淺析反常積分與定積分的定義與性質(zhì)

摘要：積分學(xué)是微積分理論中的一個重要部分。一元函數(shù)的積分學(xué)主要包括定積分和反常積分兩大類。這兩類積分各自具備一些性質(zhì)，而這些性質(zhì)常常被拿來相互比較。本文將從定義出發(fā)，結(jié)合一些反例，深入剖析定積分和反常積分的性質(zhì)差異及其原因。 　　關(guān)鍵詞：反常積分與定積分；性質(zhì)差異；定義 　　中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）28-0178-02 　　積分學(xué)是微積分理論中的一個重要組成部分。一元函數(shù)的積分學(xué)主要包括定積分和反常積分兩大類，反常積分又包含了無窮積分與瑕積分，它們可以看作是定積分的推廣，是定積分的某種意義下的極限形式。粗略來看，反常積分是更為一般的積分，定積分作為更為特殊的積分，應(yīng)該具備反常積分所具備的性質(zhì)。但是在這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中，可以看到反常積分與定積分的一些性質(zhì)有所http://www.oriental01.com區(qū)別，甚至從表面上看，反常積分的一些性質(zhì)，定積分并不具備。本文將從定義出發(fā)，剖析這些性質(zhì)的差異及其原因，以更加準(zhǔn)確深刻的理解定積分和反常積分的異同。 　　一、無窮積分與定積分的定義與性質(zhì) 　　我們知道對于無窮積分，有如下的一個重要性質(zhì)。 　　dx存在與否的一個性質(zhì)。而定理2討論的是有限區(qū)間上的可積性，即內(nèi)容A，它與內(nèi)容B是完全不同的兩個對象，得到的結(jié)論有所不同是自然的。 　　從定理的證明我們也可以進(jìn)一步認(rèn)識到A、B兩部分內(nèi)容的差異對定理結(jié)論的影響。定理1的兩個證明都是圍繞積分上限趨于正無窮時，變上限積分極限的存在性展開的，而定理2的證明則是依賴于有限區(qū)間上的可積性定理，即證明當(dāng)劃分足夠細(xì)時，Daboux大和與Daboux小和收斂到同一個極限，這是完全不同的兩個對象。另一方面，我們從證明里面看到，定理1確實是依賴于條件A的。在定理1的證明里，我們用到了f（x）在任一有限區(qū)間上的定積分，如果沒有條件A，這些定積分是不存在的，這也說明了為什么不能運用定理1的證明方法得到定積分的類似性質(zhì)。 　　從以上的分析我們可以看到反常積分的一些性質(zhì)，特別是基于條件A的一些變限積分極限的收斂性質(zhì)不能簡單的從表面形式上與定積分的可積性質(zhì)進(jìn)行比較，更不能因此錯誤的認(rèn)為反常積分具有定積分所不具備的性質(zhì)。定理1和定理2所表述的是兩個毫不相關(guān)的對象的性質(zhì)，把它們進(jìn)行比較沒有實質(zhì)的意義，反而容易產(chǎn)生認(rèn)知上的混淆。 　　二、瑕積分與定積分的定義與性質(zhì) 　　瑕積分的定義與無窮積分有類似的特點。 　　dx是不存在的。仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)這主要是因為對任意的ε>0，G（x）在任一有限區(qū)間[0，1-ε]上不可積。我們從這個例子可以看到區(qū)間[a，b-ε]上的可積性條件的重要性。 　　從以上的論述我們可以認(rèn)識到，不論是無窮積分還是瑕積分，它們都是定積分的推廣。這兩類積分的收斂性首先都要以某類有限區(qū)間上的可積性為前提，其次是要求積分上（下）限在某一趨勢下的變限積分的極限存在。反常積分的一些性質(zhì)，形式上看起來可以與定積分的某些性質(zhì)進(jìn)行比較，但是實際上這種比較是非常牽強的，甚至?xí)�混淆概念、模糊認(rèn)知，因此，應(yīng)該從定義出發(fā)，區(qū)分這些性質(zhì)的異同，理解背后本質(zhì)的原因，更加準(zhǔn)確深刻地理解反常積分和定積分。 　　參考文獻(xiàn)： 　　[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2010. 　　[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2006.

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