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初中數(shù)學定理證明

時間:2023-04-29 19:09:54 證明范文 我要投稿
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初中數(shù)學定理證明

初中數(shù)學定理證明

數(shù)學定理

初中數(shù)學定理證明

三角形三條邊的關系

定理:三角形兩邊的和大于第三邊

推論:三角形兩邊的差小于第三邊

三角形內角和

三角形內角和定理 三角形三個內角的和等于180°

推論1 直角三角形的兩個銳角互余

推論2 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角和

推論3 三角形的一個外角大任何一個和它不相鄰的內角

角的平分線

性質定理 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等

幾何語言:

∵OC是∠AOB的角平分線(或者∠AOC=∠BOC)

PE⊥OA,PF⊥OB

點P在OC上

∴PE=PF(角平分線性質定理)

判定定理 到一個角的兩邊的距離相等的點,在這個角的平分線上

幾何語言:

∵PE⊥OA,PF⊥OB

PE=PF

∴點P在∠AOB的角平分線上(角平分線判定定理)

等腰三角形的性質

等腰三角形的性質定理 等腰三角形的兩底角相等

幾何語言:

∵AB=AC

∴∠B=∠C(等邊對等角)

推論1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

幾何語言:

(1)∵AB=AC,BD=DC

∴∠1=∠2,AD⊥BC(等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊)

(2)∵AB=AC,∠1=∠2

∴AD⊥BC,BD=DC(等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊)

(3)∵AB=AC,AD⊥BC

∴∠1=∠2,BD=DC(等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊)

推論2 等邊三角形的各角都相等,并且每一個角等于60°

幾何語言:

∵AB=AC=BC

∴∠A=∠B=∠C=60°(等邊三角形的各角都相等,并且每一個角都等于60°)

等腰三角形的判定

判定定理 如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等

幾何語言:

∵∠B=∠C

∴AB=AC(等角對等邊)

推論1 三個角都相等的三角形是等邊三角形

幾何語言:

∵∠A=∠B=∠C

∴AB=AC=BC(三個角都相等的三角形是等邊三角形)

推論2 有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

幾何語言:

∵AB=AC,∠A=60°(∠B=60°或者∠C=60°)

∴AB=AC=BC(有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形)

推論3 在直角三角形中,如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

幾何語言:

∵∠C=90°,∠B=30°

∴BC= AB或者AB=2BC(在直角三角形中,如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半)

線段的垂直平分線

定理 線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等

幾何語言:

∵MN⊥AB于C,AB=BC,(MN垂直平分AB)

點P為MN上任一點

∴PA=PB(線段垂直平分線性質)

逆定理 和一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上

幾何語言:

∵PA=PB

∴點P在線段AB的垂直平分線上(線段垂直平分線判定)

軸對稱和軸對稱圖形

定理1 關于某條之間對稱的兩個圖形是全等形

定理2 如果兩個圖形關于某直線對稱,那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線

定理3 兩個圖形關于某直線對稱,若它們的對應線段或延長線相交,那么交點在對稱軸上

逆定理 若兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分,那這兩個圖形關于這條直線對稱

勾股定理

勾股定理 直角三角形兩直角邊a、b的平方和,等于斜邊c的平方,即

a2 + b2 = c2

勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長a、b、c有關系,那么這個三角形是直角三角形

四邊形

定理 任意四邊形的內角和等于360°

多邊形內角和

定理 多邊形內角和定理n邊形的內角的和等于(n - 2)·180°

推論 任意多邊形的外角和等于360°

平行四邊形及其性質

性質定理1 平行四邊形的對角相等

性質定理2 平行四邊形的對邊相等

推論 夾在兩條平行線間的平行線段相等

性質定理3 平行四邊形的對角線互相平分

幾何語言:

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AD‖BC,AB‖CD(平行四邊形的對角相等)

∠A=∠C,∠B=∠D(平行四邊形的對邊相等)

AO=CO,BO=DO(平行四邊形的對角線互相平分)

平行四邊形的判定

判定定理1 兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

幾何語言:

∵AD‖BC,AB‖CD

∴四邊形ABCD是平行四邊形

(兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形)

判定定理2 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

幾何語言:

∵∠A=∠C,∠B=∠D

∴四邊形ABCD是平行四邊形

(兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形)

判定定理3 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

幾何語言:

∵AD=BC,AB=CD

∴四邊形ABCD是平行四邊形

(兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形)

判定定理4 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

幾何語言:

∵AO=CO,BO=DO

∴四邊形ABCD是平行四邊形

(對角線互相平分的四邊形是平行四邊形)

判定定理5 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

幾何語言:

∵AD‖BC,AD=BC

∴四邊形ABCD是平行四邊形

(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)

矩形

性質定理1 矩形的四個角都是直角

性質定理2 矩形的對角線相等

幾何語言:

∵四邊形ABCD是矩形

∴AC=BD(矩形的對角線相等)

∠A=∠B=∠C=∠D=90°(矩形的四個角都是直角)

推論 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

幾何語言:

∵△ABC為直角三角形,AO=OC

∴BO= AC(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)

判定定理1 有三個角是直角的四邊形是矩形

幾何語言:

∵∠A=∠B=∠C=90°

∴四邊形ABCD是矩形(有三個角是直角的四邊形是矩形)

判定定理2 對角線相等的平行四邊形是矩形

幾何語言:

∵AC=BD

∴四邊形ABCD是矩形(對角線相等的平行四邊形是矩形)

菱形

性質定理1 菱形的四條邊都相等

性質定理2 菱形的對角線互相垂直,并且每一條對角線平分一組對角

幾何語言:

∵四邊形ABCD是菱形

∴AB=BC=CD=AD(菱形的四條邊都相等)

AC⊥BD,AC平分∠DAB和∠DCB,BD平分∠ABC和∠ADC

(菱形的對角線互相垂直,并且每一條對角線平分一組對角)

判定定理1 四邊都相等的四邊形是菱形

幾何語言:

∵AB=BC=CD=AD

∴四邊形ABCD是菱形(四邊都相等的四邊形是菱形)

判定定理2 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

幾何語言:

∵AC⊥BD,AO=CO,BO=DO

∴四邊形ABCD是菱形(對角線互相垂直的平行四邊形是菱形)

正方形

性質定理1 正方形的四個角都是直角,四條邊都相等

性質定理2 正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角

中心對稱和中心對稱圖形

定理1 關于中心對稱的兩個圖形是全等形

定理2 關于中心對稱的兩個圖形,對稱點連線都經過對稱中心,并且被對稱中心平分

逆定理 如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點,并且被這一點平分,那么這兩個圖形關于這一點對稱

梯形

等腰梯形性質定理 等腰梯形在同一底上的兩個角相等

幾何語言:

∵四邊形ABCD是等腰梯形

∴∠A=∠B,∠C=∠D(等腰梯形在同一底上的兩個角相等)

等腰梯形判定定理 在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形

幾何語言:

∵∠A=∠B,∠C=∠D

∴四邊形ABCD是等腰梯形(在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形)

三角形、梯形中位線

三角形中位線定理 三角形的中位線平行與第三邊,并且等于它的一半

幾何語言:

∵EF是三角形的中位線

∴EF= AB(三角形中位線定理)

梯形中位線定理 梯形的中位線平行與兩底,并且等于兩底和的一半

幾何語言:

∵EF是梯形的中位線

∴EF= (AB+CD)(梯形中位線定理)

比例線段

1、 比例的基本性質

如果a∶b=c∶d,那么ad=bc

2、 合比性質

3、 等比性質

平行線分線段成比例定理

平行線分線段成比例定理 三條平行線截兩條直線,所得的對應線段成比例

幾何語言:

∵l‖p‖a

(三條平行線截兩條直線,所得的對應線段成比例)

推論 平行與三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線),所得的對應線段成比例

定理 如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例,那么這條直線平行與三角形的第三邊

垂直于弦的直徑

垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的兩條弧

幾何語言:

∵OC⊥AB,OC過圓心

(垂徑定理)

推論1

(1) 平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧

幾何語言:

∵OC⊥AB,AC=BC,AB不是直徑

(平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧)

(2) 弦的垂直平分線過圓心,并且平分弦所對的兩條弧

幾何語言:

∵AC=BC,OC過圓心

(弦的垂直平分線過圓心,并且平分弦所對的兩條弧)

(3) 平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條弧

幾何語言:

(平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條弧)

推論2 圓的兩條平分弦所夾的弧相等

幾何語言:∵AB‖CD

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