-35k-8=(5k-8)(5k+1)
所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4
即知n=k+1時(shí)，推測(cè)仍成立。
3
在新的數(shù)列中
An=S[4n-(4n-4)]
=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)
A(n-1)=S[4(n-1)-4(n-2)]
=a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)
An-A(n-1)=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)-a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)
=4d+4d+4d+4d+4d
=20d(d為原數(shù)列公差)
20d為常數(shù),所以新數(shù)列為等差數(shù)列上，an=5n-4即為數(shù)列的通項(xiàng)公式，故它為一等差數(shù)列。
4
A(n+1)-2An=2(An-2An-1)A(n+1)-2An=3*2^(n-1)兩邊同時(shí)除2^(n+1)得[A(n+1)/2^(n+1)]-An/2^n=3/4即{An/2^n}的公差為3/4An除以2的n次方為首項(xiàng)為1/2公差為3/4的等差數(shù)列
5
那么你就設(shè)直角三角形地三條邊為a，a+b,a+2b
于是它是直角三角形得到
a+(a+b)=(a+2b)
所以a+a+2ab+b=a+4ab+4b
化簡(jiǎn)得a=2ab+3b
兩邊同時(shí)除以b
解得a/b=3 即a=3b
所以三邊可以寫為 3b ，3b+b 。 3b+2b
所以三邊之比為3：4：5
6
設(shè)等差數(shù)列 an=a1+(n-1)d
最大數(shù)加最小數(shù)除以二即
[a1+a1+(n-1)d]/2=a1+(n-1)d/2
{an}的平均數(shù)為
Sn/n=[na1+n(n-1)d/2]/n=a1+(n-1)d/2
得證
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