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函數(shù)法證明不等式
函數(shù)法證明不等式已知函數(shù)f(x)=x-sinx,數(shù)列{an}滿足0
<1> 證明 0
<2>證明an+1<(1/6)×(an)^3
它提示是構(gòu)造一個(gè)函數(shù)然后做差求導(dǎo)，確定單調(diào)性�？墒沁�是一點(diǎn)思路都沒有，各位能不能給出具體一點(diǎn)的解答過程啊?
(1)f(x)=x-sinx,f'(x)=1-cosx
00,f(x)是增函數(shù),f(0)
因?yàn)?
且an+1=an-sinan
(2)求證不等式即(1/6)an^3-an+1=(1/6)an^3-an+sinan>0①
構(gòu)造函數(shù)g(x)=(1/6)x^3-x+sinx(0
g''(x)=x-sinx,由(1)知g''(x)>0,所以g'(x)單增,g'(x)>g'(0)=0
所以g(x)單增且g(x)>g(0)=0,故不等式①成立
因此an+1<(1/6)×(an)^3 成立。
證畢!
構(gòu)造分式函數(shù)，利用分式函數(shù)的單調(diào)性證明不等式
【例1】證明不等式：≥ (人教版教材P23T4)
證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)= (x≥0)
則f(x)==1-在上單調(diào)遞增
∵f(|a| + |b|)= f(|a + b|)=且|a| + |b|≥|a + b|
∴f(|a| + |b|)≥f(|a + b|) 即所證不等式正確。
點(diǎn)評：本題還可以繼續(xù)推廣。如：求證：≥。利用分式函數(shù)的單調(diào)性可以證明的教材中的習(xí)題還有很多，如：
P14第14題：已知c>a>b>0,求證:
P19第9題: 已知三角形三邊的長是a，b，c，且m是正數(shù)，求證：
P12例題2:已知a，b，m，都是正數(shù)，且a 二、利用分式函數(shù)的奇偶性證明不等式
【例2】證明不等式：(x≠0)
證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)=
∵f(-x)=
=f(x)
∴f(x)是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對稱。
當(dāng)x>0時(shí)，<0，f(x)<0;
當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,故f(x)=f(-x)<0
∴<0，即
三、構(gòu)造一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的單調(diào)性證明不等式
【例3】已知|a|<1，|b|<1，|c|<1，求證：a + b + c 證明：構(gòu)造函數(shù)f(c)=(1-ab)c + a + b-2
∵|a|<1，|b|<1
∴-10
∴f(c)的(-1，1)上是增函數(shù)
∵f(1)=1-ab + a + b -2=a + b–ab -1=a(1 - b)-(1 - b)=(1 - b)(a -1)<0
∴f(1)<0，即(1-ab)c + a + b-2<0
∴a + b + c 。
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