怎么證明勾股定理

設(shè)ABC為一直角三角形, 直角于角C. 從點C畫上三角形的高，并將此高與AB的交叉點稱之為H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似，因為在兩個三角形中都有一個直角，而兩個三角形都有A這個共同角，由此可知第三只角都是相等的。同樣道理，三角形CBH和三角形ABC也是相似的。這些相似關(guān)系衍生出以下的比率關(guān)系：因為BC=a,AC=b,AB=c所以a/c=HB/a 和 b/c=AH/b可以寫成a*a=c*HB 和 b*b=C*AH綜合這兩個方程式，我們得到a*a+b*b=c*HB+C*AH =a*a+b*b=C*(HB+AH) =a*a+b*b=c*c

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勾股定理是初等幾何中的一個基本定理。所謂勾股定理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。這個定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國(希臘、 中國、埃及、巴比倫、印度等) 對此定理都有所研究。勾股定理在西方被稱為畢達(dá)哥拉斯定理，相傳是古希臘數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras，公元前572?～公元前497?) (右圖) 于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的。但畢達(dá)哥拉斯對勾股定理的證明方法已經(jīng)失傳。著名的希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得(Euclid，公元前330～公元前275)在巨著《幾何原本》(第Ⅰ卷，命題47)中給出一個很好的證明。 (左圖為歐幾里得和他的證明圖) 中國古代對這一數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用，遠(yuǎn)比畢達(dá)哥拉斯早得多。中國最早的一部數(shù)學(xué)著作——《周髀算經(jīng)》的開頭，記載著一段周公向商高請教數(shù)學(xué)知識的對話：周公問："我聽說您對數(shù)學(xué)非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量， 那么怎樣才能得到關(guān)于天地得到數(shù)據(jù)呢?" 商高回答說："數(shù)的產(chǎn)生來源于對方和圓這些形體的認(rèn)識。其中有一條原理：當(dāng)直角三角形‘矩'得到的一條直 角邊‘勾'等于3，另一條直角邊’股'等于4的時候， 那么它的斜邊'弦'就必定是5。這個原理是大禹在治水的時候就總結(jié)出來的呵。" 如果說大禹治水因年代久遠(yuǎn)而無法確切考證的話，那么周公與商高的對話則可以確定在公元前1100年左右的西周時期， 比畢達(dá)哥拉斯要早了五百多年。其中所說的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個應(yīng)用特例。 所以現(xiàn)在數(shù)學(xué)界把它稱為勾股定理是非常恰當(dāng)?shù)摹?在稍后一點的《九章算術(shù)》一書中( 約在 公元50至100年間) (右圖) ，勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達(dá)。書中的《勾股章》說;“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來，再進(jìn)行開方，便可以得到弦�！� 。 《九章算術(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢以來的數(shù)學(xué)成就，共收集了246個數(shù)學(xué)的應(yīng)用問題和各個問題的解法，列為九章，可能是所有中國數(shù)學(xué)著作中影響最大的一部。 中國古代的數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證明。最早對勾股定理進(jìn)行證明的，是三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖” ，用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明 (右圖) 。在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2;中間的小正方形邊長為b-a，則面積為(b-a) 2 。于是便可得如下的式子： 4×(ab/2)+(b-a) 2 =c 2 化簡后便可得： a 2 +b 2 =c 2 亦即：c=(a 2 +b 2 ) (1/2) 趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創(chuàng)新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，既具嚴(yán)密性，又具直觀性，為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨特風(fēng)格樹立了一個典范。 以后的數(shù)學(xué)家大多繼承了這一風(fēng)格并且有發(fā)展， 只是具體圖形的分合移補略有不同而已。 例如稍后一點的劉徽在證明勾股定理時也是用以形證數(shù)的方法，劉徽 (右圖) 用了“出入相補法”即剪貼證明法，他把勾股為邊的正方形上的某些區(qū)域剪下來(出)， 移到以弦為邊的正方形的空白區(qū)域內(nèi)(入)，結(jié)果剛好填滿，完全用圖解法就解決了問題。 (左圖為劉徽的勾股證明圖) 中國古代數(shù)學(xué)家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨特的貢獻(xiàn)和地位。尤其是其中體現(xiàn)出來的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義。

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