幾何證明選講蘇教版

幾何證明選講蘇教版

新課標高考試題應對策略之一

———2011年幾何證明選講題解體攻略

趙棟先

2011年，河南省的新課標卷給人以耳目一新的感覺，尤其是他的幾何證明選講問題，命題人確實下了很大功夫，該題分兩問，第一問考查四點共圓問題，難度不是很大，但是應用了一元二次方程根與系數(shù)關系的知識，應用了相似三角形的證明，第二問是考察四邊形的外接圓半徑問題，難度還是有的，很多同學理解不透外接圓的本質，所以無從下手解決。

請先看題：

(22)(本小題滿分10分)選修4-1：幾何證明選講如圖， ， 分別為 的邊 ， 上的點，且不與 的頂點重合。已知 的長為m，的長為n，AD, 的長是關于 的方程 的兩個根。

(Ⅰ)證明： ， ， ， 四點共圓;

(Ⅱ)若 ，且 ，求 ， ， ， 所在圓的半徑。

第一問解法：

證明策略一： 把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補角的內對角時，即可肯定這四點共圓．

因為 ， 的長是關于 的方程 的兩個根.

所以 ，

因為 的長為 ， 的長為 ，所以 .

連接 ，根據(jù)題意，在 和 中，

因為，

即 ，又 ,

從而 .

因此，

所以 ， ， ， 四點共圓.

證明策略二：把被證共圓的四點兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點共圓；或把被證共圓的四點兩兩連結并延長相交的兩線段，若能證明自交點至一線段兩個端點所成的兩線段之積等于自交點至另一線段兩端點所成的兩線段之積，即可肯定這四點也共圓．(根據(jù)托勒密定理的逆定理)

事實上，以上定理就是割線定理的逆定理，即托勒密定理的逆定理，先讓我們證明他的正確性。

E

D

B

C

A

已知：在四邊形BCDE中，延長BE邊和CD邊交于A點，

若AExAB=ADxAC ,求證：B,C,D,E四點共圓。

證明：∵AD·AB=AE·AC，

∴ =

又∵∠A=∠A

∴△AED∽△ABC

∴∠AED=∠B

根據(jù)圓內接四邊形判定定理知，B,C,D,E四點共圓。

這個結論，即為托勒密定理的逆定理，我們可以利用它證明第一問：

因為 ， 的長是關于 的方程 的兩個根.

所以 ，

因為 的長為 ， 的長為 ，所以

所以 =AE·AC

根據(jù)托勒密定理的逆定理，B,C,D,E四點共圓。

對于第一問來說，我們只要平時多積累方法，總是可以解決的，但是對于托勒密定理的逆定理，大綱中沒有要求掌握，我們可以根據(jù)自己的基礎，有選擇的去掌握。

下面我們來解決第二問：

第二問是在第一問四點共圓的基礎上，求這四個點所在圓的半徑。

解決策略一：我們可以根據(jù)圓內接四邊形圓心的性質，把圓心做出來，圓心到任一頂點的連線長度即為半徑這個思路來解題。

知識聯(lián)系：那么，圓內接四邊形的圓心究竟有什么性質呢?讓我們先來考慮一下三角形的外接圓圓心的性質，我們知道，三角形外接圓圓心是各條邊垂直平分線的交點，

那么圓內接四邊形的圓心是否也有相同的性質呢?答案是一定的。原因很簡單：圓內接四邊形的圓心到四邊形各個頂點的距離相等，則到一條線段兩個端點距離相等的點的集合是什么呢?很明顯，這樣的集合是線段的中垂線，那么到四邊形四條邊的定點相等的點的集合一定是四條邊中垂線的交點了，這個問題一旦解決，第一問的圓心問題就簡單了。我們看半徑的求解方法。

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