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江蘇高考附加題
沖刺一模附加題訓(xùn)練一
1.矩陣與變換
?m0?
設(shè)曲線2x2+2xy+y2=1在矩陣M=??(m>0)對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線為n1??
x2+y2=1，求矩陣M的逆矩陣M-1．
【解】設(shè)曲線2x2+2xy+y2=1上任一點(diǎn)P(x,y)在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換下的像是
P'(x',y'),
?x'??m0??x??mx??x'=mx，
由??=第一文庫(kù)網(wǎng)?,得 =??????''?y??n1??y??nx+y??y=nx+y，
因?yàn)镻'(x'，y')在圓x2+y2=1上,所以(mx)+(nx+y)=1，化簡(jiǎn)可得
2
2
(m2+n2)x2+2nxy+y2=1．??????????3分
依題意可得m2+n2=2，2n=2，m=1，n=1或m=-1，n=1而由m>0可得m=1，n=1．???6分
?10??10?-1
故M=?,M=??-11?．??????????????????10分 11????
2.坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)xOy中,已知圓C1:x2+y2=4,圓C2:(x-2)2+y2=4． （1）在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，分別求圓C1,C2的極坐標(biāo)
方程及這兩個(gè)圓的交點(diǎn)的極坐標(biāo)； （2）求圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程．
【解】（1）圓C1的極坐標(biāo)方程為ρ=2， 圓C2的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，
?ρ=2，由?
?ρ=4cosθ
得ρ=2，θ=±
π3
，故圓C1，C2交點(diǎn)坐標(biāo)為圓
，2，-)．???????5分 )(2(33
（2）由（1）得，圓C1，
C2交點(diǎn)直角坐標(biāo)為(1，(1，，
??x=1，故圓C1與
C2的公共弦的參數(shù)方程為? ????????10分
y=t(t．??
注：第（1）小題中交點(diǎn)的極坐標(biāo)表示不唯一；第（2）小題的結(jié)果中，若未注明參數(shù)
范圍，扣2分．
3.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB=AC=A1B=2．
（1）求棱AA1與BC所成的角的大��；
（2）在棱B1C1上確定一點(diǎn)P，使二面角P-AB
-A1．
【解】（1）如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系， 則 C(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(0，2，2)，B1(0，4，2)，
C1
B1
A1
AA1=(0，2，2)，BC=B1C1=(2，-2，0)．
1cos?AA1，BC?===-，
2AA1?BC
故AA1與棱BC所成的角是． ?????????4分
3（2）P為棱B1C1中點(diǎn)，
設(shè)B1P=λB1C1=(2λ，4-2λ，2)． -2λ，0)，則P(2λ，設(shè)平面PAB的法向量為n1=(x,y,z)，AP=(2λ，4-2λ，2)，
C1
AA1?BC
C
A
（第3題）
??n?AP=0，?x+3y+2z=0，?z=-λx，則?1 ????
?2y=0?y=0．??n1?AB=0
故n1=(1，0，-
λ)?????????????????8分
而平面ABA1的法向量是n2=(1，0，0)，則cos?n1,n2?=解得λ=
n1?n2=，
n1?n21
，即P為棱B1C1中點(diǎn)，其坐標(biāo)為P(1???????10分 ，3，2)．2
4．設(shè)b>0，函數(shù)f(x)=(ax+1)2-x+lnbx，記F(x)=f'(x)（f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)
2abbb函數(shù)），且當(dāng)x = 1時(shí)，F(xiàn)(x)取得極小值2． （1）求函數(shù)F(x)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）證明[F(x)]-F(xn)≥2n-2(n∈N*)．
n
【解】（1）由題F(x)=f'(x)=1?2(ax+1)?a-1+1=1ax+1，x>0，b>0．
2abbbxbx于是F'(x)=1a-12，若a<0，則F'(x)<</p>
0，與F(x)有極小值矛盾，所以a>0．
bx令F'(x)=0，并考慮到x>0，知僅當(dāng)x=時(shí)，F(xiàn)(x)取得極小值．
()
()
=1，所以解得a=b=1．??????????????????4分
?(a+1)=2，?b+∞)． 故F(x)=x+1(x>0)，由F'(x)>0，得x>1，所以F(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1，
（2）因?yàn)閤>0，所以記g(x)=[F(x)]
n
-F(x)=[F(x)]-F(x)=x+x
n
n
n
()-(x+x)
n
n
n
n-1n-2n-3-1=C1?+C2?2+C3?3+??????+Cnnxnxnxnx?n-1 xxxx
n-r-rr因?yàn)镃r?+Cn，2，L，n-1)， nxnx?n-r≥2Cn(r=1xx23n-1n
所以2g(x)≥2(C1n+Cn+Cn+??????+Cn)=2(2-2)，故
[F(x)]
n
-F(xn)≥2n-2(n∈N*)．???10分
沖刺一模附加題訓(xùn)練二
1. 已知矩陣M=?
?1 x?
的一個(gè)特征值為-1，求其另一個(gè)特征值. ?
?2 1 ?
x2y2
2. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓+=1的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，點(diǎn)P是第一
164
象限內(nèi)在橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求?PAB面積S的最大值． 3. 設(shè)10件同類型的零件中有2件不合格品，從所有零件中依次不放回地取出3件，以X表示取出的3件中不合格品的件數(shù)．
（1）求“第一次取得正品且第二次取得次品”的概率；
（2）求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望E(X)．
4. 三棱柱ABC-A1B1C1在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，已知AB=2，AC=4，
AA1=3．D是BC的中點(diǎn)．
（1）求直線DB1與平面AC11D所成角的正弦值； （2）求二面角B1-A1D-C1的大小的正弦值．
沖刺一模附加題訓(xùn)練三
1.矩陣與變換
?10?
已知曲線C: y2=2x，在矩陣M=??對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線C1，C1在矩陣02???0-1?N=??對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線C2，求曲線C2的方程． 10??
?0-1??10??0-2?解：設(shè)A=NM，則A=???02?=?10?， ?????????????3分 10??????
設(shè)P(x', y')是曲線C上任一點(diǎn)，在兩次變換下，在曲線C2上的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P(x, y)， x'=y,
?x??0-2??x'??-2y'??x=-2y',??則 ??=???y'?=?x'?， 即?y=x',∴?y'=-1x. ????7分 10y???????????2
又點(diǎn)P(x', y')在曲線C: y2=2x上，∴ (-1x)2=2y，即y=1x2．????10分
82.坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸與x軸的正半軸重合．曲線C的極坐??x=,
標(biāo)方程為ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直線l
的參數(shù)方程為?(t為參數(shù)，t∈R)．試
y=1+t??
在曲線C上求一點(diǎn)M，使它到直線l的距離最大．
x2
解：曲線C的普通方程是+y2=1． ??????????????2分
3
直線l
的普通方程是x=0． ?????????4分 設(shè)點(diǎn)M
的直角坐標(biāo)是θ,sinθ)，則點(diǎn)M到直線l的距離是
d
7分
因?yàn)椤堞?
π
4
)≤
πππ3π
當(dāng)sin(θ+)=-1，即θ+=2kπ-(k∈Z)，即θ=2kπ-(k∈Z)時(shí)，d取得最大值．
4424θ=． 7π
綜上，點(diǎn)M
的極坐標(biāo)為)時(shí)，該點(diǎn)到直線l的距離最大． ??10分
6
θ=注 凡給出點(diǎn)M
的直角坐標(biāo)為(，不扣分．
3．如圖，已知定點(diǎn)R(0，－3)，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在x軸和y軸上移動(dòng)，延長(zhǎng)PQ至點(diǎn)M，使PQ=1QM，且PR?PM=0．
2（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C1；
（2）圓C2： x2+(y-1)2=1，過(guò)點(diǎn)(0，1)的直線l依次交C1于A，D兩點(diǎn)
（從左到右），交C2于B，C兩點(diǎn)（從左到右），求證：AB?CD為定值．
（第3題）
1
解：（1）法一：設(shè)M(x，y)，P(x1，0)，Q(0，y2)，則由PR?PM=0,PQ=QM及R(0，－3)，
2得
?
?-x1(x-x1)+(-3)y=0,?
1?
化簡(jiǎn)，得x2=4y．??????4分 ?-x1=x,
2?
11?y=y-y2.2??22
所以，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C1是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開(kāi)口向上的拋物線．????5分 法二：設(shè)M(x，y)．
1xy由PQ=QM，得 P(-,0),Q(0,)．
223x3x
所以，PR=(,-3),PM=(,y)．
22
x33
由PRPM=0，得 (,-3)?(x,y)=0，即x2-3y=0．化簡(jiǎn)得 x2=4y． 4分
224所以，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C1是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開(kāi)口向上的拋物線．???5分
（2）證明：由題意，得 AB?CD=AB?CD，⊙C2的圓心即為拋物線C1的焦點(diǎn)F． 設(shè)A(x1,y1)，D(x2,y2)，則AB=FA-FB=y1+1-1=y1． ??????7分 同理 CD=y2．
設(shè)直線的方程為 x=k(y-1)．
?x=k(y-1),
12?22222
由?12得y=k(y-1)，即ky-(2k-4)y+k=0．
4y=x,??4
所以，AB?CD=AB?CD=y1y2=1． ??????????10分 4．已知數(shù)列{an}滿足：a1=2a-2,an+1=aan-1+1(n∈N*)． （1）若a=-1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若a=3，試證明：對(duì)?n∈N*，an是4的倍數(shù)．
解：(1)當(dāng)a=-1時(shí)，a1=-4,an+1=(-1)an-1+1．
令bn=an-1，則b1=-5,bn+1=(-1)bn． 因b1=-5為奇數(shù)，bn也是奇數(shù)且只能為-1， 所
以
，
?-5,n=1,bn=?
?-1,n≥2,
即
?-4,n=1,
?????????????????????3分 an=?
0,n≥2.?
(2)當(dāng)a=3時(shí)，
a1=4,an+1=3an-1+1． ????????????????????????4分
下面利用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明：an是4的倍數(shù)． 當(dāng)n=1時(shí)，a1=4=4?1，命題成立；
設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)，命題成立，則存在t∈N*，使得ak=4t，
∴ak+1=3ak-1+1=34t-1+1=27?(4-1)4(t-1)+1=27?(4m+1)+1=4(27m+7)，
4t-5
+其中，4m=44(t-1)-C14(t-1)?4
4t-4-r
+(-1)rCr+4(t-1)?4
t-3
-C44(t-1)?4，
∴m∈Z，∴當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立．
∴
由數(shù)學(xué)歸納法原理知命題對(duì)?n∈N*成
立． ???????????????????10分
沖刺一模附加題訓(xùn)練四
?x??x'??x+2y?
1.已知，點(diǎn)A在變換T：??→??=?作用后，再繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o，得到?
?y??y'??y?
點(diǎn)、B．若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，4），求點(diǎn)A的坐標(biāo)． 2.已知在極坐標(biāo)系下，圓C：p= 2cos（θ+
π
2
）與直線l：ρsin（θ+
π
4
）
M為
圓C上的動(dòng)點(diǎn)．求點(diǎn)M到直線l距離的最大值．
3.銀行的一個(gè)營(yíng)業(yè)窗口可辦理四類業(yè)務(wù)，假設(shè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間互相獨(dú)立，且都是整
數(shù)分鐘，經(jīng)統(tǒng)計(jì)以往100位顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間（t），結(jié)果如下：
注：銀行工作人員在辦理兩項(xiàng)業(yè)務(wù)時(shí)的間隔時(shí)間忽略不計(jì)，并將頻率視為概率． （Ⅰ）求銀行工作人員恰好在第6分鐘開(kāi)始辦理第三位顧客的業(yè)務(wù)的概率； （Ⅱ）用X表示至第4分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的顧客人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
4.已知函數(shù)f（x）=
12
x+1nx． 2
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值、最小值；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x），求證：[g(x)]n-g(xn)≥2n-2(n∈N+)．
沖刺一模附加題訓(xùn)練五
1.已知矩陣A=?
?1 a??-1?
α=λ=-1的一個(gè)特征值為，其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為，已11???
?c0 ??1?
知β=??，求A5β.
2.
已知直線的參數(shù)方程?
?8??1?
??x=2-t
（為參數(shù)），圓C的極坐標(biāo)方程：ρ+2sinθ=0．
??y=1（1）將直線的參數(shù)方程化為普通方程，圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）在圓C上求一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到直線的距離最�。�
3.如圖，圓錐的高PO=4，底面半徑OB=2，D為PO的中點(diǎn)，E為母線PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為底面圓周上一點(diǎn)，滿足EF⊥DE．
（1）求異面直線EF與BD所成角的余弦值； （2）求二面角O-DF-E的正弦值．
A B
4.（1）山水城市鎮(zhèn)江有“三山”——金山、焦山、北固山，一位游客游覽這三個(gè)景點(diǎn)的概率都是0.5，且該游客是否游覽這三個(gè)景點(diǎn)相互獨(dú)立，用ξ表示這位游客游覽的景點(diǎn)數(shù)和沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)差的絕對(duì)值，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）某城市有n（n為奇數(shù)，n≥3）個(gè)景點(diǎn)，一位游客游覽每個(gè)景點(diǎn)的概率都是0.5，且該游客是否游覽這n個(gè)景點(diǎn)相互獨(dú)立，用ξ表示這位游客游覽的景點(diǎn)數(shù)和沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)差的絕對(duì)值，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
D
E
沖刺一模附加題訓(xùn)練六
1.矩陣與變換
?-1a?
已知a,b∈R，若矩陣M=??所對(duì)應(yīng)的變換把直線l：2x-y=3變換為自身，求b3??M-1.
【解】對(duì)于直線l上任意一點(diǎn)(x,y)，在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下變換成點(diǎn)(x',y')，
?-1a??x??-x+ay??x'?則?=?=??， ????
?b3??y??bx+3y??y'?
因?yàn)?x'-y'=3，所以2(-x+ay)-(bx+3y)=3， ???????????????4分
?-2-b=2,?a=1,所以?解得?
?2a-3=-1,?b=-4.
?-11?所以M=??， ????????????????????????????7分 -43???3-1?所以M-1=?. ????????????????????????10分 ?
?4-1?
2.坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在極坐標(biāo)系中，已知直線2ρcosθ+ρsinθ+a=0(a>0)被圓ρ=4sinθ截得的弦長(zhǎng)為2，求a的值.
【解】直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為2x+y+a=0， ??????????3分
圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2=4y，即x2+(y-2)2=4 ，????6分 因?yàn)榻氐玫南议L(zhǎng)為2，所以圓心(0,2)
，
=a>
0，所以a=2. ???????????????10分
3.
如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AA1=6，AB=2，M,N分別是棱BB1，CC1上的點(diǎn)，且BM=4，CN=2. ⑴求異面直線AM與AC11所成角的余弦值； ⑵求二面角M-AN-A1的正弦值.
1
1
A1
（第3題圖）
【解】⑴以AC的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，分別以O(shè)A,OB所在直線為x,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系
O-xyz（如圖）C，. 則O(0,0,0)，A(1,0,0)，
A1(1,6,0)，C1(-1,6,0).
所以AM=(-，AC11=(-2,0,0). 所以cos=
AMA1C1AMA1C1
=
=
所以異面直線AM與AC11
⑵平面ANA1的一個(gè)法向量為m=(0,0,1).
設(shè)平面AMN的法向量為n
=(x,y,z)，因?yàn)锳M=(-，AN=(-2,2,0)，
??n⊥AM,??-x+4y=0,由?得?令x=
1，則n=(1,1,.
???-2x+2y=0,?n
⊥AN,
所以cos=
mn， ==mn. ?????????????????10分 02n-112n-222n-3rnn-1
4.已知函數(shù)f(x)=Cnx,n∈N*． -Cnx+Cnx-+Cn(-1)rx2n-1-r++Cnn(-1)x⑴當(dāng)n≥2時(shí)，求函數(shù)f(x)的極大值和極小值；
所以二面角
M-AN-A11
⑵是否存在等差數(shù)列{an}，使得a1C0n+a2Cn+并說(shuō)明理由．
n
+an+1Cn=nf(2)對(duì)一切n∈N*都成立？
n1n-1n-2rn-r
【解】（1）f(x)=xn-1[C0+C2-???+Cr+???+(-1)nCnnx-Cnxnxn(-1)xn]
=xn-1(x-1)n，
f'(x)=(n-1)xn-2(x-1)n+xn-1?n(x-1)n-1=xn-2(x-1)n-1[(n-1)(x-1)+nx]，
令f'(x)=0得x1=0,x2=
n-1
,x3=1， 2n-1
因?yàn)閚≥2，所以x1
x
(-∞,0)
(0,
n-1
)2n-1
n-12n-1
(
n-1
,1)2n-1
1
(1,+∞)
f'(x)
+ 0 + 0
-
+
f
(x)
無(wú)
極值
極大值
極小值
(n-1)n-1?(-n)nn-1
所以當(dāng)x=時(shí)，y極大；當(dāng)x=1時(shí)，y極小=0．???4分
(2n-1)2n-12n-1
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)f(x)的增減性如下表：
x
(-∞,0)
(0,
n-1
)2n-1
n-12n-1
(
n-1
,1)2n-1
1
(1,+∞)
f'(x)
+ 0
-
0 + 0 +
f(x
)
極大值
極小值
無(wú)極值
(n-1)n-1?(-n)nn-1
所以x=0時(shí)，y極大=0；當(dāng)x=時(shí)，y極小=．????6分
(2n-1)2n-12n-1
12nn-1
（2）假設(shè)存在等差數(shù)列{an}使a1C0成立， n+a2Cn+a3Cn+???+an+1Cn=n?2
n-m
由組合數(shù)的性質(zhì)Cm， n=Cn
12nn-1把等式變?yōu)閍n+1C0， n+anCn+an-1Cn+???+a1Cn=n?2
兩式相加，因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，所以a1+an+1=a2+an=a3+an-1=
1故(a1+an+1)(C0n+Cn+
=an+1+a1，
n
+Cn)=n?2n，
所以a1+an+1=n． ?????????????????????????8分 再分別令n=1，n=2，得a1+a2=1且a1+a3=2，
進(jìn)一步可得滿足題設(shè)的等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n-1(n∈N*)．???10分
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